Poređenje fazne karakteristike kod ova tri tipa filtra

Poređenje Besselovog i Batervortovог filtra

Batervortov filter je tip filtra koji ima ravnu opadajuču karakteristiku, u propusnom opsegu i smatra se kompromisom između Čebiševog i Beselovog filtra. Filter je nazvan po Britanskom inžinjeru Stivenu Batervortu (Stephen Butterworth) koji ga je prvi opisao 1930. godine.

Uopšteno

Ovaj termin se više odnosi na tip odziva nego na specifičan tip filtra. Prenosna funkcija se tako dimenzioniše da nema „talasanja“ u propusnom opsegu i opada prema nuli u nepropusnom^[1]. Ovo se postiže izjednačavanjem izvoda prenosne funkcije sa nulom, na centralnoj učestanosti filtra (to je npr. nula za niskopropusne filtre).

Ovdje ću detaljnije obraditi niskopropusne, visokopropusne kao i filtre propusnike opsega, u slučaju kad je dato kolo nižeg ili kolo višeg reda. Filtri prvog reda su oni kod kojih odziv opada 6dB po oktavi (20dB po dekadi). Kod filtera drugog reda, riječ je o -12 dB/oct, dok se kod trećeg reda radi o -18/oct.

Dizajn filtra

Postoje nekoliko različitih topologija, odnosno vrsta izrade ovog linearnog, analognog filtra. Najkorištenije su Kauerova i Salen-Ki topologije.

Salen-Ki topologija

Salen-Ki topologija koristi aktivne i pasivne komponente (uglavnom su to operacioni pojačavači, otpornici i kondenzatori). Svaki stepen Salen-Kija dodaje po par polova. Na kraju se svi stepeni filtra povežu redno.^[2]

Analiza generičkog primjera

Sa slike se vidi da je kod OP-a zatvorena negativna sprega pa je stoga V-=V+=Vout. Napišimo jednačinu za čvor X:

{\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{-}}{Z_{2}}}

ili:

{\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}

Struja je ista kroz elemente Z2 i Z4 pa je očigledno:

{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}}

Iz čega dobijamo

v_{x}=v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)

(3)\,

Uvrstimo li to u jednačinu za čvor X, dobijamo:

{\frac {v_{\text{in}}-v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)}{Z_{1}}}={\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}

(4)\,

Iz čega dobijamo prenosnu funkciju:

{\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3}Z_{4}}}

(5)\,

Ako bi komponenta Z3 bila uzemljena, filter bi bio djelitelj napona (na Z1 i Z3), kaskadno vezan sa djeliteljem napona na Z2 i Z3.

Zavisno od odabira pasivnih komponenti za $\mathbb {Z} _{\text{1-4}}$ (otpornika i kondenzatora) može se dobiti niskopropusni, visokopropusni ili filter propusnik opsega.

Primjer analize niskopropusnog filtra

Za amortizaciju (kao bafer) se koristi OP, ali se takođe može koristiti i BJT emiter . Komponente su odabrane na sljedeći način: Z1=R1; Z2=R2; Z3=1/(sC1); Z4=1/(sC2) .

Uvrštavanjem ovih vrijednosti u izraz za prenosnu funkciju koji smo dobili u prethodnom slučaju, dobijamo:

H(s)={\frac {\frac {1}{s^{2}C_{1}C_{2}}}{{R_{1}R_{2}}+{\frac {R_{1}+R_{2}}{sC_{1}}}+{\frac {1}{s^{2}C_{1}C_{2}}}}}

Da bi zadovoljili opštu formulu:

H(s)={\frac {\overbrace {(2\pi f_{c})^{2}} ^{\omega _{c}^{2}}}{s^{2}+\underbrace {2\pi {\frac {f_{c}}{Q}}} _{{\frac {\omega _{c}}{Q}}=2\zeta \omega _{c}}s+\underbrace {(2\pi f_{c})^{2}} _{\omega _{c}^{2}}}}

svodimo na:

H(s)={\frac {\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{{\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}+{\frac {s(R_{1}+R_{2})}{R_{1}R_{2}C_{1}}}+s^{2}}}

iz čega se lako zaključi da je:

\omega _{c}={\sqrt {\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}

tj. :

f_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}.

Takođe se dobija da je :

Q={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}

$f_{c}\,$ predstavlja cutoff frekvenciju ( $\omega _{c},$ naravno cutoff kružnu učestanost), dok je $Q\,$ faktor dobrote (bezdimenziona veličina) koji opisuje koliko je visok i širok pik odziva filtra. Veći Q faktor označava manji gubitak energije u odnosu na frekvenciju, tj. oscilacije se sporije gase (odumiru).

Dizajner mora odabrati parametre $Q\,$ i $f_{c}\,$ zavisno od situacije. Naprimjer, Batervortov filter drugog reda, koji ima najveći flet odziv u propusnom opsegu, ima $Q\,$ koji iznosi ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ . Imamo 2 parametra za podešavanje, a 4 nepoznate ( $R_{1},R_{2},C_{1},C_{2}$ ), obično se uzima jedan otpornik kao odnos sa drugim (tipa $R_{1}=m*R_{2}$ ). Isto se uradi i kod odabira kondendzatora.

Primjer odabira elemenata

Kolo sa slike ima $f_{c}\,$ od 15.9 kHz i $Q\,$ faktor od 0.5. Prenosna funkcija izgleda ovako:

H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{\frac {1}{\omega _{c}Q}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{c}^{2}}}s^{2}}},

Poslije uvrštavanja ( $R_{1}=m*R_{2}$ ; $C_{1}=n*R_{2}$ ), dobijamo:

H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {RC(m+1)} _{\frac {1}{\omega _{c}Q}}s+\underbrace {mnR^{2}C^{2}} _{\frac {1}{\omega _{c}^{2}}}s^{2}}}

Odavde vidimo da se jednostavnom promjenom odnosa R,C ili m,n može postići ista frekvencija i faktor dobrote za bilo koji filter.

Primjer analize visokopropusnog filtra

Analiziraćemo visokopropusni filter drugog reda, sa slike. Njegova prenosna funkcija će biti oblika:

H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi ({\frac {f_{c}}{Q}})} _{\frac {\omega _{c}}{Q}}s+\underbrace {(2\pi f_{c})^{2}} _{\omega _{c}^{2}}}},

Iz jednačina:

(V_{\text{in}}-V_{a}){sC_{1}}=(V_{a}-V_{+}){sC_{2}}+{\frac {V_{a}-V_{\text{out}}}{R_{1}}}

V_{+}=V_{\text{out}}={\frac {R_{2}sC_{2}}{R_{2}sC_{2}+1}}V_{a}

Sređivanjem se dobija:

H(s)={\frac {V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}}={\frac {s^{2}}{s^{2}+{\frac {s}{R_{2}}}({\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}})+{\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}

Upoređivanjem jednačina se dobija:

f_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}\,

R_{1}=R_{2}=R,C_{1}=C_{2}=C;

f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}},

Primjer analize filtra propusnika opsega

Na slici je prikazan bandpass filter implementiran u VCVS topologiji. Iako nije ista topologija, metod analize je sličan i lakše ga je objasniti na ovom primjeru. Prenosna funkcija ovog filtra je data izrazom:

H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{b}}{R_{a}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{b}}{R_{a}R_{f}C_{1}}}\right)} _{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{f}}{R_{1}R_{f}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{\omega _{0}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}

Centralna učestanost $f_{0}$ (frekvencija gdje odziv ima svoj pik) se dobija izrazom:

f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{f}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{f}}}}

Naponski djeljitelj u kolu sa negativnom povratnom spregom kontroliše gejn. "Unutrašnji gejn" $G$ od operacionog pojačavača je

G=1+{\frac {R_{b}}{R_{a}}}

dok je gejn pojačavača, na frekvenciji pika, dat izrazom:

A={\frac {G}{3-G}}

Vidimo da se $G$ mora držati ispod 3 da filter ne bi oscilirao. Filter se obično optimizuje odabirom $R_{2}=2R_{1}$ i $C_{1}=C_{2}$ .

