Множење

3 · 4 = 12, па 12 куглица може бити сложено као 3 врсте по 4 (или 4 колоне по 3) куглице

Множење је бинарна операција у математици. Записује се као a · b или a × b. Операнди a и b се називају чиниоци (фактори), а резултат множења производ.

Ако је један операнд природан број, онда множење представља скраћени запис сабирања. Нпр, ако је n ∈ ℕ, онда је

$a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$

У алгебри се ознака за множење подразумева и може се прескочити, па се 3 · a · b може записати и као 3 a b

На пример, 4 помножено са 3, често написано као $3\times 4$ и изговорено као „3 пута 4”, може се израчунати додавањем 3 копије од 4 заједно:

$3\times 4=4+4+4=12$

Овде су 3 (множилац) и 4 (множеник) чиниоци, а 12 је производ.

Једно од главних својстава множења је комутативно својство, које у овом случају наводи да сабирање 3 копије од 4 даје исти резултат као додавање 4 копије од 3:

$4\times 3=3+3+3+3=12$

Систематске генерализације ове основне дефиниције дефинишу множење целих бројева (укључујући негативне бројеве), рационалних (разломака) и реалних бројева.

Множење се такође може визуализовати као бројање објеката распоређених у правоугаоник (за целе бројеве) или као проналажење површине правоугаоника чије странице имају неке дате дужине. Површина правоугаоника не зависи од тога која се страница прва мери — последица комутативног својства.

Производ два мерења је нова врста мерења. На пример, множењем дужина две стране правоугаоника добија се његова површина. Такав производ је предмет димензионалне анализе.

Инверзна операција множењу је дељење. На пример, пошто је 4 помножено са 3 једнако 12, 12 подељено са 3 је једнако 4.

Множење бројева

Особине

Множење има приоритет над сабирањем. Множење бројева има следеће особине (за множење других објеката погледати ниже у тексту):

1. $a\cdot 1=1\cdot a=a$	(неутрал)
2. $a\cdot 0=0\cdot a=0$	(сваки број помножен нулом једнак је нули)
3. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	(асоцијативност)
4. $a\cdot b=b\cdot a$	комутативност
5. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$	дистрибутивност множења према сабирању

1. На скупу рационалних, реалних и комплексних бројева, сваки број осим нуле има тачно један инверзан број, такав да је њихов производ јединица:

$\forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1$

Инверзан број броја $a$ се записује као ${\tfrac {1}{a}}$. Инверзан број инверзног броја је полазни број:

${\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a$

Множење целих бројева

Приликом множења целих бројева, ако су оба истог знака (оба позитивна или негативна), резултат је позитиван. Производ позитивног и негативног броја је негативан.

Рационални чиниоци

Главни чланак: Рационалан број

Производ рационалних бројева је рационалан број коме је бројилац производ бројилаца чинилаца, а именилац производ именилаца чинилаца:

$a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}$

Ирационални чиниоци

Главни чланак: Реални бројеви

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број, тада је производ a · b гранична вредност

$a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}$

где је ${\tfrac {p}{q}}$ рационалан број и представља приближну вредност броја b.

Множење комплексних бројева

Главни чланак: Комплексни бројеви

Сваки комплексан број z можемо записати као уређени пар или у тригонометријском (поларном) запису:

$z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )$.

Како је $i^{2}=-1$, формула за множење у алгебарском запису гласи

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$.

Из тригонометријских једначина следи формула за множење комплексних бројева у тригонометријском облику:

$\rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))$

Множење вектора

Главни чланак: Вектор

Постоји неколико врста множења вектора: множење вектора скаларом, скаларни, векторски и мешовити производ вектора. Скаларни производ вектора се обележава са „·“, а векторски са „×“.

Посматрајмо вектор у тродимензионалном Еуклидском простору: $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})\in \mathbb {R} ^{3}$.

Множење вектора скаларом

Вектор се множи скаларом тако што се свака његова координата помножи скаларом. Ова операција је комутативна.

$k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})$

Скаларни производ

Скаларни производ вектора је скалар једнак суми производа одговарајућих координата:

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

Скаларни производ је комутативан.

Векторски производ

Векторски производ.

Векторски производ вектора је нови вектор, чији је интензитет једнак површини паралелограма који вектори-чиниоци заклапају, правац му је нормалан на раван коју вектори-чиниоци дефинишу, а смер се дефинише правилом леве или десне руке, зависно од конвенције. Овај производ је специфичан за $\mathbb {R} ^{3}$, и антикомутативан је. Векторски производ се рачуна као детерминанта матрице:

$\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

где су $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ и $\mathbf {k}$ ортови дуж x, y и z осе.

Мешовити производ

Запремина паралелепипеда који дефинишу 3 вектора једнака је њиховом мешовитом производу.

Мешовити производ три вектора је скалар који је једнак запремини паралелопипеда који ти вектори заклапају. Записује се као [a, b, c] и по дефиницији је:

$[]:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$

$[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}$

Множење матрица

Главни чланак: Матрица (математика)

Нека су дате матрице А и B величине m_А×n_А и m_B×n_B. Производ AB је дефинисан ако је n_А = m_B, а добијена матрица има димензије m_А×n_B. Елементи матрице-производа су

$(AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}$

Множење матрица није комутативно. Матрице 1×3 и 3×2 можемо помножити само на један начин, а 5×4 и 4×5 са обе стране, али производи неће имати исту величину (5×5 на један и 4×4 на други начин). Ако се помноже две квадратне матрице исте величине, производи су такође исте величине, и може се дефинисати комутатор:

$[A,B]=A\times B-B\times A$

Види још

• Дељење
• Степеновање
• Таблица множења
• Линеарна функција
• Египатско множење

Литература

• Boyer, Carl B. (1991). History of Mathematics. Merzbach, Uta C. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon 
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Gandz, S. (јануар 1936). „The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra”. Osiris. 1: 263—277. JSTOR 301610. S2CID 60770737. doi:10.1086/368426. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X. 
• Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6. 
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin. 
• Euler, Leonhard (2005). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. Архивирано из оригинала 2011-04-13. г. 
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X. 
• Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press. 
• Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books. ISBN 978-0140277784. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). „History Topics: Algebra Index”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Архивирано из оригинала 2016-03-03. г. Приступљено 2011-12-10. 
• Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books. 
• Bareiss, Erwin (1968), „Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination” (PDF), Mathematics of Computation, 22 (102): 565—578, JSTOR 2004533, doi:10.2307/2004533, Архивирано (PDF) из оригинала 2012-10-25. г. 
• de Boor, Carl (1990), „An empty exercise” (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3—7, S2CID 62780452, doi:10.1145/122272.122273, Архивирано (PDF) из оригинала 2006-09-01. г. 
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
• Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). „Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication”. Mathematics of Computation. 28 (125): 231—236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8 . 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd изд.), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264 
• Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), „Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation”, Computational Geometry, 54: 1—16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001  
• Garibaldi, Skip (2004), „The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions”, American Mathematical Monthly, 111 (9): 761—778, JSTOR 4145188, MR 2104048, arXiv:math/0203276 , doi:10.2307/4145188 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). „A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems” (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98—109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007 . Архивирано (PDF) из оригинала 2019-05-05. г. 
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ур., A history of abstract algebra, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1 
• Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894 

Спољашње везе

• Multiplication and Arithmetic Operations In Various Number Systems at cut-the-knot
• Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus