Imaginarni broj
Sve stepeni od i pretpostavljaju vrednosti iz plave oblasti |
i−3 = i |
i−2 = −1 |
i−1 = −i |
i0 = 1 |
i1 = i |
i2 = −1 |
i3 = −i |
i4 = 1 |
i5 = i |
i6 = −1 |
i je 4. koren jedinice |
U matematici, imaginarni broj je kompleksni broj čiji je kvadrat negativan realan broj. Imaginarni brojevi imaju oblik ,[note 1] gdje je realan broj različit od nule i imaginarna jedinica za koju važi: .[1][2] Kvadrat imaginarnog broja bi je −b2. Na primer, 5i je imaginarni broj, a njegov kvadrat je −25. Po definiciji, nula se smatra i realnom i imaginarnom.[3]
Prvobitno skovan u 17. veku od strane Renea Dekarta[4] u derogativnom konetekstu i smatran izmišljenim ili beskorisnim, ovaj koncept je stekao široku prihvaćenost nakon radova Leonharda Ojlera (u 18. veku) i Ogistena Luja Košija i Karla Fridriha Gausa (početkom 19. veka).
Imaginarni broj može biti dodat uz realan broj, formirajući tako kompleksni broj oblika , kod kojeg je „realan deo“, a je „imaginarni deo“. Imaginarni brojevi se dakle mogu smatrati kao kompleksni brojevi kod kojih je „realan deo“ nula.[5]
Istorija
[uredi | uredi izvor]Grčki matematičar Heron iz Aleksandrije navodi se kao prvi koji je primetio imaginarne brojeve.[6][7] Rafael Bombeli je 1572. godine definisao skup ovih brojeva i osnovne operacije sa njima. U to vreme, imaginarne brojeve su pojedinci smatrali kao fiktivne i bespotrebne. Mnogi drugi matematičari su bili spori u tome da prihvate upotrebu imaginarnih brojeva, kao što je bio Rene Dekart koji je pogrdno pisao o njima u svom radu „Geometrija“.[8][9] Dekart je bio prvi koji je upotrebio pojam „imaginaran broj“ 1637. godine. Ova ideja nije bila široko prihvaćena sve do radova Leonarda Ojlera (1707-1783) i Karla Fridriha Gausa (1777-1855). Geometrijsku značajnost kompleksnih brojeva je prvi pronašao Kaspar Vesel (1745-1818).[10]
Godine 1843, Vilijam Rouan Hamilton je proširio ideju ose imaginarnih brojeva u ravni na četvorodimenzionalni prostor kvaterniona imaginarija u kome su tri dimenzije analogne imaginarnim brojevima u kompleksnom polju.
Geometrijska reprezentacija
[uredi | uredi izvor]Geometrijski gledano, imaginarni brojevi se nalaze na vertikalnoj osi na kompleksnoj ravni. Kod broja 0 na -osi, može se nacrtati -osa sa pozitivnim pravcom nagore. Pozitivni imaginarni brojevi se povećavaju prema gore, dok se negativni smanjuju prema dole. Ova vertikalna osa se često naziva imaginarna osa i označava se kao "", "" ili jednostavno kao "Im".[11] and is denoted or ℑ.[12]
U ovoj reprezentaciji množenje sa -1 je jednako rotaciji od 180 stepeni u odnosu na koordinatni početak. Množenje sa je jednako rotaciji od 90 stepeni u "pozitivnom" pravcu (u pravacu suprotnom pravcu kazaljke na satu). Jednačina se intrepretira kao dve rotacije od 90 stepeni u odnosu na koordinatni početak, što je isti rezultat kao jedna rotacija od 180 stepeni. Treba zapaziti da rotacija od 90 stepeni u negativnom pravcu (pravcem kazaklje na satu) isto zadovoljava ovu interpretaciju. Ovo potvrđuje činjenicu da takođe rešenje jednačine .