Butterworth filtri višeg reda

Red filtra je broj njegovih polova i koji ćemo upotrijebiti, zavisi od praktične potrebe. Aktivan filter sa N polova ima rolloff rate od N x 6dB/oktavi (N x 20dB/dekadi). Slično, odziv visokopropusnog filtra sa N polova povecava se po N x 6dB/oktavi, sve do cutoff frekvencije. U oba slučaja, f_c je definisano kao:

f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}

Magnituda naponske prenosne funkcije za niskopropusne filtre N-tog reda je:

|T|={\frac {1}{\sqrt {1+({\frac {f}{f_{c}}})^{2N}}}}

Filter trećeg reda (slika 6 u daljoj analizi)

Za visokopropusne filtre N-tog reda, magnituda naponske prenosne funkcije je:

|T|={\frac {1}{\sqrt {1+({\frac {f_{c}}{f}})^{2N}}}}

Na slici je prikazan niskopropusni Batervortov filter trećeg reda (ima 3 pola). Tri otpornika su jednaka a odnos između kapacitivnosti tako što se prvi i drugi izvod prenosne funkcije izjednače sa nulom.

Filtri višeg reda se mogu konstruisati dodavanjem još RC mreža. Međutim, efekat punjenja za svaku dodatnu RC mrežu postaje sve vidljiviji. Ovo se prevazilazi tako što se kaskadno (redno) vežu filtri drugog reda sa OP-om (znači svaki filter ima po jedan OP u sebi).Zbog niske izlazne otpornosti OP-a, gotovo da nema efekta punjenja između kaskada. Primjer takvog filtra se može vidjeti na slici. Maksimalno ravan odziv se ne dobija prostim vezivanjem na red ovih dvo-polnih filtera. Potrebno je uskladiti kapacitivnosti izjednačavanjem prva tri izvoda funkcije prenosa, sa nulom. Na sličan način se mogu konstruisati i filtri višeg reda. Propusnici i nepropusnici opsega koriste sličnu konfiguraciju.

Primjer rješavanja niskopropusnog aktivnog Butterworth filtra trećeg reda

Od raznih topologija koje su nam na raspolaganju za izradu filtra višeg reda, Sallen-Key zahtijeva najmanji broj komponenti pa je takav filter lakše analizirati (npr. samo jedan OP za 3-polni odziv 18 dB/oct). Slijedi opis analize sklopa sa slike 6.

Posmatramo čvor 3b (gdje je v₃ = v_3a = v_3b). Jednačina za napon čvora se može napisati i ovako: $v_{out}=\left({\frac {R_{4}+R_{5}}{R_{5}}}\right)\cdot v_{3}$

Označimo: $M=1+{\frac {R_{4}}{R_{5}}}$ Zatim: $v_{3}={\frac {v_{out}}{M}}$

Naponi za ostale čvorove glase:

{\frac {M^{-1}\cdot v_{out}-v_{2}}{R_{3}}}+s\cdot C_{3}\left(M^{-1}\cdot v_{out}\right)=0

{\frac {v_{1}-v_{in}}{R_{1}}}+s\cdot C_{1}\cdot v_{1}+{\frac {v_{1}-v_{2}}{R_{2}}}=0

{\frac {v_{2}-v_{1}}{R_{2}}}+s\cdot C_{2}\cdot \left(v_{2}-v_{out}\right)+{\frac {v_{2}-M^{-1}\cdot v_{out}}{R_{3}}}=0

