Уређени пар

Уређени пар представља пар елемената било којег скупа, у којем је битан распоред, тј. у коме се разликују први и други елемент. Први елемент називамо „првом координатом“, а други „другом координатом“. Уобичајена нотација за уређени пар са првом координатом $a$ и другом координатом $b$ је $(a,b)$.

Математичка дефиниција

У математици, у теорији скупова, уређени пар елемената $a$ и $b$ представља скуп $\{\{a\},\{a,b\}\}$ (дефиницију је предложио пољски математичар Kuratowski).

Особине

Нека су $(a_{1},b_{1})$ и $(a_{2},b_{2})$ два уређена пара. Ова два уређена пара су једнака ако и само ако је:

$a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}$

Декартов производ

На основу дефиниције уређеног пара се дефинише и Декартов производ скупова, на сљедећи начин:

$AxB=\{(a,b)|a\in A\land b\in B\}$

Са оваквом дефиницијом, потребно је одредити који скупови могу бити Декартови производи одговарајућих скупова. Наиме, ако $a\in A$, онда скуп који садржи $a$ је подскуп од скупа $A$, тј. $\{a\}\subseteq A$, па припада скупу свих подскупова од $A$, тј. $\{a\}\in {\mathcal {P}}(A)$, а овај је подскуп од ${\mathcal {P}}(A\cup B)$.

На сличан начин, ако $a$ и $b$ припадају редом $A$ и $B$, онда скуп од $a$ и $b$ припада унији скупова $A$ и $B$, тј. $\{a,b\}\subseteq A\cup B$, одакле поново слиједи да $\{a,b\}\in {\mathcal {P}}(A\cup B)$.

Дакле, ако и скуп $\{a\}$ и скуп $\{a,b\}$ припадају скупу свих подскупова уније $A$ и $B$, тј. ако ${a},{a,b}\in {\mathcal {P}}(A\cup B)$, онда и скуп који њих садржи, $\{\{a\},\{a,b\}\}$ припада ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))$, па дефиниција Декартовог производа на основу уређених парова гласи:

$AxB=\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))|\exists a\exists b(a\in A\land b\in B\land x=(a,b))\}$

Уређена n-торка

По дефиницији, уређена тројка $(a,b,c)$ је исто што и уређени пар $((a,b),c)$. На исти начин се дефинише и уређена четворка ($(a,b,c,d)=((a,b,c),d))=(((a,b),c),d)$) итд.

Означавање

Означавање са отвореним заградама, нпр. $(a,b)$, може да створи забуну, јер се иста нотација користи за отворени интервал на реалној бројевној правој. Алтернативна нотација која се код нас ретко користи је $\langle a,b\rangle$.