Сабирање

Знак плус

Сабирање, у општом случају, је комбиновање било које две количине или величине користећи оператор плус. У свакодневној употреби, међутим, сабирање се обично односи на комбиновање бројева (реалних, целих, природних итд.), у циљу проналажења њихове заједничке количине или величине. Сабирање у овом смислу је један од најпростијих нумеричких задатака.

Сабирање је комутативно, што значи да је: $1+2=2+1$, тј. могу се заменити места сабирака, а резултат сабирања се неће променити. Сабирање је такође асоцијативно, јер вреди: $(1+2)+3=1+(2+3)$ Код сабирања чланова неког низа користи се велико грчко слово сигма: $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots +x_{n-1}+x_{n}$, што значи да се сабира првих n чланова низа, од x₁ do x_n.

Ознака и терминологија

3 + 2 = 5 са јабукама

У уобичајеној инфиксној нотацији, сабирање се представља знаком плус смештеним између операнада. Операнди се називају сабирци, а резултат сабирања се зове збир. Следи пример.

$2+2=4$ (изговара се „један плус два“ или „један више један“)

Следе још неки примери.

$5+4+2=(5+4)+2=9+2=11$ (погледати асоцијативност)

$3+3+3+3=3\times 4=12$ (погледати множење)

Неки пут се сабирање подразумева иако не постоји знак плус:

• Ако је исписан низ вертикално потписаних бројева испод којих је подвучена црта, подразумева се да се бројеви желе сабрати а резултат се уписује испод црте. Ипак, ово није стандард и уобичајено је ставити знак плус лево од последњег сабирка у низу.
• Цео број иза кога следи разломак се обично зове мешани број (нпр. $3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3,5$), али се ово ретко среће осим у нижим разредима основне школе. Оваква нотација не представља двосмисленост. Наиме, ако две конкретне величине стоје једна поред друге, онда се оне нормално гледају као један број (нпр. $1234$ се не може гледати никако другачије него број хиљаду двеста тридесет и четири), али овде није тај случај јер имамо разломак који чини очигледним шта се желело написати. Такође, иако је уобичајено претпоставити множење када две величине стоје једна поред друге, то се чини само када бар један од операнада не представља конкретну вредност, него променљиву, константу, итд. (нпр $3a$ се обично интерпретира као $3\times a$, али не и када су оба операнда конкретне вредности, попут $1234$ или $3{\frac {1}{2}}$.

Особине

Иако особине операције сабирања зависе од њене дефиниције и области дефинисаности, овде ћемо говорити конкретно о особинама сабирања елемената из скупа реалних бројева, а самим тим и о особинама сабирања елемената било које Абелове групе.

Сабирање реалних бројева задовољава четири услова:

1. за свака два реална броја $a$ и $b$, $a+b$ је исто што и $b+a$:

$\forall a,b\in R,a+b=b+a$ (комутативност)

2. за свака три реална броја који се сабирају, није битно којим редоследом их сабирамо и резултат мора бити исти; дакле, није битно да ли прво саберемо први и други, па збир са трећим, или прво други и трећи, па збир са првим итд.:

$\forall a,b,c\in R,a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$ (асоцијативност)

3. Постоји један реалан број који ако се сабере са било којим реалним бројем даје тај исти реалан број, тј. његово додавање на неки број не утиче на тај број; тај реални број се назива неутрал, и код сабирања реалних бројева се обично представља симболом $0$ и зове „нула“:

$\exists 0\in R,\forall x\in R,x+0=x$

4. За сваки узети реални број, постоји њему супротан, означен са знаком минус, који кад се сабере са тим бројем даје нулу; такав „супротни“ број неког броја се назива његовим инверзом:

$\forall x\in R,\exists {-x},x+(-x)=0$

Уопштено говорећи, сабирање не мора задовољавати све наведене особине за све скупове над којим је дефинисано. На пример, сабирање над скупом целих бројева не задовољава услове 3. и 4., сабирање над скупом ординала не задовољава услове 1. и 4., итд.

Таблица сабирања

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Литература

• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development. Routledge. стр. 75. ISBN 978-0-8058-3155-9. 
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE изд.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-435817-8. 
• Bunt, Lucas N.H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The Historical roots of Elementary Mathematics. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389015-0. 
• Poonen, Bjorn (2010). „Addition”. Girls' Angle Bulletin. 3 (3–5). ISSN 2151-5743. 
• Weaver, J. Fred (1982). Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. Taylor & Francis. стр. 60. ISBN 978-0-89859-171-2. 

