Биномна расподела

Биномна расподела

Функција вероватноће
Функција кумулативне расподеле
Нотација	$B(n,p)$
Параметри	$n\in \{0,1,2,\ldots \}$ – број покушаја $p\in [0,1]$ – вероватноћа успеха за сваки покушај
Носитељ	$k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ – број успеха
пмф	${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$
ЦДФ	$I_{1-p}(n-k,1+k)$
Просек	$np$
Медијана	$\lfloor np\rfloor$ или $\lceil np\rceil$
Модус	$\lfloor (n+1)p\rfloor$ или $\lceil (n+1)p\rceil -1$
Варијанса	$np(1-p)$
Коеф. асиметрије	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
Куртоза	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
Ентропија	${\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi enp(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)$ у шанонима.
МГФ	$(1-p+pe^{t})^{n}$
ЦФ	$(1-p+pe^{it})^{n}$
ПГФ	$G(z)=[(1-p)+pz]^{n}$
Фишерова информација	$g_{n}(p)={\frac {n}{p(1-p)}}$ (за фиксно $n$)

Биномна дистрибуција за $p=0,5$
са n и k као у Паскаловом троуглу
Вероватноћа да ће кугла у Галтоновој кутији са 8 слојева (n = 8) завршити у централној кутији (k = 4) је $70/256$.

У теорији вероватноће и статистици, биномна расподела са параметрима n и p је дискретна расподела вероватноће броја успеха у секвенци од n независних експеримената, сваки од којих даје одговор на да-не питање, и сваки има свој булов резултат - успех/да/тачно/један (са вероватноћом́ p) или неуспех/не/лажно/нула (са вероватноћом q = 1 − p). Појединачни успех/неуспех експеримента се такође назива Бернулијев покушај или Бернулијев експеримент, а секвенца исхода се назива Бернулијев процес; за појединачни покушај, и.е., n = 1, биномна дистрибуција је Бернулијева расподела. Биномна дистрибуција је основа за популарни биномни тест статистичког значаја.

Биномна дистрибуција се често користи за моделовање броја успеха у узорку величине n који је извучен са заменом из популације величине N. Ако се узорковање врши без замене, извлачења нису независна, па је резултирајућа расподела хипергеометријска, а не биномна. Међутим, за N много веће од n, биномна дистрибуција остаје добра апроксимација и широко се користи.

Спецификација

Функција вероватноће

Генерално, ако рандомна променљива X следи биномну дистрибуцију са параметрима n ∈ ℕ и p ∈ [0,1], пише се X ~ B(n, p). Вероватноћа да се добије тачно k успеха у n покушаја је дата функцијом вероватноће:

$f(k,n,p)=\Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

за k = 0, 1, 2, ..., н, где је

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

биномни коефицијент, по коме је расподела добила име. Формула се може разумети на следећи начин. k успеха се јавља са вероватноћом p^k и n − k неуспеха се јавља са вероватноћом (1 − p)^n − k. Међутим, k успеха се може јавити било где међу n покушаја, и постоји ${\binom {n}{k}}$ различитих начина расподељивања k успеха у низу од n покушаја.

При стварању референтних табела за вероватноћу биномне дистрибуције, обично се табела попуњава до n/2 вредности. То је зато што се за k > n/2, вероватноћа може израчунати њеним комплементом као

$f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).$

Гледајући израз f(k, n, p) као функцију од k, постоји k вредности које је максимизирају. Стога се k вредност може наћи израчунавајући

${\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}$

и упоређујући ту вредност са 1. Увек постоји цео број M који задовољава

$(n+1)p-1\leq M<(n+1)p.$

f(k, n, p) је монотоно растући за k < M и монотоно опадајући за k > M, уз изузетак случаја где је (n + 1)p цео број. У том случају, постоје две вредности за које је f максимално: (n + 1)p и (n + 1)p − 1. M је највероватнији исход (мада још увек може да буде свеукупно мало вероватан) Бернулијевих покушаја и назива се модус.

