Унутрашњи производ простора је поопштење скаларног производа вектора, чији резултат је скалар.
- Дефиниција
- Нека је V векторски простор. Унутрашњи производ над пољем реалних бројева (ℝ) је пресликавање
![{\displaystyle (.,.):V\times V\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0d0c28f08853d68d5d7a59314aa4e8ef46c641)
- са следећим особинама
![{\displaystyle \forall u,v,w\in V,\ \forall \alpha ,\beta ,\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6ad188aa17a04c984a21e0b16533079581b8b5)
- (позитивност)
![{\displaystyle \ \langle v,v\rangle \geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107f2977413e21d6c67cd636a6da34dd70c4666b)
- (нулта дужина)
![{\displaystyle \langle v,v\rangle =0\ \iff \ v=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e785c782f7b01381baed4b5d8efeb11f11e2e0)
- (линеарност)
![{\displaystyle \langle \alpha u+\beta v,w\rangle =\alpha \langle u,w\rangle +\beta \langle v,w\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605fed457923b000b9adabb961c8840fbf8ed035)
- (симетрија)
![{\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefc74c33433721ed8bfda080b3bde6db253c604)
За унутрашњи производ истог векторског простора над пољем комплексних бројева (ℂ) особина симетрије (четврта) је особина конјуговане симетрије
- 4. (конјугована симетрија)
![{\displaystyle \langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}\in \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5cf79540b14814e672f169e1e09ebcdfde52a8)
Норма (интензитет, дужина) вектора дефинише се са
![{\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a53150d5bce413bdd1ddfdeb97c20f00b85973)
- Став 1.
- Норма задовољава следеће особине>
![{\displaystyle \|v\|\geq 0,\quad \|v\|=0\iff v=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa787d6557c8e2a70d5b48e30091cdd22f019f9)
![{\displaystyle \|\alpha v\|=|\alpha |\cdot \|v\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96009578c25cb1f4cba3b97d3b3d844fda88cd58)
Доказ: Имамо да је
![{\displaystyle ={\sqrt {\alpha ^{2}(v,v)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6539623af072ff6b292e1a84a6d4b750281abcac)
![{\displaystyle =|\alpha |\cdot {\sqrt {(v,v)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b31797dd4002bb73a3eb52dacdd6d1618070a32)
♦
- Став 2.
![{\displaystyle (\forall u,v\in V)|\langle u,v\rangle |\leq \|u\|\cdot \|v\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58935b56ba99970e08f9fdd47f331fa47f0ce5d)
Доказ: Можемо претпоставити да су оба вектора различита од нуле, јер је у супротном неједнакост очигледна. Даље, користимо дефиниционе особине
- позитивност
- линеарност
- симетрија
![{\displaystyle =\|v\|^{2}-{\frac {\langle u,v\rangle ^{2}}{\|u\|^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5624fea701408b9ff040574601b52b7b7c1d97fb)
Отуда
![{\displaystyle {\frac {\langle u,v\rangle ^{2}}{\|u\|^{2}}}\leq \|v\|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c811a878134b726dc87a003a9ec0001baf403692)
или
![{\displaystyle |\langle u,v\rangle |\leq \|u\|\cdot \|v\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9e6ffcd0a6d87d4e54be13b097ba42ea0cc4c5)
што је и требало доказати.♦
Приметимо да је
![{\displaystyle \left(v-{\frac {\langle v,u\rangle }{\|u\|^{2}}}u,v-{\frac {\langle v,u\rangle }{\|u\|^{2}}}u\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54340f4560b77399df1f7c4d03a3ff30d210834)
ако и само ако је
![{\displaystyle v-{\frac {\langle v,u\rangle }{\|u\|^{2}}}u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3efd0f862858283594cc53aff93894293ded1a9)
тј. ако је
![{\displaystyle v={\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|^{2}}}u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c025ddb46ba980f161b6157f11f427f688874dc8)
Према томе, u и v морају бити на истој правој која садржи исходиште.
- Последица 3.
У ставу 2. стоји једнакост, тј.
![{\displaystyle |\langle u,v\rangle |=\|u\|\cdot \|v\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda716d6f57d41d94e753c4a8b0bf15b6df5f072)
ако и само ако су u и v на истој правој која пролази исходиштем.
Следећи став је поопштење Питагорине теореме.
- Став 4.