Историја

• Ferreirós, José (1999). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-5749-9. 
• Karpinski, Louis (1925). The History of Arithmetic. Rand McNally. LCC QA21.K3. 
• Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. ISBN 978-0-88385-511-9. 
• Williams, Michael (1985). A History of Computing Technology. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389917-7. 

Елеменатарна математика

• Sparks, F.; Rees C. (1979). A Survey of Basic Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-059902-4. 

Образовање

• Begle, Edward (1975). The Mathematics of the Elementary School. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-004325-1. 
• California State Board of Education mathematics content standards Adopted December 1997, accessed December 2005.
• Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. (1991). Elementary Mathematics for Teachers (2e изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-85947-5. 
• Council, National Research (2001). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. National Academy Press. ISBN 978-0-309-06995-3. doi:10.17226/9822. Архивирано из оригинала 08. 06. 2007. г. Приступљено 06. 05. 2019. 
• Van de Walle, John (2004). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally (5e изд.). Pearson. ISBN 978-0-205-38689-5. 

Когнитивна наука

• Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten (2001). Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Heinemann. ISBN 978-0-325-00353-5. 
• Wynn, Karen (1998). „Numerical competence in infants”. The Development of Mathematical Skills. Taylor & Francis. ISBN 978-0-86377-816-2. 

Математичко излагање

• Bogomolny, Alexander (1996). „Addition”. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Архивирано из оригинала 26. 04. 2006. г. Приступљено 3. 2. 2006. 
• Dunham, William (1994). The Mathematical Universe. Wiley. ISBN 978-0-471-53656-7. 
• Johnson, Paul (1975). From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. Science Research Associates. ISBN 978-0-574-19115-1. 
• Linderholm, Carl (1971). Mathematics Made Difficult. Wolfe. ISBN 978-0-7234-0415-6. 
• Smith, Frank (2002). The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. Teachers College Press. ISBN 978-0-8077-4242-6. 
• Smith, Karl (1980). The Nature of Modern Mathematics (3rd изд.). Wadsworth. ISBN 978-0-8185-0352-8. 

Напредна математика

• Bergman, George (2005). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (2.3 изд.). General Printing. ISBN 978-0-9655211-4-7. 
• Burrill, Claude (1967). Foundations of Real Numbers. McGraw-Hill. LCC QA248.B95. 
• Dummit, D.; Foote, R. (1999). Abstract Algebra (2 изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-36857-1. 
• Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0. 
• Lee, John (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer. ISBN 978-0-387-95448-6. 
• Martin, John (2003). Introduction to Languages and the Theory of Computation (3 изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-232200-2. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3 изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• Stewart, James (1999). Calculus: Early Transcendentals (4 изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-36298-0. 

Математичко истраживање

• Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane (2005). „Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem”. INRIA Reports. Bibcode:2004math......2090A. arXiv:math.SP/0402090 . 
• Baez, J.; Dolan, J. (2001). Mathematics Unlimited – 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams. стр. 29. ISBN 978-3-540-66913-5. arXiv:math.QA/0004133 . 
• Litvinov, Grigori; Maslov, Viktor; Sobolevskii, Andrei (1999). „Idempotent mathematics and interval analysis”. Bibcode:1999math.....11126L. arXiv:math.SC/9911126 . 
• Loday, Jean-Louis (2002). „Arithmetree”. Journal of Algebra. 258: 275—309. arXiv:math/0112034 . doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. 
• Mikhalkin, Grigory (2006). Sanz-Solé, Marta, ур. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22–30, 2006. Volume II: Invited lectures. Tropical Geometry and its Applications. Zürich: European Mathematical Society. стр. 827—852. ISBN 978-3-03719-022-7. Zbl 1103.14034. arXiv:math.AG/0601041 . 
• Viro, Oleg (2001). Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, ур. European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. Progress in Mathematics. 201. Basel: Birkhäuser. стр. 135—146. Bibcode:2000math......5163V. ISBN 978-3-7643-6417-5. Zbl 1024.14026. arXiv:math/0005163 . 

Рачунарство

• Flynn, M.; Oberman, S. (2001). Advanced Computer Arithmetic Design. Wiley. ISBN 978-0-471-41209-0. 
• Horowitz, P.; Hill, W. (2001). The Art of Electronics (2 изд.). Cambridge UP. ISBN 978-0-521-37095-0. 
• Jackson, Albert (1960). Analog Computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3. 
• Truitt, T.; Rogers, A. (1960). Basics of Analog Computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7. 
• Marguin, Jean (1994). Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 (на језику: француски). Hermann. ISBN 978-2-7056-6166-3. 
• Taton, René (1963). Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 (на језику: француски). Presses universitaires de France. стр. 20—28. 

Спољашње везе

• MathWorld Wolfram, „Сабирање“ (језик: енглески)