Холоморфна функција
Холоморфне функције су комплексне функције дефинисане на отвореном подскупу комплексне равни које су диференцијабилне. Функција је холоморфна у некој тачки ако у тој тачки постоји извод те функције и ако је различит од нуле. Функција је холоморфна на некој области ако је холоморфна у свакој тачки те области. Постојање комплексног деривата у близини је веома јак услов, јер имплицира да је свака холоморфна функција заправо бескрајно диференцијабилна и једнака, локално, својој Тејлоровој серији (аналитичка). Холоморфне функције су централни предмети проучавања у комплексној анализи.
Иако се термин аналитичка функција често употребљава синонимно са „холоморфна функција”", реч „аналитичка” је дефинисана у ширем смислу да означи било коју функцију (реалну, комплексну или општији тип) која се може написати као конвергентна степена серија у околини сваке тачке у њеном домену. Чињеница да су све холоморфне функције комплексне аналитичке функције, и обрнуто, главна је теорема у комплексној анализи.[1]
Холоморфне функције се такође понекад називају регуларним функцијама.[2] Холоморфна функција чији је домен цела комплексна раван се назива целокупном функцијом. Фраза „холоморфна у тачки z0” не значи само диференцијабилна у z0, већ је диференцијабилна свуда унутар извесне околине z0 у комплексној равни.
Дефиниција
[уреди | уреди извор]За дату функцију комплексне вредности f једне сложене променљиве, дериват од f у тачки z0 у њеном домену је дефинисан лимесом[3]
То је исто што и дефиниција деривата за реалне функције, осим што су сви квантитети комплексни. Конкретно, граница се узима док се комплексни број z приближава z0, и мора имати исту вредност за било који низ сложених вредности за z који прилазе z0 на комплексној равни. Ако граница постоји, каже се да је f комплексно-диференцијабилно у тачки z0. Овај концепт комплексне диференцијабилности дели неколико својстава са реалном диференцибилношћу: он је линеаран и покорава се правилу производа, правилу квоцијента и ланчаном правилу.[4]
Ако је функција f комплексно диференцијабилна у свакој тачки z0 у једном отвореном сету U, каже се да је f холоморфна на U. Функција f је холоморфна у тачки z0, ако је f комплексно диференцијабилна у околини z0.[5] Функција f је холоморфна на неком затвореном сету A ако је хомоморфна на отвореном сету који садржи A. Као патолошки не-пример, функција дата са z|2 је комплексно диференцијабилна у тачно једној тачки (z0 = 0), и из тог разлога она није холоморфна у 0, јер не постоји отворени сет око 0 на коме је f комплексно диференцијабилна.
Однос између реалне диференцијабилности и комплексне диференцијабилности је следећи. Ако је комплексна функција 1=f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) холоморфна, онда u и v имају прве парцијалне деривате у односу на x и y, и задовољавају Коши-Риманове једначине:[6]
или, еквивалентно, Виртинџеров дериват од f у односу на комплексни коњугат од z је нула:[7]
другим речима f је функционално независна од комплексног коњугата од z.
Ако континуалност није дата, супротно није нужно тачно. Једноставна супротност је да ако u и v имају континуални први парцијални дериват и задовољавају Коши–Риманове једначине, онда је f холоморфна. У већој мери задовољавајућу супротност, која се знатно теже може доказати, даје Луман-Менчофова теорема: ако је f континуирано, u и v имају прве парцијалне деривате (мада нису нужно континуирани), и они задовољавају Коши–Риманове једначине, онда је f холоморфно.[8]
Терминологија
[уреди | уреди извор]Реч „холоморфан” су увела два Кошијева студента, Бриот (1817–1882) и Буке (1819–1895), и изведена је из грчких речи ὅλος (holos) са значењем „целокупан”, и μορφή (morphē) са значењем „форма” или „изглед”.[9]
У данашње време, термин „холоморфна функција” се донекле преферира у односу на „аналитичка функција”, јер је каснији појам општији концепт. То је исто тако због важног резултата у комплексној анализи да је свака холоморфна функција комплексно аналитичка, што је чињеница која очигледно не следи из дефиниција. Термин „аналитичка” је међутим исто тако у широкој употреби.