- За произвољне векторе u и v датог векторског простора важи
![{\displaystyle \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d92199a13a27e8497dd2e7a173992f88330023)
- Биће
![{\displaystyle \|u+v\|=\|u\|+\|v\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b104aad2eadbcf01468fa6239912d3236b070114)
- ако и само ако је
![{\displaystyle \langle u,v\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bf160851945459255575671dead2de28113dc9)
Доказ:
![{\displaystyle =\langle u,u\rangle +2\langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a5dd903e789af07887c2304b6b81516c187e36)
![{\displaystyle \leq \|u\|^{2}+2\|u\|\cdot \|v\|+\|v\|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22054c5ad139f0f0e30062825358066d995c6a81)
![{\displaystyle =(\|u\|+\|v\|)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae8399b922b46d6023b855caafed31feffc3a40)
Према томе, доказано је
![{\displaystyle \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d92199a13a27e8497dd2e7a173992f88330023)
У истом доказу, ако је <u, v> = 0, онда је
![{\displaystyle \|u+v\|=\|u\|+\|v\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4812336c836b5c102322882f06682afc2fa8aa22)
Обратно, ако имамо наведену једнакост, из истог дјела доказа видимо да је унутрашњи производ нула.♦
На примјер, дати су вектори
![{\displaystyle u=(1,2-3),\ v=(0,6,4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1787835f73a90a3a0ec26bad5b2a652babb81bac)
Показаћемо да за њих важи једнакост става 4. Наиме
- нормалност
![{\displaystyle \|u\|^{2}=1+4+9=14,\ \|v\|^{2}=36+16=52.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a84a2a288ff30132971c9590e8765d6b961f09)
Са друге стране, из u + v = (1, 8, 1) следи
![{\displaystyle \|u+v\|^{2}=1+64+1=66.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6646a7cd07074b50602f970df0ccecbff9b34bbd)
Према томе, тачно је
![{\displaystyle \|u+v\|=\|u\|+\|v\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4812336c836b5c102322882f06682afc2fa8aa22)
Скаларни производ вектора u и v из ℝn је скалар (реалан) број
![{\displaystyle \langle (u_{1},u_{2},...,u_{n}),(v_{1},v_{2},...,v_{n})\rangle =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\dots +u_{n}v_{n}\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa3b87b6f453105041bce63017921952ad84612)
Норма, дужина вектора v је ненегативан број
![{\displaystyle \|v\|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\dots +v_{n}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf2849b3a4143345d4ad45e10c0724dcdd43a5d)
На пример, u = (1, -2, 3) и v = (2, 1, -1). Тада је простор 3-димензионалан (n = 3), па имамо
![{\displaystyle \langle u,v\rangle ={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=1\cdot 2-2\cdot 1-3\cdot 1=-3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d7e8837f7df97c338cff285ce6395693b64fcc)
![{\displaystyle \|u\|={\sqrt {u\cdot u}}={\sqrt {1+4+9}}=14,\ \|v\|={\sqrt {4+1+1}}=6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a771be0a26d14ae7f4cf218e56f4b27bdefa276b)
Нормалност се може дефинисати за општи случај димензије n = 2, 3, ..., због неједнакости
![{\displaystyle |u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\dots +u_{n}v_{n}|\leq {\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\dots +u_{n}^{2}}}\cdot {\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\dots +v_{n}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ffe8dfc643a19a565cc62b440193e148405732)
тј.
![{\displaystyle |\langle u,v\rangle |\leq \|u\|\cdot \|v\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a0d368b00efdcb5bfb0ac0b39e98250738a324)
Наиме, за векторе не нулте дужине, имамо
![{\displaystyle -1\leq {\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\cdot \|v\|}}\leq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600ba4968b7967ff36c78bc499621e8c9897c652)
па можемо дефинисати косинус угла између њих
![{\displaystyle \cos \angle (u,v)={\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\cdot \|v\|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1898a837de5dabd5c8369ffc9c48363c7cf6ce)
Кажемо да су два вектора нормална када је овај косинус нула, прецизније
![{\displaystyle u\perp v\iff \langle u,v\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39edaab050edcb27c76280f32f1df7d1df9528e5)
Нормалност је веома практична.
На пример, треба наћи тачку P на правој y = 2x + 1 која је најближа тачки Т(4, 2) ван те праве.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/sr/9/97/RastojanjePT.gif)
Прво дефинишемо векторе u = (t, 2t + 1) чији врхови су тачке на датој правој, рецимо u1 = (0, 1) и u2 = (1, 3). Вектор u0 = u2 - u1 = (1, 2) паралелан је датој правој. Затим дефинишемо вектор v = (4, 2) чији врх је дата тачка Т. Ако је параметар t такав да је u најближа тачка тачки Т, дакле да је то тражена тачка P, онда је вектор PT = v - u = (4 - t, 1 - 2t) нормалан на дату праву. Према томе, рјешење задатка је рјешење једначине
![{\displaystyle \langle u_{0},v-u\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8c54ad7fe4a0739f03ba40e700012ccbe3a8fe)
Даље лако налазимо, редом
![{\displaystyle \langle (1,2),(4-t,1-2t)\rangle =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997333512867efb398df0b3d84a34dde8aa8364c)
![{\displaystyle 4-t+2-4t=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e495222a5e30699d93dc57f92841bbbcb0cb5b7)
![{\displaystyle t={\frac {6}{5}}\ \Rightarrow \ P=\left({\frac {6}{5}},{\frac {17}{5}}\right).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e629f48940ccc965ef7a7d0a9b9ea07f86d3986f)
Нашли смо тачку P на правој y = 2x + 1 која је најближа тачки Т(4, 2) ван те праве.
