Квадрат бинома

Квадрат бинома је једнак збиру квадрата оба члана тог бинома и њиховог двоструког производа:

$(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$

Наиме, имамо да је:

$(A+B)^{2}$ = $(A+B)\cdot (A+B)$=$A\cdot A+A\cdot B+B\cdot A+B\cdot B$=$A^{2}+2AB+B^{2}$=

Квадрат разлике монома А и Б једнак је разлици збира квадрата чланова тог монома и двоструког производа тих монома:

$(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$

У овом случају, имамо да је:

$(A-B)^{2}$ = $(A-B)\cdot (A-B)$ =$A\cdot A-A\cdot B-B\cdot A+B\cdot B$= $A^{2}-2AB+B^{2}$

Пример1. $(2x-5)^{2}$= $(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot 5+5^{2}$= $4x^{2}-20x+25$

$(3x+5)^{2}$= $(3x)^{2}+2\cdot 3x\cdot 5+5^{2}$= $9x^{2}+30x+25$

Наведена правила могу се користити за једноставно рачунање квадрата бројева који су блиски декадним јединицама.

Пример 2. $397^{2}$= $(400-3)^{2}$= $400^{2}-2\cdot 400\cdot 3+3^{2}$= $160000-2400+9$=$157609$

Може се дати и геометријска интерпретација формуле за квадрат бинома.

Посматрајмо квадрат странице $a+b$. Површина тог квадрата је $(a+b)^{2}$. Са слике видимо да је површина овог квадрата једнака збиру површина два квадрата и два једнака правоугаоника. Тада је:

• $(a+b)^{2}$ површина квадрата странице
• $a^{2}$ површина квадрата странице
• $b^{2}$ површина квадрата странице
• $a\cdot b$ површина правоугаоника странице а и б