Ромб

Ромб
Ромб у две различите оријентације
Тип	четвороугао, трапез, паралелограм, змај
Ивице и темена	4
Дијаграм Кокстера
Симетрична група	диедрална (D2), [2], (*22), ред 4
Површина	$K={\frac {p\cdot q}{2}}$ (пола производа дијагонала)
Двоструки многоугао	правоугаоник
Својства	конвексан, изотоксалан

Ромб је у геометрији четвороугао из класе паралелограма коме су све странице једнаких дужина. Карактерише га произвољна величина угла између две његове стране, која може да варира у реалном интервалу (0,π). Специјалан случај ромба коме су странице нормалне једна на другу је квадрат.

Ромб се често назива „дијамант“, по дијаманатима шпила карта за играње где један од симбола подсећа на пројекцију октаедарског дијаманта или ромб, иако се дијамант понекад посебно односи на ромб са углом од 60° (који неки аутори називају калисон по француском слаткишу &ndash види и полиамонд), а ово друго се понекад односи на ромб са углом од 45°.

Формуле

Ромб и његови значајнији елементи: Темена A, B, C и D, дужине страница a, висина h, дијагонале d₁ и d₂ и углови α и β.

Висина	$h=a\sin \alpha =a\sin \beta$ $h={\frac {d_{1}d_{2}}{2a}}$
Обим	$O=4a$
Површина	$P=ah={\frac {1}{2}}d_{1}d_{2}$
Дијагонале	$d_{1}=2a\sin {\frac {\beta }{2}}=2a\cos {\frac {\alpha }{2}}$ $d_{2}=2a\sin {\frac {\alpha }{2}}=2a\cos {\frac {\beta }{2}}$
Полупречник уписане кружнице	$\rho \,=\,{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \sin \alpha$

Углови

Из једнакости страна следи да су наспрамни углови ромба једнаки, што значи да постоје само две различите величине углова између страна ромба: α и β.

$\angle BAD=\angle DCB,\;\;\angle CBA=\angle ADC$

Са друге стране правило о збиру углова у четвороуглу једнозначно одређује вредност величине другог угла, уколико је први познат, те је ромб одређен само са дужином странице и једним углом:

$\alpha +\beta +\alpha +\beta =2(\alpha +\beta )=360^{\circ }$

$\alpha +\beta =180^{\circ }$

Углови између дијагонала ромба су прави тј. једнаки 90°.

Етимологија

Реч „ромб” долази од стгрч. ῥόμβος, што значи нешто што се окреће, што потиче од глагола ῥέμβω, романизованог: rhémbō, што значи „окретати се у круг“. Реч су користили и Еуклид и Архимед, који су користили термин „правоугани ромб“ за биконус, два десна кружна конуса који деле заједничку основу.

Површина која се данас назива ромб је попречни пресек биконуса на равни кроз врхове два конуса.

Карактеризације

Једноставан четвороугао (код ког нема самопресецања) је ромб ако и само ако важи једно од следећег:

• паралелограм у коме дијагонала дели унутрашњи угао на пола
• паралелограм у коме су најмање две узастопне странице једнаке по дужини
• паралелограм у коме су дијагонале окомите (ортодијагонални паралелограм)
• четвороугао са четири странице једнаке дужине (по дефиницији)
• четвороугао у коме су дијагонале нормалне и деле једна другу половину
• четвороугао у коме свака дијагонала дели два супротна унутрашња угла
• четвороугао ABCD који има тачку P у својој равни тако да су четири троугла ABP, BCP, CDP, и DAP сви подударни
• четвороугао ABCD у коме уписане кружнице у троугловима ABC, BCD, CDA и DAB имају заједничку тачку.

Основна својства

Сваки ромб има две дијагонале које спајају парове супротних темена и два пара паралелних страница. Користећи подударне троуглове, може се доказати да је ромб симетричан преко сваке од ових дијагонала. Из тога следи да било који ромб има следећа својства:

• Супротни углови ромба имају једнаку меру.
• Две дијагонале ромба су нормалне; односно ромб је ортодијагонални четвороугао.
• Његове дијагонале секу супротне углове.

Прво својство имплицира да је сваки ромб паралелограм. Ромб стога има сва својства паралелограма: на пример, супротне стране су паралелне; суседни углови су допунски; две дијагонале секу једна другу; било која линија која пролази кроз средину дели област на пола; а збир квадрата страница једнак је збиру квадрата дијагонала (закон паралелограма). Стога се означава заједничка страна као a, а дијагонале као p и q, у сваком ромбу

$\displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.$

Није сваки паралелограм ромб, иако је сваки паралелограм са нормалним дијагоналама (друго својство) ромб. Генерално, сваки четвороугао са нормалним дијагоналама, од којих је једна линија симетрије, је змај. Сваки ромб је змај, а сваки четвороугао који је и змај и паралелограм је ромб.

Ромб је тангенцијални четвороугао. То јест, има уписан круг који је тангентан на све четири стране.

Ромб. Сваки угао означен црном тачком је прави угао. Висина h је нормално растојање између било које две несуседне странице, које је једнако пречнику уписаног круга. Дијагонале дужина p и q су црвени испрекидани сегменти.

Дијагонале

Дужина дијагонала p = AC и q = BD може се изразити преко стране ромба a и једног теменог угла a као

$p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}$

и

$q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.$

Ове формуле су директна последица закона косинуса.

Уписани полупречник

Инрадијус (полупречник круга уписаног у ромб), означен са r, може се изразити дијагоналамаp и q као

$r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},$

или у смислу дужине странице a и било ког вршног угла α или β ас

$r={\frac {a\sin \alpha }{2}}={\frac {a\sin \beta }{2}}.$

Површина

Као и за све паралелограме, површина K ромба је производ његове основе и висине (h). Основа је једноставно било која дужина странице a:

$K=a\cdot h.$

Површина се такође може изразити као база на квадрат пута синус било ког угла:

$K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,$

или у смислу висине и теменог угла:

$K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},$

или као половина производа дијагонала p, q:

$K={\frac {p\cdot q}{2}},$

или као полупериметар пута полупречник круга уписаног у ромб (инрадијус):

$K=2a\cdot r.$

Други начин, који је заједнички са паралелограмима, је да се две суседне странице сматрају векторима, формирајући бивектор, те је површина величина бивектора (величина векторског производа два вектора), која је детерминанта два вектора Декартовске координате вектора: K = x₁y₂ – x₂y₁.

Декартова једначина

Странице ромба са центром у координатном почетку, са дијагоналама које падају на осе, састоје се од свих тачака (x, y) које задовољавају

$\left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.$

Темена су у $(\pm a,0)$ и $(0,\pm b).$ Ово је посебан случај суперелипсе, са експонентом 1.

Остала својства

• Један од пет типова 2Д решетке је ромбична решетка, која се такође назива центрирана правоугаона решетка.
• Идентични ромби могу поплочити 2Д раван на три различита начина, укључујући, за ромб од 60°, ромбно поплочавање.

Као тополошко квадратно поплочавање		Као ромбно поплочавање са 30-60 степени

• Тродимензионални аналози ромба укључују бипирамиду и биконус.
• Неколико полиедара има ромбна лица, као што су ромбни додекаедар и трапезо-ромбни додекаедар.

Неки полиедри са свим ромбичним лицима

Изоедарски полиедри		Неизоедарски полиедри
Идентични ромбови	Идентични златни ромбови		Два типа ромба	Три типа ромба
Ромбни додекаедар	Ромбни триакотаедар	Ромбни икосаедар	Ромбни енеаконтаедар	Ромбоедар

Литература

• Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. 
• Љиљана Петрушевски - Полиедри
• Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Grünbaum, B. (1994). „Polyhedra with Hollow Faces”. Ур.: Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; et al. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Springer. стр. 43—70. ISBN 978-94-010-4398-4. 
• Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf Архивирано на сајту Wayback Machine (3. август 2016))
• Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
• Haeckel, E (1904). Kunstformen der Natur. . Available as Haeckel, E. Art forms in nature. Prestel USA. 1998. ISBN 3-7913-1990-6. (1998), , or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
• Smith, J. V (1982). Geometrical And Structural Crystallography. . John Wiley and Sons.
• Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions.  E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
• Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
• Whitney, Hassler (1932). „Congruent graphs and the connectivity of graphs”. Amer. J. Math. 54 (1): 150—168. JSTOR 2371086. doi:10.2307/2371086. hdl:10338.dmlcz/101067. 
• Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter (1987), „Puzzles and polytope isomorphisms”, Aequationes Mathematicae, 34 (2–3): 287—297, MR 921106, doi:10.1007/BF01830678 
• Kalai, Gil (1988), „A simple way to tell a simple polytope from its graph”, Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, 49 (2): 381—383, MR 964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7 
• Kaibel, Volker; Schwartz, Alexander (2003). „On the Complexity of Polytope Isomorphism Problems”. Graphs and Combinatorics. 19 (2): 215—230. arXiv:math/0106093 . doi:10.1007/s00373-002-0503-y. Архивирано из оригинала 2015-07-21. г. 
• Büeler, B.; Enge, A.; Fukuda, K. (2000). „Exact Volume Computation for Polytopes: A Practical Study”. Polytopes — Combinatorics and Computation. стр. 131. ISBN 978-3-7643-6351-2. doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6. 
• Yao, Andrew Chi Chih (1981), „A lower bound to finding convex hulls”, Journal of the ACM, 28 (4): 780—787, MR 677089, doi:10.1145/322276.322289 ; Ben-Or, Michael (1983), „Lower Bounds for Algebraic Computation Trees”, Proceedings of the Fifteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '83), стр. 80—86, doi:10.1145/800061.808735 
• Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd изд.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167 .
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), „Duality of polyhedra”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617—642, doi:10.1080/00207390500064049 .
• Grünbaum, Branko (2003), „Are your polyhedra the same as my polyhedra?”, Ур.: Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha, Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, 25, Berlin: Springer, стр. 461—488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21 .
• Grünbaum, Branko (2007), „Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs”, Discrete Mathematics, 307 (3–5): 445—463, MR 2287486, doi:10.1016/j.disc.2005.09.037 .
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), „Duality of polyhedra”, Ур.: Senechal, Marjorie, Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination, New York: Springer, стр. 211—216, ISBN 978-0-387-92713-8, MR 3077226, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_15 .
• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208 .
• Barvinok, Alexander (2002), A course in convexity, Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688 
• de Villiers, Michael, "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons", Mathematical Gazette 95, March 2011, 102-107.

Спољашње везе

• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Rhombus definition, Math Open Reference
• Rhombus area, Math Open Reference