Prenosna funkcija H(s) = V_out/V_in, sada izgleda H(s)=

{\frac {\frac {M}{R_{1}\cdot R_{2}\cdot R_{3}\cdot C_{1}\cdot C_{2}\cdot C_{3}}}{\left[s^{3}+\left({\frac {1}{R_{1}\cdot C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}\cdot C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}\cdot C_{2}}}+{\frac {1-M}{R_{3}\cdot C_{3}}}+{\frac {1}{R_{3}\cdot C_{2}}}\right)\cdot s^{2}+\left({\frac {R_{3}\cdot C_{3}+R_{1}\cdot C_{3}+R_{2}\cdot C_{3}+C_{1}\cdot R_{1}+\left(1-M\right)\cdot \left(R_{1}+R_{2}\right)\cdot C_{2}}{R_{1}\cdot R_{2}\cdot R_{3}\cdot C_{1}\cdot C_{2}\cdot C_{3}}}\right)\cdot s+{\frac {1}{R_{1}\cdot R_{2}\cdot R_{3}\cdot C_{1}\cdot C_{2}\cdot C_{3}}}\right]}}

Primijetimo da je opšti oblik za H(s) 3-polnog Butterworth niskopropusnog filtra na cutoff frekvenciji od 1 rad/sec:

{\frac {K_{ac}}{s^{3}+2s^{2}+2s+1}}

Primijetimo:

{\frac {1}{R_{1}\cdot R_{2}\cdot R_{3}\cdot C_{1}\cdot C_{2}\cdot C_{3}}}=1

{\frac {R_{3}\cdot C_{3}+R_{1}\cdot C_{3}+R_{2}\cdot C_{3}+C_{1}\cdot R_{1}+\left(1-M\right)\cdot \left(R_{1}+R_{2}\right)\cdot C_{2}}{R_{1}\cdot R_{2}\cdot R_{3}\cdot C_{1}\cdot C_{2}\cdot C_{3}}}=2

{\frac {1}{R_{1}\cdot C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}\cdot C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}\cdot C_{2}}}+{\frac {1-M}{R_{3}\cdot C_{3}}}+{\frac {1}{R_{3}\cdot C_{2}}}=2

gdje je K_ac = M.

Izaberemo izlazni rast od: K_ac = 3 (9,5 dB)

Takođe, izaberemo sljedeće vrijednosti komponenti: $C_{1}=3000uF,C_{2}=1000uF,C_{3}=1000uF,R_{5}=10kOm$

Rješavajuči po R₁, R₂, R₃ i R₄ dobijamo:

R₁= 816.46 Om, R₂= 481.26 Om, R₃= 848.33 Om, R₄= 10 kOm

Dozvoljeno nam je da promijenimo vrijednosti R₁-R₄ prema EIA standardu od 1% tolerancije po dekadi:

R₁= 825 Om, R₂= 487 Om, R₃= 845 Om, R₄= 20 kOm

I dobijamo:

Praktični savjeti:

Za različite vrijednosti rasta mogu se koristiti vrijednosti komponenti sa tabele ispod, ili svaki blok zasebno rješavati za različitu vrijednost Kac. Koristite samo pozitivne pozitivne potkorjene vrijednosti. Programski paket Mathcad(TM) može pomoći pri računu.

M(K_ac)	0dB	6dB	12dB	18dB	24dB	30dB	36dB
R1(Ω)	1.292	15.652	1.624	4.305	3.246	1.437	3.234
R2(Ω)	2.093	14.694	4.067	1.750	2.134	16.260	7.198
R3(Ω)	3.698	4.348	15.144	13.276	1.444	42.794	42.950
R4(Ω)	0	10.000	30.000	70.000	15.000	31.000	63.000
R5(Ω)	∞	10.000	10.000	10.000	1.000	1.000	1.000
C1(F)	10^-3	10^-4	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3
C2(F)	10^-3	10^-4	10^-4	10^-4	10^-4	10^-5	10^-5
C3(F)	10^-4	10^-4	10^-4	10^-4	10^-3	10^-4	10^-4

