Манделбротов скуп

Манделбротов сет или скуп је скуп тачака $c$ комплексне равни за које је Јулијин скуп (у ужем смислу) повезан.^[1]^[2] Оне су повезане функцијом $f_{c}(z)=z^{2}+c$ која не дивергира при итерацијама од $z=0$ , и.е., за коју секвенца $f_{c}(0)$ , $f_{c}(f_{c}(0))$ , етц., остаје везана у апсолутној вредности. Сет је добио име по француско-америчком математичару Бенои Манделброту.^[3]

Слике Манделбротовог сета се могу креирати путем узорковања комплексних бројева и тестирања, за сваку тачку узорка $c$ , да ли секвенца $f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc$ иде у бесконачност (у пракси - да ли напушта неко унапред одређено гранично суседство од 0 након унапред одређеног броја итерација). Третирајући реалне и имагинарне делове од $c$ као координате слике комплексне равни, при чему се пиксели затим могу обојити према томе колико брзо низ $|f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc$ прелази неки произвољно изабрани праг. Специјална боја (обично црна) се користи за вредности $c$ за које секвенца низ не прелази преко прага након унапред одређеног броја итерација (то је неопходно да би се направила јасна разлика између слике Манделбротовог сета и његовог комплемента). Ако се $c$ држи константиним и иницијална вредност од $z$ , означена са $z_{0}$ , се уместо тога варира, добија се кореспондирајући Јулијин сет за сваку тачку $c$ у параметарском простору једноставне функције.

Историја

Прва објављена слика Манделбротовог сета, Роберта V. Брукса и Питера Мателског 1978.

Манделбротов скуп има своје порекло у комплексној динамици, области коју су први истражили Пјер Фату и Гастон Жулија почетком 20. века. Овај фрактал су први дефинисали и нацртали 1978. Роберт V. Брукс и Петер Мателски као део студије Клајнових група.^[4] Дана 1. марта 1980. у ИБМ-овом истраживачком центру Томас Џ. Ватсон у Јорктаун Хајтсу, Њујорк, Беноит Манделброт је први пут видео визуализацију сета.^[2]

Манделброт је проучавао простор параметара квадратних полинома у чланку који је објавио 1980. године.^[5] Математичко проучавање Манделбротовог скупа заправо је почело радом математичара Адријена Дуадија и Џона Х. Хабарда (1985),^[3] који су установили многа његова основна својства и назвали скуп у част Манделброта због његовог утицајног рада у фракталној геометрији.

Математичари Хајнц-Ото Пајтген и Петер Рихтер постали су познати по промовисању сета фотографијама, књигама (1986)^[6] и међународном турнејом изложбе немачког Гетеовог института (1985).^[7]^[8]

Насловни чланак часописа Сциентифиц Америцан из августа 1985. упознао је широку публику са алгоритмом за израчунавање Манделбротовог скупа. Насловну страницу су креирали Пајтген, Рихтер и Сауп са Универзитета у Бремену.^[9] Манделбротов сет постао је истакнут средином 1980-их као демонстрација компјутерске графике, када су персонални рачунари постали довољно моћни да прикажу сет у високој резолуцији.^[10]

Рад Дуадија и Хабарда поклопио се са огромним порастом интересовања за комплексну динамику и апстрактну математику, а проучавање Манделбротовог скупа је од тада централни део ове области. Исцрпна листа свих који су од тада допринели разумевању овог скупа је дуга, али укључује Жан Кристоф Јокоза, Мицухиро Шишикура, Курта Мекмулена, Џона Милнора и Михаила Љубича.^[11]^[12]

Конструкција

У Јулијин скуп (у ужем смислу), као што је већ речено, може се уврстити било који комплексни број ц. Зависно од тог броју, Јулијин скуп може бити повезан или неповезан. Ако на комплексној равни означимо све бројеве ц помоћу којих се добива повезан Јулијин скуп, дефинише се Манделбротов скуп. Манделбротов се скуп може приказати на исти начин на који се најчешће приказује Јулијин скуп – бојећи тачке које припадају скупу црно, а остале у разним нијансама зависно од тога колико брзо дивергирају.