Функција кумулативне вероватноће

Функција кумулативне вероватноће се може изразити као:

$F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$

где је $\lfloor k\rfloor \,$ „под” испод k, и.е. највећи цео број мањи од или једна са k.

Он се може представити у виду регулисане некомплетне бета функције, на следећи начин:

${\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt.\end{aligned}}$

Неки гранични случајеви затвореног облика за функцију кумулативне дистрибуције дати су у наставку.

Пример

Претпоставка је да се пристраним бацањем новчића добија глава са вероватноћом 0,3. Питање је: која је вероватноћа постизања 0, 1, ..., 6 глава после шест бацања?

$\Pr(0{\text{ heads}})=f(0)=\Pr(X=0)={6 \choose 0}0.3^{0}(1-0.3)^{6-0}=0.117649$

$\Pr(1{\text{ heads}})=f(1)=\Pr(X=1)={6 \choose 1}0.3^{1}(1-0.3)^{6-1}=0.302526$

$\Pr(2{\text{ heads}})=f(2)=\Pr(X=2)={6 \choose 2}0.3^{2}(1-0.3)^{6-2}=0.324135$

$\Pr(3{\text{ heads}})=f(3)=\Pr(X=3)={6 \choose 3}0.3^{3}(1-0.3)^{6-3}=0.18522$

$\Pr(4{\text{ heads}})=f(4)=\Pr(X=4)={6 \choose 4}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535$

$\Pr(5{\text{ heads}})=f(5)=\Pr(X=5)={6 \choose 5}0.3^{5}(1-0.3)^{6-5}=0.010206$

$\Pr(6{\text{ heads}})=f(6)=\Pr(X=6)={6 \choose 6}0.3^{6}(1-0.3)^{6-6}=0.000729$

Очекивање

Ако је X ~ B(n, p), другим речима, X је биномно дистрибуирана рандомна променљива, при чему је n укупан број експеримената, а p је вероватноћа сваког експеримента да произведе успешан резултат, онда је очекивана вредност X:

$\operatorname {E} [X]=np.$

На пример, ако је n = 100, и p = 1/4, онда је просечан број успешних резултата 25.

Прооф: Средња вредност, μ, се директно израчунава по дефиницији

$\mu =\sum _{i=0}^{n}x_{i}p_{i},$

и биномној теореми:

${\begin{aligned}\mu &=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=np\sum _{k=0}^{n}k{\frac {(n-1)!}{(n-k)!k!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{\ell =0}^{n-1}{\binom {n-1}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{(n-1)-\ell }&&{\text{sa }}\ell :=k-1\\&=np\sum _{\ell =0}^{m}{\binom {m}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{m-\ell }&&{\text{sa }}m:=n-1\\&=np(p+(1-p))^{m}\\&=np\end{aligned}}$

Средња вредност се може извести из једначине $X=X_{1}+\cdots +X_{n}$ где су све рандомне променљиве $X_{i}$ обухваћене Бернулијевом расподелом са $E[X_{i}]=p$ ($X_{i}=1$ ако i-ти експеримент успе, док је иначе $X_{i}=0$). Добија се: $E[X]=E[X_{1}+\cdots +X_{n}]=E[X_{1}]+\cdots +E[X_{n}]=\underbrace {p+\cdots +p} _{n{\text{ puta}}}=np$

Варијанса

Варијанса је:

$\operatorname {Var} (X)=np(1-p).$

Доказ: Нека је $X=X_{1}+\cdots +X_{n}$ где су све $X_{i}$ независне рандомне променљиве Бернулијеве расподеле. Како је $\operatorname {Var} (X_{i})=p(1-p)$, добија се:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})=\operatorname {Var} (X_{1})+\cdots +\operatorname {Var} (X_{n})=n\operatorname {Var} (X_{1})=np(1-p).$

