Polje (matematika)
U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja (osim deljenja nulom) mogu da se sprovode, i važe ista pravila koja su poznata iz standardne aritmetike.
Sva polja su prstenovi, ali nisu svi prstenovi polja. Polja se razlikuju od prstenova najviše po zahtevu da je deljenje moguće, ali i, danas, po zahtevu da je operacija množenja na polju komutativna.
Prototipski primer polja je skup Q, polje racionalnih brojeva. Među drugim važnim primerima je polje realnih brojeva R, polje kompleksnih brojeva C i, za svaki prost broj p, konačno polje celih brojeva po modulu p, što se označava Z/pZ, Fp ili GF(p). Za svako polje K, skup K(X) racionalnih funkcija sa koeficijentima iz K je takođe polje.
Matematička disciplina koja proučava polja se naziva teorija polja.
Ekvivalentne definicije
[uredi | uredi izvor]Definicija 1
[uredi | uredi izvor]Polje je komutativni prsten sa deljenjem.
Definicija 2
[uredi | uredi izvor]Polje je komutativan prsten (F, +, *) takav da 0 nije jednako 1 i svi elementi iz F izuzev 0 imaju multiplikativni inverz. (Valja imati u vidu da su 0 i 1 neutrali za + i * redom, i mogu se razlikovati od realnih brojeva 0 i 1).
Definicija 3
[uredi | uredi izvor]Eksplicitno, polje definišu sledeća svojstva:
- Zatvorenost skupa F u odnosu na + i *
- Za svako a, b iz F, i a + b i a * b pripadaju F (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
- I + i * su asocijativne
- Za svako a, b, c iz F, a + (b + c) = (a + b) + c i a * (b * c) = (a * b) * c.
- I + i * su komutativne
- Za svako a, b iz F, a + b = b + a i a * b = b * a.
- Operacija * je distributivna nad operacijom +
- Za svako a, b, c, iz F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
- Postojanje aditivnog neutrala
- Postoji element 0 u F, takav da za svako a iz F, a + 0 = a.
- Postojanje multiplikativnog neutrala
- Postoji element 1 u F različit od 0, takav da za svako a iz F, a * 1 = a.
- Postojanje aditivnih inverza
- Za svako a iz F, postoji element −a iz F, takav da a + (−a) = 0.
- Postojanje multiplikativnih inverza
- za svako a ≠ 0 iz F, postoji element a−1 iz F, takav da a * a−1 = 1.
Zahtev da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Direktno iz aksoma, može se pokazati da (F, +) i (F − {0}, *) su komutativne grupe (abelove grupe) i da su stoga aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a−1 jedinstveno određeni sa a. Među drugim korisnim pravilima su
- −a = (−1) * a
i opštije
- −(a * b) = (−a) * b = a * (−b)
kao i
- a * 0 = 0,
sva ova pravila su poznata iz elementarne aritmetike.
Ako se izuzme zahtev za komutativnošću operacije * razlikuju se gornja komutativna polja od nekomutativnih polja.
Istorija
[uredi | uredi izvor]Koncept polja je uveo Dedekind, koji je koristio nemačku reč Körper (telo) za ovaj pojam. On je takođe prvi definisao prstenove, ali izraz prsten (Zahlring) je uveo Hilbert.[1]
Primeri
[uredi | uredi izvor]- Kompleksni brojevi C, u odnosu na uobičajene operacije sabiranja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sledeća podpolja:
- Racionalni brojevi a, b iz Z, b ≠ 0 } gde je Z skup celih brojeva. Polje radionalnih brojeva ne sadrži prava podpolja.
- Polje algebarskih brojeva je konačno proširenje polja racionalnih brojeva Q, to jest, polje koje sadrži Q koje ima konačnu dimenziju kao vektorski prostor nad Q. Svako takvo polje je izomorfno podpolju od C, i svaki takav izomorfizam indukuje identitet na Q. Ova polja su vrlo važna u teoriji brojeva.
- Polje algebarskih brojeva , je algebarska zatvorenost od Q. Polje algebarskih brojeva je primer algebarski zatvorenog polja karakteristike nula.
- Realni brojevi R, u odnosu na uobičajeno sabiranje i množenje.
- Realni brojevi imaju nekoliko interesantnih podpolja: realni algebarski brojevi, izračunljivi brojevi.
- Postoji (do na izomorfizam) tačno jedno konačno polje sa q elemenata, za svaki konačan broj q koji je stepen prostog broja, q≠ 1. (Ne postoji konačno polje sa drugim brojem elemenata.) Ovo se obično označava sa Fq. Takva polja se obično nazivaju polja Galoa.