Својства

Основна

Манделбротов је скуп затворен скуп којему су све тачке унутар (затвореног) круга полупречника 2 са средиштем у исходишту. Штавише, тачка ц припада Манделбротовом скупу ако и само ако вреди $|f_{c}^{n}(0)|\leq 2$ за све $n\geq 0$ . Другим речима, ако је апсолутна вредност $f_{c}^{n}(0)$ за неки $n\geq 0$ већа од 2, низ ће тежити у бесконачност (дивергирати). Пресек Манделбротовог скупа са реалном осом даје интервал [−2, 0.25]. Површина се процењује на 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, те се верује да је једнака ${\sqrt {6\pi -1}}-e=1.506591651\ldots$

Самосличност

Манделбротов је скуп квази самосличан (види Подела фрактала) јер се у њему појављују измењене верзије њега самог.^[13]^[14] Измењене су углавном због скупова тачака који „вире” из њих повезујући их с главним делом (део 1 у поднаслову испод, слика десно).

Атрактори периода-н

Занимљиво је да у подручју означеном цифром 1 на слици са стране свака тачка конвергира само једној вриједности (не нужно истој за сваку точку), односно тијеком итерација ствара атрактор периода-1 (види Бифуркацијски дијаграм популацијске једначине). На подручју 2 свака тачка чини атрактор периода-2. У Манделбротовом скупу постоји барем једно подручје за атрактор периода-н, $n\in \mathbb {N}$ . Подручја која су директно спојена с подручјем 1 чине атрактор периода-н, ако из њих „вири” н-1 „антена”:

Галерија увећавања

Свака слика представља један увећани део претходне. Видљива је бесконачна сложеност скупа и богатство геометријских структура. Увећање задње слике у односу на прву је отприлике 60 000 000 000 : 1. На просечном монитору задња слика би била део Манделбротовог скупа пречника око 20 милиона километара.

	I	II	III	IV
V	VI	VII	VIII	IX
X	XI	XII	XII	XIV

Варијације

Могуће је направити Манделбротов скуп помоћу функције $f(z_{n-1})=z_{n}^{b}+c,b>2$ . Такви се скупови популарно називају мултиброт скуповима.

Види још

Референце

^ „Манделброт Сет Еxплорер: Матхематицал Глоссарy”. Приступљено 07. 10. 2007.
^ ^а ^б Р.П. Таyлор & Ј.C. Спротт (2008). „Биопхилиц Фрацталс анд тхе Висуал Јоурнеy оф Органиц Сцреен-саверс” (пдф). Нонлинеар Дyнамицс, Псyцхологy. анд Лифе Сциенцес. 12 (1). Недостаје или је празан параметар |титле= (помоћ). Социетy фор Цхаос Тхеорy ин Псyцхологy & Лифе Сциенцес. Приступљено 01. 1. 2009.
^ ^а ^б Адриен Доуадy анд Јохн Х. Хуббард, Етуде дyнамиqуе дес полyнôмес цомплеxес, Прéпублицатионс матхéматхиqуес д'Орсаy 2/4 (1984 / 1985)
^ Ирwин Кра (1. 5. 1981). „Тхе дyнамицс оф 2-генератор субгроупс оф ПСЛ(2,C)”. Ур.: Ирwин Кра. Риеманн Сурфацес анд Релатед Топицс: Процеедингс оф тхе 1978 Стонy Броок Цонференце (ПДФ). Бернард Маскит. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 0-691-08267-7. Архивирано из оригинала (ПДФ) 28. 7. 2019. г. Приступљено 1. 7. 2019.
^ Манделброт, Беноит (1980). „Фрацтал аспецтс оф тхе итератион оф $z\mapsto \lambda z(1-z)$ фор цомплеx $\lambda ,z$ ”. Анналс оф тхе Неw Yорк Ацадемy оф Сциенцес. 357 (1): 249—259. С2ЦИД 85237669. дои:10.1111/ј.1749-6632.1980.тб29690.x.
^ Пеитген, Хеинз-Отто; Рицхтер Петер (1986). Тхе Беаутy оф Фрацталс. Хеиделберг: Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-15851-0.
^ Фронтиерс оф Цхаос, Еxхибитион оф тхе Гоетхе-Институт бy Х.О. Пеитген, П. Рицхтер, Х. Јüргенс, M. Прüфер, D.Саупе. Синце 1985 схоwн ин овер 40 цоунтриес.
^ Глеицк, Јамес (1987). Цхаос: Макинг а Неw Сциенце. Лондон: Цардинал. стр. 229.
^ „Еxплоринг Тхе Манделброт Сет”. Сциентифиц Америцан. 253 (2): 4. август 1985. ЈСТОР 24967754 — преко ЈСТОР.
^ Поунтаин, Дицк (септембар 1986). „Турбоцхаргинг Манделброт”. Бyте. Приступљено 11. 11. 2015.
^ Лyубицх, Микхаил (1999). „Сиx Лецтурес он Реал анд Цомплеx Дyнамицс” (ПДФ). Приступљено 4. 4. 2007.
^ Лyубицх, Микхаил (новембар 1998). „Регулар анд стоцхастиц дyнамицс ин тхе реал qуадратиц фамилy” (ПДФ). Процеедингс оф тхе Натионал Ацадемy оф Сциенцес оф тхе Унитед Статес оф Америца. 95 (24): 14025—14027. Бибцоде:1998ПНАС...9514025Л. ПМЦ 24319 . ПМИД 9826646. дои:10.1073/пнас.95.24.14025 . Приступљено 4. 4. 2007.
^ Леи (1990). „Симиларитy бетwеен тхе Манделброт сет анд Јулиа Сетс”. Цоммуницатионс ин Матхематицал Пхyсицс. 134: 587—617. Бибцоде:1990ЦМаПх.134..587Л. дои:10.1007/бф02098448.
^ Милнор, Ј. (1989). „Селф-Симиларитy анд Хаиринесс ин тхе Манделброт Сет”. Ур.: M. C. Тангора. Цомпутерс ин Геометрy анд Топологy. Неw Yорк: Таyлор & Францис. стр. 211—257. )