Литература

• Хирсцх, Wернер З. (1957). „Биномиал Дистрибутион—Суццесс ор Фаилуре, Хоw Ликелy Аре Тхеy?”. Интродуцтион то Модерн Статистицс. Неw Yорк: МацМиллан. стр. 140—153. 
• Нетер, Јохн; Wассерман, Wиллиам; Wхитморе, Г. А. (1988). Апплиед Статистицс (Тхирд изд.). Бостон: Аллyн & Бацон. стр. 185–192. ИСБН 0-205-10328-6. 
• Асх, Роберт Б. (1990) [1965]. Информатион Тхеорy. Довер Публицатионс, Инц. ИСБН 0-486-66521-6. 
• Бењамин, Артхур Т.; Qуинн, Јеннифер Ј. (2003). Проофс тхат Реаллy Цоунт: Тхе Арт оф Цомбинаториал Прооф. Долциани Матхематицал Еxпоситионс. 27. Матхематицал Ассоциатион оф Америца. ИСБН 978-0-88385-333-7. 
• Брyант, Вицтор (1993). Аспецтс оф цомбинаторицс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 0-521-41974-3. 
• Флум, Јöрг; Грохе, Мартин (2006). Параметеризед Цомплеxитy Тхеорy. Спрингер. ИСБН 978-3-540-29952-3. Архивирано из оригинала 18. 11. 2007. г. Приступљено 15. 08. 2019. 
• Фоwлер, Давид (јануар 1996). „Тхе Биномиал Цоеффициент Фунцтион”. Тхе Америцан Матхематицал Монтхлy. Матхематицал Ассоциатион оф Америца. 103 (1): 1—17. ЈСТОР 2975209. дои:10.2307/2975209. 
• Гоетгхелуцк, П. (1987). „Цомпутинг Биномиал Цоеффициентс”. Америцан Матхематицал Монтхлy. 94: 360—365. дои:10.2307/2323099. 
• Грахам, Роналд L.; Кнутх, Доналд Е.; Патасхник, Орен (1994). Цонцрете Матхематицс (Сецонд изд.). Аддисон-Wеслеy. стр. 153–256. ИСБН 0-201-55802-5. 
• Градсхтеyн, I. С.; Рyзхик, I. M. (2014). Табле оф Интегралс, Сериес, анд Продуцтс (8тх изд.). Ацадемиц Пресс. ИСБН 978-0-12-384933-5. 
• Гринсхпан, А. З. (2010), „Wеигхтед инеqуалитиес анд негативе биномиалс”, Адванцес ин Апплиед Матхематицс, 45 (4): 564—606, дои:10.1016/ј.аам.2010.04.004 
• Хигхам, Ницхолас Ј. (1998). Хандбоок оф wритинг фор тхе матхематицал сциенцес. СИАМ. стр. 25. ИСБН 0-89871-420-6. 
• Кнутх, Доналд Е. (1997). Тхе Арт оф Цомпутер Программинг, Волуме 1: Фундаментал Алгоритхмс (Тхирд изд.). Аддисон-Wеслеy. стр. 52—74. ИСБН 0-201-89683-4. 
• Сингмастер, Давид (1974). „Нотес он биномиал цоеффициентс. III. Анy интегер дивидес алмост алл биномиал цоеффициентс”. Јоурнал оф тхе Лондон Матхематицал Социетy. 8 (3): 555—560. дои:10.1112/јлмс/с2-8.3.555. 
• Схилов, Г. Е. (1977). Линеар алгебра. Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-63518-7. 

Спољашње везе

• Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships
• Binomial distribution formula calculator
• Difference of two binomial variables: X-Y
• Querying the binomial probability distribution in WolframAlpha
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Биномиал цоеффициентс”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Андреw Гранвилле (1997). „Аритхметиц Пропертиес оф Биномиал Цоеффициентс I. Биномиал цоеффициентс модуло приме поwерс”. ЦМС Цонф. Проц. 20: 151—162. Архивирано из оригинала 23. 09. 2015. г. Приступљено 15. 08. 2019.