- Ako je dat prost broj p, skup celih brojeva po modulu p je konačno polje sa p elemenata Z/pZ = Fp = {0, 1, ..., p − 1} gde su operacije definisane izvođenjem operacija u Z, deljenjem sa p i uzimanjem ostatka; vidi: modularna aritmetika.
- Ako je p = 2, dobijamo najmanje polje, F2, koje ima samo dva elementa: 0 i 1. Može se definisati sa dve Kejlijeve tabele
+ 0 1 * 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1
- Ovo polje ima važne primene u računartvu, posebno u kriptografiji.
- Neka su E i F dva polja, i F je podpolje od E. Neka je x element iz E koji nije u F. Tada postoji najmanje podpolje od E koje sadrži F i x, što se označava sa F(x). Kažemo da je F(x) prosto proširenje od F. Na primer, Q(i) je podpolje C koje se sastoji od svih brojeva oblika a + bi gde su i a i b racionalni brojevi.
- Za dato polje F, skup F(X) racionalnih funkcija promenljive X sa koeficijentima iz F je polje.
- Ako je F polje, i p(X) je nerastavljiv polinom u prstenu polinoma F[X], tada je koeficijent F[X]/<p(X)>, gde <p(X)> označava ideal generisan sa p(X), polje sa podpoljem izomorfnim sa F. Na primer, R[X]/<X2 + 1> je polje (izomorfno polju kompleksnih brojeva). Može se pokazati da je svako prosto algebarsko proširenje od F izomorfna polju ovog oblika.
- Kada je F polje, skup F((X)) formalni Loranov red nad F je polje.
- Ako je V algebarski varijetet nad F, tada racionalne funkcije V → F grade polje, polje funkcija nad V.
- Ako je S Rimanova površina, tada meromorfne funkcije S → C grade polje.
- Hiperrealni brojevi i superrealni brojevi proširuju realne brojeve sabiranjem infinitezimalnih i beskonačnih brojeva.
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ J J O'Connor and E F Robertson, The development of Ring Theory, September 2004.
Literatura
[uredi | uredi izvor]- Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1). 1965. ISBN 978-0-07-002655-1..
- Adamson, I. T. (2007). Introduction to Field Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46266-0.
- Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-340-54440-2.
- Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-004763-2., especially Chapter 13
- Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), „Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (na jeziku: German), 5: 225—231, ISSN 0025-5858, JFM 53.0144.01, doi:10.1007/BF02952522
- Ax, James (1968), „The elementary theory of finite fields”, Ann. of Math., 2, 88: 239—271, doi:10.2307/1970573
- Baez, John C. (2002), „The octonions”, Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 145—205, arXiv:math/0105155 , doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X
- Banaschewski, Bernhard (1992), „Algebraic closure without choice.”, Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383—385, Zbl 0739.03027
- Beachy, John. A; Blair, William D. (2006). Abstract Algebra (3 izd.). Waveland Press. ISBN 978-1-57766-443-7.
- Blyth, T. S.; Robertson, E. F. (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice. Cambridge University Press.. See especially Book 3. ISBN 978-0-521-27288-9. and Book 6. ISBN 978-0-521-27291-9..
- Borceux, Francis; Janelidze, George (2001), Galois theories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8, Zbl 0978.12004
- Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the history of mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-19376-0. MR 1290116. doi:10.1007/978-3-642-61693-8.
- Bourbaki, Nicolas (1988). Algebra II. Chapters 4–7. Springer. ISBN 978-0-387-19375-5.
- Cassels, J. W. S. (1986). Local fields. London Mathematical Society Student Texts. 3. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30484-9. MR 861410. doi:10.1017/CBO9781139171885.
- Clark, A. (1984). Elements of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover. ISBN 978-0-486-64725-8.
- Conway, John Horton (1976), On Numbers and Games, Academic Press
- Corry, Leo (2004). Modern algebra and the rise of mathematical structures (2nd izd.). Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-7002-2. Zbl 1044.01008.
- Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1871), Dedekind, Richard, ur., Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory) (na jeziku: German), 1 (2nd izd.), Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg und Sohn
- Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. 150. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1.
- Escofier, J. P. (2012). Galois Theory. Springer. ISBN 978-1-4613-0191-2.