Особине
[уреди | уреди извор]Комплексна диференцијација је линеарна и следи правила производа и количника, и ланчано правило. Стога су суме, производи и композиције холоморфиних функција холоморфне, и количник две холоморфне функције је холоморфан, где год именилац није нула.[10]
Ако се C поистовети са R2, онда се холоморфне функције подударају са функцијама са две реалне променљиве са континуираним привим дериватима којима се решавају Коши-Риманове једначине, сетом од две парцијалне диференцијалне једначине.[6]
Свака холоморфна функција се може разложити на њене стварне и имагинарне делове, а сваки од њих је решење Лапласове једначине на R2. Другим речима, ако се холоморфна функција ф(з) изрази u(x, y) + i v(x, y), онда су u и v хармоничне функције, где је v хармонични коњугат.[11]
Кошијева интегрална теорема подразумева да контурни интеграл сваке холоморфне функције дуж петље нестаје:[12]
Овде је γ исправљив пут у једноставно повезаном отвореном подскупу U у комплексној равни C чија почетна тачка је једнака њеној крајњој тачки, и f : U → C је холоморфна функција.
Кошијева интегрална теорема наводи да свака функција холоморфна унутар диска је комплетно одређена својим вредностима на граници диска.[12] Осим тога, ако се претпостави да је U отворени подскуп од C, f : U → C је холоморфна функција и затворени диск 1=D = {z : |z − z0| ≤ r} је комплетно садржан у U. Нека је γ круг који формира границу D. Онда за свако а у унутрашњости од D:
где је контурни интеграл узет у смеру супротном казаљкама сата.
Дериват f′(a) се може написати као контурни интеграл[12] користећи Кошијеве формуле диференцијације:
за сваку једноставну петљу која се позитивно једном заокреће око а, и
за инфинитезимално позитивне петље γ око а.
У регионима где први дериват није једнака нули, холоморфне функције су конформалне у смислу да чувају углове и облик (али не и величине) малих фигура.[13]
Свака холоморфна функција је аналитичка. Другим речима, холоморфна функција f има деривате сваког реда у свакој тачки а у свом домену, и то се подудара са њеном сопственом Тејлоровом серијом у а у близини а. Заправо, f се подудара са њеном Тејлоровом серијом у а у сваком диску центрираном у тој тачки и лежи унутра домене функције.
Са алгебарске тачке гледишта, сет холоморфиних функција на отвореном сету је комутативни прстен и комплексни векторски простор. Додатно, сет холоморфних функција у отвореном сету U је интегрални домен ако и само ако је отворени сет U повезан.[7] Заправо, то је локално конвексан тополошки векторски простор, при чему су семинорме супреме на компактним подсетовима.
Са геометријске перспективе, функција f је холоморфна у z0 ако и само ако је њен спољашњи дериват df у близини U од z0 једнак са f′(z) dz за неку континуирану функцију f′. Из
следи да је df′ исто тако пропорционално са dz, те је стога сам дериват f′ холоморфан и f је бесконачно диференцијабилна. Слично томе, из чињеница да је 1=d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 следи да било која функција f која је холоморфна на једноставно повезаном региону U је исто тако интеграбилна на U. (За стазу γ од z0 до z која у потпуности лежи унутар U, дефинисану
- ;
у смислу теореме Жорданове криве и генерализоване Стокесове теореме, Fγ(z) је независно од датог избора пута γ, и стога је F(z) добро дефинисана функција унутар U за који је 1=F(z0) = F0 и 1=dF = f dz.)
Референце
[уреди | уреди извор]- ^ Аналyтиц фунцтионс оф оне цомплеx вариабле, Енцyцлопедиа оф Матхематицс. (Еуропеан Матхематицал Социетy фт. Спрингер, 2015)
- ^ Спрингер Онлине Референце Боокс, Wолфрам МатхWорлд
- ^ Ахлфорс, L., Цомплеx Аналyсис, 3 ед. (МцГраw-Хилл, 1979).