M(K_ac)	42dB	48dB	54dB	60dB	66dB	72dB	78dB
R1(Ω)	1.640	1.242	2.243	1.030	1.137	1.700	6.053
R2(Ω)	13.615	69.066	32.123	185.004	285.242	136.553	47.723
R3(Ω)	4.479	116.556	138.815	5.249	308.473	430.832	346.170
R4(Ω)	127.000	25.500	51.100	102.300	20.470	40.950	81.910
R5(Ω)	1.000	100	100	100	10	10	10
C1(F)	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3	10^-3
C2(F)	10^-5	10^-6	10^-6	10^-6	10^-7	10^-7	10^-7
C3(F)	10^-3	10^-4	10^-4	10^-3	10^-4	10^-4	10^-4

Primjer tropolnog Batervortovog filtra

U prikazanoj šemi:

1. Tranzistori Mm6, 7, 8, 9 i 10 su tranzistori za strujno ogledalo u šemi za mješač.
2. Prvi transkonduktor čine Mf1 i 2 (i aktivno opterećenje). On se ponaša kao zaštita između mješača i filtra.
3. Rf1 i Cf1 su dva od uređaja koji se koriste u normalizovanom niskopropusnom filtru (podešenom na frekvenciju i impedansu)
4. Četiri transkonduktorske ćelije (Mf2-10 i odgovarajuća aktivna opterećenja) i kondenzator Cf2 čine aktivni induktor.
5. Rf2 i Cf3 su krajnje komponente normalizovanog niskopropusnog filtra.

Mreža za pomjeranje faze ima centralnu frekvenciju od 5,5 MHz i propusni opseg (gdje je fazni pomak linearan) od oko 1 MHz. To je u suštini paralelna RLC mreža gdje je induktor aktivni induktor.

U gornjoj šemi:

1. Kondenzatori Cps1 i 2 su izabrani tako da je njihova reaktansa jednaka reaktansi Rps1.
2. R je izabrano tako da određeni faktor dobrote Q (i potom širinu propusnog opsega fazno pomjerajuće mreže).
3. Cps3 i aktivni induktor (dvije transkonduktorske ćelije) podešavaju centralnu frekvenciju u mreži za pomjeranje faze.

Kauer topologija

Kauer topologija koristi pasivne komponente (kondenzatore i kalemove) za implementaciju linearnog analognog filtra. Izraz za k-ti element je dat u formi:

C_{k}=2\sin {{\frac {2k-1}{2n}}\pi }

; k = neparno

L_{k}=2\sin {{\frac {2k-1}{2n}}\pi }

; k = parno

Filter se može realizovati i sa serijski vezanim induktivitetom na početku, ali se u tom slučaju uzima da je L_k od k neparno a C_k od k parno.

Reference

^ Giovanni Bianchi and Roberto Sorrentino (2007). Electronic filter simulation & design. McGraw-Hill Professional. стр. 17–20. ISBN 9780071494670.
^ Donald A Neamen (2009). Microelectronics Circuit Analysis and Design. McGraw-Hill. стр. 1050-1070. ISBN 978-0-07-338064-3, 9780073380643.

Литература

Donald A Neamen (2009). Microelectronics Circuit Analysis and Design. McGraw-Hill. стр. 1050-1070. ISBN 978-0-07-338064-3, 9780073380643.
Giovanni Bianchi and Roberto Sorrentino (2007). Electronic filter simulation & design. McGraw-Hill Professional. стр. 17–20. ISBN 9780071494670.

[bianchi-1] Giovanni Bianchi and Roberto Sorrentino (2007). Electronic filter simulation & design. McGraw-Hill Professional. стр. 17–20. ISBN 9780071494670.

[Neamen-2] Donald A Neamen (2009). Microelectronics Circuit Analysis and Design. McGraw-Hill. стр. 1050-1070. ISBN 978-0-07-338064-3, 9780073380643.

[1]

[2]