- Fricke, Robert; Weber, Heinrich Martin (1924), Lehrbuch der Algebra (na jeziku: German), Vieweg, JFM 50.0042.03
- Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic numbers, Universitext (2nd izd.), Springer
- Gouvêa, Fernando Q. (2012), A Guide to Groups, Rings, and Fields, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-355-9
- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Field”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Hensel, Kurt (1904), „Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (na jeziku: German), 128: 1—32, ISSN 0075-4102, JFM 35.0227.01
- Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 1 (2nd izd.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
- Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), „Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [The structure of the absolute Galois group of 𝔭-adic number fields]”, Invent. Math., 70 (1): 71—98, Bibcode:1982InMat..70...71J, MR 0679774, doi:10.1007/bf01393199
- Kleiner, Israel (2007). A history of abstract algebra. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4684-4. MR 2347309. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1.
- Kiernan, B. Melvin (1971), „The development of Galois theory from Lagrange to Artin”, Archive for History of Exact Sciences, 8 (1-2): 40—154, MR 1554154, doi:10.1007/BF00327219
- Kuhlmann, Salma (2000). Ordered exponential fields. Fields Institute Monographs. 12. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0943-3. MR 1760173.
- Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211 (3rd izd.). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0.
- Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008). Finite fields (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06567-2. Zbl 1139.11053.
- Lorenz, Falko (2008). Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics. Springer. ISBN 978-0-387-72487-4.
- Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (2006), Model theory of fields, Lecture Notes in Logic, 5 (2nd izd.), Association for Symbolic Logic, CiteSeerX 10.1.1.36.8448 , ISBN 978-1-56881-282-3, MR 2215060
- Mines, Ray; Richman, Fred; Ruitenburg, Wim (1988). A course in constructive algebra. Universitext. Springer. ISBN 978-0-387-96640-3. MR 919949. doi:10.1007/978-1-4419-8640-5.
- Moore, E. Hastings (1893), „A doubly-infinite system of simple groups”, Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (3): 73—78, MR 1557275, doi:10.1090/S0002-9904-1893-00178-X
- Prestel, Alexander (1984), Lectures on formally real fields, Lecture Notes in Mathematics, 1093, Springer, ISBN 978-3-540-13885-3, MR 769847, doi:10.1007/BFb0101548
- Ribenboim, Paulo (1999). The theory of classical valuations. Springer Monographs in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-98525-1. MR 1677964. doi:10.1007/978-1-4612-0551-7.
- Scholze, Peter (2014). „Perfectoid spaces and their Applications”. Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014. ISBN 978-89-6105-804-9. Arhivirano iz originala (PDF) 25. 08. 2019. g. Pristupljeno 19. 08. 2019.
- Schoutens, Hans (2002). The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra. Lecture Notes in Mathematics. 1999. Springer. ISBN 978-3-642-13367-1.
- Serre, Jean-Pierre (1996) [1978]. A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique. Graduate Text in Mathematics. 7 (2nd izd.). Springer. ISBN 9780387900407. Zbl 0432.10001.
- Serre, Jean-Pierre (1979). Local fields. Graduate Texts in Mathematics. 67. Springer. ISBN 978-0-387-90424-5. MR 554237.
- Serre, Jean-Pierre (1992). Topics in Galois theory. Jones and Bartlett Publishers. ISBN 978-0-86720-210-6. Zbl 0746.12001.
- Serre, Jean-Pierre (2002). Galois cohomology. Springer Monographs in Mathematics. Translated from the French by Patrick Ion. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42192-4. MR 1867431. Zbl 1004.12003.
- Sharpe, David (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33718-2. Zbl 0674.13008.
- Steinitz, Ernst (1910), „Algebraische Theorie der Körper” [Algebraic Theory of Fields], Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137: 167—309, ISSN 0075-4102, JFM 41.0445.03, doi:10.1515/crll.1910.137.167
- Tits, Jacques (1957), „Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes”, Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, str. 261—289
- van der Put, M.; Singer, M. F. (2003), Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 328, Springer
- von Staudt, Karl Georg Christian (1857), Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position), 2, Nürnberg (Germany): Bauer and Raspe
- Wallace, D. A. R. (1998), Groups, Rings, and Fields, SUMS, 151, Springer
- Warner, Seth (1989). Topological fields. North-Holland. ISBN 978-0-444-87429-0. Zbl 0683.12014.
- Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd izd.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, MR 1421575, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7
- Weber, Heinrich (1893), „Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie”, Mathematische Annalen (na jeziku: German), 43: 521—549, ISSN 0025-5831, JFM 25.0137.01, doi:10.1007/BF01446451