- ^ Хенрици, П., Апплиед анд Цомпутатионал Цомплеx Аналyсис (Wилеy). [Тхрее волумес: 1974, 1977, 1986.]
- ^ Петер Ебенфелт, Норберт Хунгербüхлер, Јосепх Ј. Кохн, Нгаиминг Мок, Емил Ј. Страубе (2011) Цомплеx Аналyсис Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа
- ^ а б Маркусхевицх, А.I.,Тхеорy оф Фунцтионс оф а Цомплеx Вариабле (Прентице-Халл, 1965). [Тхрее волумес.]
- ^ а б Гуннинг, Роберт C.; Росси, Хуго (1965), Аналyтиц Фунцтионс оф Северал Цомплеx Вариаблес, Прентице-Халл сериес ин Модерн Аналyсис, Енглеwоод Цлиффс, Н.Ј.: Прентице-Халл, стр. xив+317, МР 0180696, Збл 0141.08601
- ^ Граy, Ј. D.; Моррис, С. А. (1978), „Wхен ис а Фунцтион тхат Сатисфиес тхе Цауцхy-Риеманн Еqуатионс Аналyтиц?”, Тхе Америцан Матхематицал Монтхлy (објављено април 1978), 85 (4): 246—256, ЈСТОР 2321164, дои:10.2307/2321164.
- ^ Маркусхевицх, А. I. (2005) [1977]. Силверман, Рицхард А., ур. Тхеорy оф фунцтионс оф а Цомплеx Вариабле (2нд изд.). Неw Yорк: Америцан Матхематицал Социетy. стр. 112. ИСБН 0-8218-3780-X.
- ^ Хенрици, Петер (1993) [1986], Апплиед анд Цомпутатионал Цомплеx Аналyсис Волуме 3, Wилеy Цлассицс Либрарy (Репринт изд.), Неw Yорк - Цхицхестер - Брисбане - Торонто - Сингапоре: Јохн Wилеy & Сонс, стр. X+637, ИСБН 0-471-58986-1, МР 0822470, Збл 1107.30300.
- ^ Еванс, Лаwренце C. (1998), Партиал Дифферентиал Еqуатионс, Америцан Матхематицал Социетy.
- ^ а б в Ланг, Серге (2003), Цомплеx Аналyсис, Спрингер Верлаг ГТМ, Спрингер Верлаг
- ^ Рудин, Wалтер (1987), Реал анд цомплеx аналyсис (3рд изд.), Неw Yорк: МцГраw–Хилл Боок Цо., ИСБН 978-0-07-054234-1, МР 924157
Литература
[уреди | уреди извор]- Блакеy, Јосепх (1958). Университy Матхематицс (2нд изд.). Лондон: Блацкие анд Сонс. ОЦЛЦ 2370110.
- Ахлфорс, Ларс V. (1973), Цонформал инвариантс: топицс ин геометриц фунцтион тхеорy, Неw Yорк: МцГраw–Хилл Боок Цо., МР 0357743
- Цонстантин Царатхéодорy (1932) Цонформал Репресентатион, Цамбридге Трацтс ин Матхематицс анд Пхyсицс
- Цхансон, Х. (2009), Апплиед Хyдродyнамицс: Ан Интродуцтион то Идеал анд Реал Флуид Флоwс, ЦРЦ Пресс, Таyлор & Францис Гроуп, Леиден, Тхе Нетхерландс, 478 пагес, ИСБН 978-0-415-49271-3
- Цхурцхилл, Руел V. (1974), Цомплеx Вариаблес анд Апплицатионс, Неw Yорк: МцГраw–Хилл Боок Цо., ИСБН 978-0-07-010855-4
- Рудин, Wалтер (1987), Реал анд цомплеx аналyсис (3рд изд.), Неw Yорк: МцГраw–Хилл Боок Цо., ИСБН 978-0-07-054234-1, МР 924157
Спољашње везе
[уреди | уреди извор]- Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Аналyтиц фунцтион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104.