Квадратни пирамидални број

У математици, пирамидални број, или квадратни пирамидални број је фигуративни број који представља број наслаганих сфера у пирамиди са квадратом у основи. Квадратни пирамидални бројеви решавају проблем бројања квадрата у $n \times n$ мрежи.

Формула

Први нови квадратни пирамидални бројеви су:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140,

204, 285, 385, 506, 650, 819

, ...

Ови бројеви се могу написати у формули као

P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.

Ово је специјални случај Фаулхаберове формуле, и може се доказати математичком индукцијом.^[1] Еквивалентна формула је дата у Фибоначијевом Либер Абачију (1202, ch. II.12).

У савременој математици, фигуративни бројеви се формализују од Ехрхартових полинома. Ехрхартов полином $L (P, t)$ полоедра P $је$ $полином који пребројава целе поене у копији$ P $који се проширио множењем свих својих координата бројем$ t. Ехрхартов полином пирамиде чија је основа јединични квадрат са целим координатама, а чији је врх цео број тачке на висини један изнад базне равни, је $(t + 1)(t + 2)(2 t + 3)/6 = P t + 1$ .^[2]

Својства

Једини квадратни пирамидални бројеви у облику n*(n+1)*(n+2)*(n^2+2*n+17)/120 су 0, ±1, ±5 и ±91.

Троугаони бројеви ≤10^30 који су такође квадратни пирамидални бројеви су 0, 1, 55, 91 и 208335. Доказано је одавно да је ова секвенца комплетна.

Такође, квадрати ≤10^30 који су такође квадратни пирамидални бројеви су 0, 1 и 4900. Лукас је претпоставио и G. N. Watson доказао 1918. године да је секвенца комплетна.

Веза са фигуративним бројевима

Квадратни пирамидални бројеви могу бити изражени као суме биномних коефицијената:

P_{n}={{n+2} \choose 3}+{{n+1} \choose 3}.

Биномни коефицијенти који се јављају у овој репрезентацији су тетраедски бројеви, и ова формула изражава квадратни пирамидални број као збир два театраедарска броја на исти начин као што су квадратни бројеви суме два узастопна троугаона бројева. У овом збиру, један од два тетраедарска броја рачуна лопте у сложеној пирамиде које су директно изнад или на једној страни дијагонале базе квадрата, а са друге тетраедарски број у износу рачуна лопте које су на другој страни дијагонале. Квадратни пирамидални бројеви су такође повезани са тетраедарским бројевима на другачији начин:

P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.

Збир два узастопна квадратна пирамидална броја је октаедарски број.

Повећавајући пирамиду чији ивица базе има n лопти додавањем једног њиховог троугла добијамо тетраедар чија ивица базе има $n - 1$ лопту даје троугласту призму. Еквивалентно, пирамида се може изразити као резултат одузимања тетраедра из призме. Овај геометријски аорт доводи до још једне везе:

P_{n}=n{\binom {n+1}{2}}-{\binom {n+1}{3}}.

Осим 1, постоји само једна цифра која је и квадрат и број пирамида: 4900, што је и 70. квадратни број и 24. квадратни пирамидални број. Ову чињеницу је доказао Г. Н. Ватсон 1918. године.

Други однос подразумева Паскалов троугао: Док класични Паскалов тругао са странама (1,1) има дијагонале са природним бројевима, троугаони бројеви, и тетраедарски бројеви, генерисање Фибоначијевих бројева као сума узорковања преко дијагонала, сестра Паскал са странама (2,1) има једнаке дијагонале са непарним бројевима, квадратним бројевима и квадратним пирамидалним бројевима, и генерише (по истој процедури) и Лукасове бројеве, радије него Фибоначијеве.

На исти начин се квадратни пирамидални бројеви могудефинисати као збир узастопних квадрата, квадратни троугласти бројеви се могу дефинисати као збир узастопних кубова.

Квадрати у квадрату

Заједничка математичка загонетка подразумева проналажење броја квадрата у великој n од n квадратне мреже. Овај број може да се изведе на следећи начин:

Број $1 \times 1$ кутија налазе мрежу $n 2$ .
Број $2 \times 2$ кутија налази мрежу $(n - 1) 2$ . Ово се може рачунати бројањем свих могућих горњих левих углова $2 \times 2$ кутија.
Број $k \times k$ кутија $(1 \leq k \leq n)$ налази мрежу $(n - k + 1) 2$ . Ово се може рачунати бројањем свих могућих горњих левих углова $k \times k$ кутија.

Из тога следи да је број квадрата у $n \times n$ квадратној мрежи:

n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots +1^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.

То је решење загонетке дато од стране квадратних пирамидалних бројева.

Број правоугаоника у квадратној мрежи дат од стране квадратних троугаоних бројева.