У истом примеру, друго питање је: колика је удаљеност од дате праве до дате тачке?
Одговор је: то је дужина вектора PT = v - u, гдје сада за врх вектора u треба узети тачку P, тј.
![{\displaystyle =\|\left({\frac {14}{5}},-{\frac {7}{5}}\right)\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec07e0c3a5fd0a37a6f35ca7304f1bd4e1398659)
![{\displaystyle ={\sqrt {\left({\frac {14}{5}}\right)^{2}+\left({\frac {7}{5}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d84d6724bd1670c24f6d3db57d0fa297dd444b3)
![{\displaystyle ={\frac {7{\sqrt {5}}}{5}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78361966e42cc9522ef500ddd37c8c408513425)
Нека су дати затворени интервал I = [a, b], при чему је a < b, и векторски простор V који чини скуп интеграбилних функција на том интервалу.
- Став
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t)g(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fda9c5520694a4569894b5ba10128cc98e2c3d5)
је унутрашњи производ на простору V.
Доказ: Нека су α и β реални бројеви, а f, g и h вектори из V. Тада:
1.
јер
![{\displaystyle f(t)^{2}\geq 0\ \Rightarrow \ \int _{a}^{b}f(t)^{2}dt\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e400b98f75316671fe7b5321017a093ea072216a)
2.
тј. функција f(t) једнака је нули у свакој тачки датог интервала.
3.
![{\displaystyle =\alpha \int _{a}^{b}f(t)h(t)dt+\beta \int _{a}^{b}g(t)h(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796c8f45878d412985a06a4abb8db25eac2040b2)
![{\displaystyle =\alpha \langle f,h\rangle +\beta \langle g,h\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9fec339a4cac505a05855bbc273fe7236cefa8)
4.
♦.
Норма овог простора је
![{\displaystyle \|f\|={\sqrt {\int _{a}^{b}f(t)^{2}dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7323687a07361d4dde058e94b335f7e8831d57ec)
- Примјер 1.
Нека је a = 0 и b = 1, и нека су дати полиноми
![{\displaystyle f(t)=t^{2},\ g(t)=1+2t-3t^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83759be3b99d6adcca364f9bd453f09a5f15f50a)
Тада имамо
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}(t^{2}+2t^{3}-3t^{4})dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3159b678a4d1f63feae8fce62024b68dff6c4041)
![{\displaystyle ={\frac {t^{3}}{3}}+2\cdot {\frac {t^{4}}{4}}-3\cdot {\frac {t^{5}}{5}}{\Bigg |}_{0}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f76128e0bbac244d9cbc589c3a90be7e5155c6)
![{\displaystyle ={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{4}}-{\frac {3}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975f2c7c61a8551c930e03696e465042c984104b)
![{\displaystyle ={\frac {7}{30}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf6cec264e6ee29e84ca996597c196ea206fdd5)
За њихове норме имамо
![{\displaystyle \|f\|={\sqrt {\int _{0}^{1}t^{4}dt}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\approx 0,45.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991dfffff2a1024f516718d22162b5977a7a7014)
![{\displaystyle ={\sqrt {\int _{0}^{1}(1+4t^{2}+9t^{4}+4t-6t^{2}-12t^{3})dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89c6efd7b220c9a819a31f746558934110bd240)
![{\displaystyle ={\sqrt {1+{\frac {4}{3}}+{\frac {9}{5}}+{\frac {4}{2}}-{\frac {6}{3}}-{\frac {12}{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c31671191f67bad63c35e7732a5cc527cadbd52)
![{\displaystyle ={\sqrt {\frac {17}{15}}}={\frac {\sqrt {255}}{15}}\approx 1,06.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f9d46307aa303efd622f24d980c3ebc5e42c61)
- Примјер 2.
На истом интервалу I = [0, 1] дате су тригонометријске функције
![{\displaystyle f(t)=\sin 2\pi t,\ g(t)=\cos 2\pi t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5504e3181e00bee5ef5e04a8c35e305a6a224b2)
Тада је
![{\displaystyle ={\frac {1}{4\pi }}(\sin 2\pi t)^{2}{\Bigg |}_{0}^{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7933a8e2b2aa02cdc1cd1115ceb97cbb45ff390)
Према томе, ове фукције су нормалне на датом интервалу.♦
- Примјер 3.
На интервалу [0, 1] дат је полином f(t) = t. Наћи полином облика g(t) = kt + n нормалан на дати.
Рјешење: Тражимо бројеве k и n такве да је
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}t(kt+n)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57832ae6c8117096d22549a4bca1169de06d5b07)
![{\displaystyle =k{\frac {t^{3}}{3}}+n{\frac {t^{2}}{2}}{\Bigg |}_{0}^{1}={\frac {k}{3}}+{\frac {n}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a919a6f9d39702feb981ab327beb0facdd824ed2)
Према томе, 2k + 3n = 0. Па можемо узети, рецимо g(t) = 3t - 2.♦