Литература

Јохн W. Милнор (2006). Дyнамицс ин Оне Цомплеx Вариабле. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 978-0-691-12488-9. (Тхирд Едитион), Анналс оф Матхематицс Студиес 160.
(Фирст аппеаред ин 1990 ас а Стонy Броок ИМС Препринт, аваилабле ас арXиВ:матх.ДС/9201272 )
Нигел Лесмоир-Гордон (2004). Тхе Цолоурс оф Инфинитy: Тхе Беаутy, Тхе Поwер анд тхе Сенсе оф Фрацталс. ИСБН 978-1-904555-05-6.
(инцлудес а ДВД феатуринг Артхур C. Цларке анд Давид Гилмоур)
Хеинз-Отто Пеитген, Хартмут Јüргенс, Диетмар Саупе (2004). Цхаос анд Фрацталс: Неw Фронтиерс оф Сциенце. Спрингер, Неw Yорк. ИСБН 978-0-387-20229-7.
Мицхаел Фраме, Беноит Манделброт (2002). Фрацталс, Грапхицс, анд Матхематицс Едуцатион. Цамбридге Университy Пресс. стр. 57—59. ИСБН 0-88385-169-5. , Волуме 58 оф Матхематицал Ассоциатион оф Америца Нотес,. (анд усед тхроугхоут тхе боок)
Лобо, Алберт. „Меет тхе Буддхаброт тецхниqуе”. Молецулар Денситy. Архивирано из оригинала 2018-09-03. г. Приступљено 2011-11-21.
Матхологер. „Тхе дарк сиде оф тхе Манделброт сет”. YоуТубе. Архивирано из оригинала 06. 06. 2023. г. Приступљено 25. 06. 2023.
Ан онгоинг волунтеер цомпутинг пројецт Архивирано 2021-08-30 на сајту Wayback Machine бy Давид Баřина верифиес Цонвергенце оф тхе Цоллатз цоњецтуре фор ларге валуес. (фуртхест прогресс со фар)
(БОИНЦ) волунтеер цомпутинг пројецт Архивирано на сајту Wayback Machine (4. децембар 2017) that verifies the Collatz conjecture for larger values.
An ongoing volunteer computing project by Eric Roosendaal verifies the Collatz conjecture for larger and larger values.
Another ongoing volunteer computing project by Tomás Oliveira e Silva continues to verify the Collatz conjecture (with fewer statistics than Eric Roosendaal's page but with further progress made).
Weisstein, Eric W. „Collatz Problem”. MathWorld.
Collatz Problem at PlanetMath.org..
Nochella, Jesse. „Collatz Paths”. Wolfram Demonstrations Project.
Eisenbud, D. (8. 8. 2016). Uncrackable? The Collatz conjecture (short video). Numberphile. Архивирано из оригинала 2021-12-11. г. — преко YouTube.
Eisenbud, D. (9. 8. 2016). Uncrackable? Collatz conjecture (extra footage). Numberphile. Архивирано из оригинала 2021-12-11. г. — преко YouTube.
de (featuring) (30. 7. 2021). The simplest math problem no one can solve (short video). Veritasium — преко YouTube.
Are computers ready to solve this notoriously unwieldy math problem?

Spoljašnje veze

"Mandelbrot set - The most advanced online generator"
Chaos and Fractals на сајту Curlie (језик: енглески)
Тхе Манделброт Сет анд Јулиа Сетс бy Мицхаел Фраме, Беноит Манделброт, анд Ниал Негер Архивирано на сајту Wayback Machine (21. мај 2013)
Видео: Манделброт фрацтал зоом то 6.066 е228
मण्डलबेथ (маṇḍалабетх) Архивирано на сајту Wayback Machine (7. децембар 2018) 3D analog of the mandelbrot set, with various symmetry groups
Relatively simple explanation of the mathematical process, by Dr Holly Krieger, MIT
Mandelbrot set images online rendering
Fractal calculator written in Lua by Deyan Dobromiroiv, Sofia, Bulgaria
Matthews, Keith. „3 $x$ + 1 page”.

[1] „Манделброт Сет Еxплорер: Матхематицал Глоссарy”. Приступљено 07. 10. 2007.

[bf-2] а ^б Р.П. Таyлор & Ј.C. Спротт (2008). „Биопхилиц Фрацталс анд тхе Висуал Јоурнеy оф Органиц Сцреен-саверс” (пдф). Нонлинеар Дyнамицс, Псyцхологy. анд Лифе Сциенцес. 12 (1). Недостаје или је празан параметар |титле= (помоћ). Социетy фор Цхаос Тхеорy ин Псyцхологy & Лифе Сциенцес. Приступљено 01. 1. 2009.

[John_H._Hubbard_1985-3] а ^б Адриен Доуадy анд Јохн Х. Хуббард, Етуде дyнамиqуе дес полyнôмес цомплеxес, Прéпублицатионс матхéматхиqуес д'Орсаy 2/4 (1984 / 1985)

[:0-4] Ирwин Кра (1. 5. 1981). „Тхе дyнамицс оф 2-генератор субгроупс оф ПСЛ(2,C)”. Ур.: Ирwин Кра. Риеманн Сурфацес анд Релатед Топицс: Процеедингс оф тхе 1978 Стонy Броок Цонференце (ПДФ). Бернард Маскит. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 0-691-08267-7. Архивирано из оригинала (ПДФ) 28. 7. 2019. г. Приступљено 1. 7. 2019.

[5] Манделброт, Беноит (1980). „Фрацтал аспецтс оф тхе итератион оф $z\mapsto \lambda z(1-z)$ фор цомплеx $\lambda ,z$ ”. Анналс оф тхе Неw Yорк Ацадемy оф Сциенцес. 357 (1): 249—259. С2ЦИД 85237669. дои:10.1111/ј.1749-6632.1980.тб29690.x.

[6] Пеитген, Хеинз-Отто; Рицхтер Петер (1986). Тхе Беаутy оф Фрацталс. Хеиделберг: Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-15851-0.

[7] Фронтиерс оф Цхаос, Еxхибитион оф тхе Гоетхе-Институт бy Х.О. Пеитген, П. Рицхтер, Х. Јüргенс, M. Прüфер, D.Саупе. Синце 1985 схоwн ин овер 40 цоунтриес.

[8] Глеицк, Јамес (1987). Цхаос: Макинг а Неw Сциенце. Лондон: Цардинал. стр. 229.

[9] „Еxплоринг Тхе Манделброт Сет”. Сциентифиц Америцан. 253 (2): 4. август 1985. ЈСТОР 24967754 — преко ЈСТОР.

[10] Поунтаин, Дицк (септембар 1986). „Турбоцхаргинг Манделброт”. Бyте. Приступљено 11. 11. 2015.

[11] Лyубицх, Микхаил (1999). „Сиx Лецтурес он Реал анд Цомплеx Дyнамицс” (ПДФ). Приступљено 4. 4. 2007.

[12] Лyубицх, Микхаил (новембар 1998). „Регулар анд стоцхастиц дyнамицс ин тхе реал qуадратиц фамилy” (ПДФ). Процеедингс оф тхе Натионал Ацадемy оф Сциенцес оф тхе Унитед Статес оф Америца. 95 (24): 14025—14027. Бибцоде:1998ПНАС...9514025Л. ПМЦ 24319 . ПМИД 9826646. дои:10.1073/пнас.95.24.14025 . Приступљено 4. 4. 2007.

[13] Леи (1990). „Симиларитy бетwеен тхе Манделброт сет анд Јулиа Сетс”. Цоммуницатионс ин Матхематицал Пхyсицс. 134: 587—617. Бибцоде:1990ЦМаПх.134..587Л. дои:10.1007/бф02098448.

[14] Милнор, Ј. (1989). „Селф-Симиларитy анд Хаиринесс ин тхе Манделброт Сет”. Ур.: M. C. Тангора. Цомпутерс ин Геометрy анд Топологy. Неw Yорк: Таyлор & Францис. стр. 211—257. )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]