Извођење суме формула

Разлика два узастопна квадрата бројева је увек непаран број. Прецизније, због идентитета $k 2 - (k - 1) 2 = 2 k - 1$ , разлика између k-тог и $(k - 1)$ тог квадрата броја је $2 k - 1$ . Ово доводи до следеће шеме:

{\begin{array}{ccccccccccccccc}0&&1&&4&&9&&16&&25&\ldots &(n-1)^{2}&&n^{2}\\&1&&3&&5&&7&&9&&\ldots &&2n-1&\end{array}}

Стога сваки квадратни број може бити написан као сума непарних бројева, који је $n^{2}=\sum _{i=1}^{n}2i-1$ . Ова репрезентација квадратних бројева може да се користи да се изрази збир првих n квадратних бројева непарним бројем распоређеним у троуглу са збиром свих бројева у троуглу једнаким збиру првих n квадратних бројева:

{\begin{array}{rcccccccc}\scriptstyle 1^{2}\scriptstyle =&1&&&&&&&\\\scriptstyle 2^{2}\scriptstyle =&1&3&&&&&&\\\scriptstyle 3^{2}\scriptstyle =&1&3&5&&&&&\\\scriptstyle 4^{2}\scriptstyle =&1&3&5&7&&&&\\\scriptstyle 5^{2}\scriptstyle =&1&3&5&7&9&&&\\\vdots &\vdots &&&&&\ddots &&\\\scriptstyle (n-1)^{2}\scriptstyle =&1&\cdots &&&&\cdots &\scriptstyle 2n-3&\\\scriptstyle n^{2}\scriptstyle =&1&\cdots &&&&\cdots &\scriptstyle 2n-3&\scriptstyle 2n-1\end{array}}

Исти непарни бројеви су сада распоређени на два различита начина у подударним троугловима.

{\begin{array}{cccccccc}\scriptstyle 2n-1&&&&&&\\\scriptstyle 2n-3&\scriptstyle 2n-3&&&&&\\\vdots &&\ddots &&&&\\9&\cdots &\cdots &9&&&&\\7&\cdots &\cdots &7&7&&&\\5&\cdots &\cdots &5&5&5\\3&\cdots &\cdots &3&3&3&3\\1&\cdots &\cdots &1&1&1&1&1\\\hline \scriptstyle =n^{2}&\scriptstyle =(n-1)^{2}&\cdots &\scriptstyle =5^{2}&\scriptstyle =4^{2}&\scriptstyle =3^{2}&\scriptstyle =2^{2}&\scriptstyle =1^{2}\end{array}}

{\begin{array}{cccccccc}1&&&&&&&\\3&1&&&&&&\\5&3&1&&&&&\\7&5&3&1&&&&\\9&7&5&3&1&&&\\\vdots &&&&&\ddots &&\\\scriptstyle 2n-3&\cdots &&&&\cdots &1&\\\scriptstyle 2n-1&\scriptstyle 2n-3&&&&\cdots &&1\\\hline \scriptstyle =n^{2}&\scriptstyle =(n-1)^{2}&\cdots &\scriptstyle =5^{2}&\scriptstyle =4^{2}&\scriptstyle =3^{2}&\scriptstyle =2^{2}&\scriptstyle =1^{2}\end{array}}

Слагање три троугла један на врх јдругог доводи до колоне која се састоји од три броја, који имају својство да је њихов збир увек $2 n + 1$ . На сваком врху збир колоне је $2 n - 1 + 1 + 1 = 2 n + 1$ . Сада, ако пређете из једне колоне у другу, онда ће се у једном троуглу број повећати за два, али у другом троуглу ће се смањити за два и остаје исти у трећем троуглу, стога збир колоне остаје константан. Има $1+2+\ldots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}$ таквих колона, па је бир свих бројева у сва три троугла ${\tfrac {n(n+1)(2n+1)}{2}}$ . То је три пута збир првих n квадратних бројева, тако да следи:

P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Види још

Референце

^ Hopcroft, Motwani & Ullman 2007, стр. 20.
^ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр. 15—36, MR 2134759

Литература

Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (2007). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Pearson/Addison Wesley. стр. 20. ISBN 978-0-321-45536-9.
Abramowitz, M.; Stegun, I. A., ур. (1964). Handbook of Mathematical Functions. Applied Math. Series. 55. National Bureau of Standards. стр. 813. ISBN 978-0-486-61272-0.
Beiler, A. H. (1964). Recreations in the Theory of Numbers. Dover. стр. 194. ISBN 978-0-486-21096-4.
Goldoni, G. (2002). „A visual proof for the sum of the first $n$ squares and for the sum of the first $n$ factorials of order two”. The Mathematical Intelligencer. 24 (4): 67—69. doi:10.1007/bf03025326.
Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. стр. 260–261. ISBN 978-0-387-95419-6.

Спољашње везе

Weisstein, Eric W. „Square Pyramidal Number”. MathWorld.

[FOOTNOTEHopcroftMotwaniUllman200720-1] Hopcroft, Motwani & Ullman 2007, стр. 20.

[2] Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр. 15—36, MR 2134759

[1]

[2]