Парност функције

У математици, парне функције и непарне функције су математичке функције које задовољавају одређене релације симетричности. Важне су у математичкој анализи, посебни у теорији степених редова и Фуријеових редова. Назване су по парности степена њихових степених редова који задовољавају сваки од услова: функција xⁿ је парна функција ако је n паран цео број, а непарна је функција ако је n непаран цео број.

Парне функције

$f(x)=x^{2},$ пример парне функције

Нека је f(x) реална функција реалне променљиве. Онда је f парна функција ако следеће једначине важе за свако x у домену функције f:

$f(x)=f(-x)\,$.

Геометријски, парна функција је симетрична у односу на y осу, што значи да график функције остаје непромењен после рефлексије око y осе.

Примери парних функција су апсолутна вредност, x², x⁴, cos(x), и cosh(x).

Непарне функције

$f(x)=x^{3},$ пример непарне функције

Поново, нека је f(x) реална функција реалне променљиве. Онда је f непарна функција ако следеће једначине важе за свако x у домену функције f:

$-f(x)=f(-x)\,$.

Геометријски, непарна функција је симетрична у односу на координатни почетак, што значи да график функције остаје непромењен после координатне ротације за 180 степени око координатног почетка.

Примери непарних фукницја су x, x³, x⁵, sin(x), и erf (x).

Неке чињенице

$f(x)=x^{3}+1$ није ни парна ни непарна функција

Напомена: парност функције не имплицира диференцијабилност, нити чак непрекидност функције. Својства која укључују Фуријеове редове, Тејлорове редове, изводе итд. могу се користити само ако се претпостави да они постоје.

Основна својства

• Једина функција која је у исто време и парна и непарна је константна функција једнака нули (тј. f(x) = 0 за свако x).
• Збир парне и непарне функције није ни парна ни непарна функција, осим ако једна од те две функције није једнака нули.
• Збир две парне функције је парна функција, и резултат сваког множења парне функције константом је такође парна функција.
• Збир две непарне функције је такође непарна функција, и резултат сваког множења непарне функције константом је непарна функција.
• Производ две парне функције је парна функција.
• Производ две непарне функције је парна функција.
• Производ парне и непарне функције је непарна функција.
• Количник дељења две парне функције је парна функција.
• Количник дељења две непарне функције је парна функција.
• Количник дељења парне функције и непарне функције је непарна функција.
• Извод парне функције је непарна функција.
• Извод непарне функције је парна функција.
• Композиција две парне функције је парна, а композиција две непарне функције је непарна функција.
• Композиција парне и непарне функције је парна функција.
• Композиција било које функције са парном функцијом је парна функција (али не важи обратно).
• Интеграл непарне функције од -A до +A је нула (где је A коначно, а функција нема вертикалних асимптота између -A и A).
• Интеграл парне функције од -A до +A је двоструко већи од интеграла од 0 до +A (где је A коначно, а функција нема вертикалних асимптота између -A и A).

Редови

• Меклоренов ред парне функције укључује само парне степене.
• Меклоренов ред непарне функције укључује само непарне степене.
• Фуријеов ред периодичне парне функције укључује само косинусне чланове.
• Фуријеов ред периодичне непарне функције укључује само синусне чланове.

Алгебарске структуре

• Свака линеарна комбинација парних функција је такође парна функција, и парне функције формирају векторски простор над реалним бројевима. Исто тако, линеарна комбинација непарних функција формира векторски простор над реалним бројевима. У ствари, векторски простор свих реалних функција је директна сума линеарних подпростора парних и непарних функција. Другим речима, свака функција се може јединствено написати као сума парне и непарне функције:

$f(x)=f_{\mathrm {even} }(x)+f_{\mathrm {odd} }(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}\,+\,{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}\,$

• Парне функције формирају К-алгебру над реалним бројевима. С друге стране, непарне функције не формирају К-алгебру над реалним бројевима.

Види још

• Хермитијан функција за генерализацију над комплексним бројевима
• Тејлоров ред
• Фуријеов ред