Množenje kompleksnim brojem je isto kao rotiranje oko koordinatnog početka pomoću argumenta kompleksnog broja, nakon čega sledi skaliranje po njegovoj magnitudi.[13]
Stepenovanje imaginarne jedinice
[uredi | uredi izvor]Stepenovanje imaginarnog broja se kružno ponavlja. Ovo se može videti u sledećem primeru gde predstavlja bilo koji broj:
- ,
- ,
- ,
- ,
Ovo dovodi do zaključka da je .
Kvadratni koreni negativnih brojeva
[uredi | uredi izvor]Neophodno je obratiti pažnju kada se radi sa imaginarnim brojevima koji su izraženi kao glavne vrednosti kvadratnog korena negativnih brojeva:[14]
To se ponekad piše kao:
Zabluda se javlja kao jednakost nije ostvariva kada promenljive nisu na odgovarajući način ograničene. U tom slučaju, jednakost ne važi jer su oba broja negativna, što se može pokazati na sledeći način:
gde su x i y pozitivni realni brojevi.
Vidi još
[uredi | uredi izvor]Napomene
[uredi | uredi izvor]- ^ j is usually used in engineering contexts where i has other meanings (such as electrical current)
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ Uno Ingard, K. (1988). „Chapter 2”. Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. str. 38. ISBN 0-521-33957-X.
- ^ Weisstein, Eric W. „Imaginary Number”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-10.
- ^ Sinha, K.C. (2008). A Text Book of Mathematics Class XI (Second izd.). Rastogi Publications. str. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
- ^ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (illustrated izd.). Springer Science & Business Media. str. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121
- ^ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th izd.). Cengage Learning. str. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.
- ^ Hargittai, István (1992). Fivefold Symmetry (2 izd.). World Scientific. str. 153. ISBN 981-02-0600-3.
- ^ Roy, Stephen Campbell (2007). Complex Numbers: lattice simulation and zeta function applications. Horwood. str. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.
- ^ Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x3 – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x3 – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)
- ^ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.
- ^ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). „Chapter 10”. A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space. Springer. str. 382. ISBN 0-387-96458-4.
- ^ von Meier, Alexandra (2006). Electric Power Systems – A Conceptual Introduction. John Wiley & Sons. str. 61—62. ISBN 0-471-17859-4. Pristupljeno 2022-01-13.
- ^ Webb, Stephen (2018). „5. Meaningless marks on paper”. Clash of Symbols – A Ride Through the Riches of Glyphs. Springer Science+Business Media. str. 204—205. ISBN 978-3-319-71350-2. doi:10.1007/978-3-319-71350-2_5.
- ^ Kuipers, J. B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton University Press. str. 10—11. ISBN 0-691-10298-8. Pristupljeno 2022-01-13.
- ^ Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. Princeton University Press. str. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12
Literatura
[uredi | uredi izvor]- Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
- Apostol, Tom (1981). Mathematical analysis. Addison-Wesley.
- Argand (1814). „Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise” [Reflections on the new theory of complex numbers, followed by an application to the proof of a theorem of analysis]. Annales de mathématiques pures et appliquées (na jeziku: francuski). 5: 197—209.
- Gauss, C. F. (1831). „Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.” [Theory of biquadratic residues. Second memoir.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (na jeziku: latinski). 7: 89—148.
- Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe. Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
- Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A real and imaginary history of algebra. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7.
- Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1.
- Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
- Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
- Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6.
- Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
- Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). „Section 5.5 Complex Arithmetic”. Numerical Recipes: The art of scientific computing (3rd izd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Arhivirano iz originala 13. 03. 2020. g. Pristupljeno 11. 07. 2022.
- Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Bourbaki, Nicolas (1998). „Foundations of mathematics § logic: set theory”. Elements of the history of mathematics. Springer.
- Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd izd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9.
- Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2.
- Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. — A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
- Ebbinghaus, H. D.; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover izd.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. — An advanced perspective on the historical development of the concept of number.
Spoljašnje veze
[uredi | uredi izvor]- How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
- 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
- Why Use Imaginary Numbers? Arhivirano na sajtu Wayback Machine (25. avgust 2019) Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers