Навје–Стоксове једначине

Навје–Стоксове једначине, које су добиле назив по Клоду Лују Навјеу и Џорџу Габријелу Стоксу, описују кретање вискозних нестишљивих флуидних субстанци. Ове једначине добијају се применом другог Њутновог закона на кретање флуида, заједно са претпоставком да је напрезање флуида сума чланова који описују вискозност (пропорционалну градијенту брзине), плус члан који означава притисак.

Навје–Стоксове једначине предмет су великог интересовања у математици. Иако то може да делује изненађујуће, због њихове широке практичне употребе, математичари још нису доказали да решења у три димензије увек постоје ( постојање), или да ако постоје оне не садрже бесконачности, сингуларности или дисконтинуитете (прекиде). Ови проблеми називају се проблеми постојања и глаткоће Навје–Стоксових једначина. Математички институт Клеј овај проблем назвао је једним од седам најзначајнијих отворених проблема у математици, те је понудио награду од 1.000.000 долара за решење или контра-пример.

Особине

Нелинеарност

Навје–Стоксове једначине су нелинарна парцијална диференцијална једначина у скоро свим реалним ситуацијама.

Турбуленција

Турбуленција је хаотично понашање зависно од времена, које се среће у многим примерима струјања флуида.

Деривација и опис

Главни чланак: Деривација Навје–Стоксових једначина

Нестишљиво струјање Њутнових флуида

Већина радова на Навје–Стоксовим једначинама рађена је по претпсотавком нестишљивог струјања за њутнове флуиде. Претпоставке нестишљивог струјања често важе чак и када се ради са стишљивим флуидом, као што је ваздух на собној температури (чак и када струји брзином до око Маха 0,3). Узимајући претпоставку нестишљивог струјања у обзир, те ако се претпостави да је вискозност константна, Навје–Стоксове једначине ће гласити (у векторском облику):

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f}$

f представља „остале” масене силе (силе по јединици запремине), као што су гравитација или центрифугална сила. Значајно је и посматрати значење сваког члана (упоредите са Кошијевом једначином момента):

$\overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Promjenljivo}}\\{\text{ubrzanje}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Konvektivno}}\\{\text{ubrzanje}}\end{smallmatrix}}{\Big )}} ^{\text{Inercija (po volumenu)}}=\overbrace {\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Gradijent}}\\{\text{pritiska}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } _{\text{Viskoznost}}} ^{\text{Divergencija napona}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Ostale}}\\{\text{masene}}\\{\text{sile}}\end{smallmatrix}}$

Правоугаоне координате

Експлицитно се може записути векторска једначина,

$\rho \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+\rho g_{x}$

$\rho \left({\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)+\rho g_{y}$

$\rho \left({\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)+\rho g_{z}$

Може се уочити да је гравитација уврштена као масена сила, те да ће вредности $g_{x},g_{y},g_{z}$ зависити од оријентације гравитације у односу на одабране координате.

Једначина континуитета гласи:

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}=0$

Може се уочити да су компоненте брзине (зависне варијабле за које ће проблем бити решен) $u$, $v$ и $w$. Овај систем од четири једначине представља најчешће кориштени и проучавани облик. Он представља нелинеарни систем парцијалних диференцијалних једначина, чија решења је прилично тешко пронаћи.

Цилиндричне координате

Променом варијабли у једначинама у правоуглом координатном систему добијају се следеће моментне једначине за r, θ и z:

$\rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {u_{\theta }^{2}}{r}}\right)=*{\frac {\partial p}{\partial r}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}\right]+\rho g_{r}$

$\rho \left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{z}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\frac {u_{r}u_{\theta }}{r}}\right)=*{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial z^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\theta }}{r^{2}}}\right]+\rho g_{\theta }$

$\rho \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)=*{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right]+\rho g_{z}$

Компоненте гравитације, генерално, неће бити константне, међутим, за већину примена се, или координате изаберу тако да компоненте гравитације буду константне или се претпостави да се гравитацији супроставља поље притиска (на пример, струјање у хоризонталној цеви се третира нормално, без гравитације и без градијента вертикалног притиска). Једначина континуитета гласи:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0.$

Ово представљање Навје–Стоксових једначина за нестишљиво струјање у цилиндричним координатама је друго по фреквенцији појављивања и кориштења у теорији и пракси (прво је било представљање у правоугаоним координатама, описано изнад). Цилиндричне координате се бирају како би се искористила симетрија, тако да се компоненте брзине могу поништити. Врло чест пример осно симетричног струјања, где нема тангенцијалне брзине ($u_{\theta }=0$), док остале величине не зависе од $\theta$:

$\rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}\right)=*{\frac {\partial p}{\partial r}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right]+\rho g_{r}$

$\rho \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)=*{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right]+\rho g_{z}$

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(ru_{r}\right)+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0.$

Сферне координате

У сферним координатама, моментне једначине за $r$, $\theta$ и $\phi$ су):

$\rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\phi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\rho g_{r}$

$\mu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}\right)-2{\frac {u_{r}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{\theta }\cot(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}\right]$

$\rho \left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\phi }^{2}\cot(\theta )}{r}}\right)=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\rho g_{\theta }$

$\mu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\theta }+2\cos(\theta ){\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}\right]$

$\rho \left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}+{\frac {u_{r}u_{\phi }+u_{\phi }u_{\theta }\cot(\theta )}{r}}\right)=-{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial p}{\partial \phi }}+\rho g_{\phi }$

$\mu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}\right)+{\frac {2{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+2\cos(\theta ){\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}-u_{\phi }}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}\right]$

Једначина континуитета масе ће гласити:

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta )u_{\theta }\right)=0$

Ове једначине могле би бити поједнотављене са, на пример, факторизовањем ${\frac {1}{r^{2}}}$ из чланова који описују вискозност. Међутим, ово се не ради како би се очувала структура Лапласијана и осталих величина.

Формулација функције струјања

Рачунајући ротор Навје–Стоксове једначине резултира елиминацијом притиска. Ово се посебно лако може уочити ако се претпостави дводимензионално струјање у правоуглим координатама ($w=0$, те да постоји величина која зависи од $z$). Тада се једначина своди на:

$\rho \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}$

$\rho \left({\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}$

Диференцирањем прве по $y$, а друге по $x$, те одузимањем, добијају се једначине у којима је елиминисан притисак и свака потенцијална сила. Дефинисањем функције струјања $\psi$ преко

$u={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\quad ;\quad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

резултира тиме да је услов континуитета масе безусловно задовољен (ако је дата функција струјања непрекидна), те се тада почетна једначина своди на једну, која гласи:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi$

где је $\nabla ^{4}$ бихармонијски оператор и $\nu$ је кинематска вискозност, $\nu ={\frac {\mu }{\rho }}$. Ова једначина, заједно са одређеним граничним условима, описује дводимензионално струјање флуида, узимајући само кинематску вискозност као параметар. Може се уочити да се једначина за Стоксово струјање добија када се претпостави да је десна страна једначине једнака нули.

Стишљиво струјање њутновских флуида

Постоји неки изузетни феномени који су уско повезани са стишљивошћу флуида. Један од очитих примера је звук. Описивање таквог феномена захтева генералније представљање Навје–Стоксових једначина, које узима у обзир стишљивост флуида. Ако се претпостави да је вискозност константна, појављује се један додатни члан, као што је овде приказано:

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} +(\mu /3+\mu ^{v})\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )$

где је $\mu ^{v}$ други коефицијент вискозности. Овај коефицијент повезан је са запреминском вискозношћу. Овај додатни члан нестаје када је флуид нестишљив, те је дивергенција струјања једнака нули.

Види још

• Рачунарска динамика флуида
• Рејнолдсов транспортни теорем
• Рејнолдсов број
• Махов број
• Вишефазно струјање
• Детаљи миленијумског проблема
• Рејнолдсове упроштене Навје–Стоксове једначине
• Коандов ефект
• Фокер-Планкова једначина
• Болцманов интеграл
• Власовова једначина

Литература

• Ацхесон, D. Ј. (1990), Елементарy Флуид Дyнамицс, Оxфорд Апплиед Матхематицс анд Цомпутинг Сциенце Сериес, Оxфорд Университy Пресс, ИСБН 978-0-19-859679-0 
• Батцхелор, Г. К. (1967), Ан Интродуцтион то Флуид Дyнамицс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-66396-0 
• Ландау, L. D.; Лифсхитз, Е. M. (1987), Флуид мецханицс, Цоурсе оф Тхеоретицал Пхyсицс, 6 (2нд ревисед изд.), Пергамон Пресс, ИСБН 978-0-08-033932-0, ОЦЛЦ 15017127 
• Рхyминг, Инге L. (1991), Дyнамиqуе дес флуидес, Прессес полyтецхниqуес ет университаирес романдес 
• Полyанин, А. D.; Кутепов, А. M.; Вyазмин, А. V.; Казенин, D. А. (2002), Хyдродyнамицс, Масс анд Хеат Трансфер ин Цхемицал Енгинееринг, Таyлор & Францис, Лондон, ИСБН 978-0-415-27237-7 
• Цуррие, I. Г. (1974), Фундаментал Мецханицс оф Флуидс, МцГраw-Хилл, ИСБН 978-0-07-015000-3 
• V. Гираулт анд П.А. Равиарт. Фините Елемент Метходс фор Навиер–Стокес Еqуатионс: Тхеорy анд Алгоритхмс. Спрингер Сериес ин Цомпутатионал Матхематицс. Спрингер-Верлаг, 1986.
• Wхите, Франк M. (2006), Висцоус Флуид Флоw, МцГраw-Хилл, ИСБН 978-0-07-124493-0 
• Смитс, Алеxандер Ј. А Пхyсицал Интродуцтион то Флуид Мецханицс, Wилеy. 2014. ISBN 978-0-471-25349-5.
• Рогер Темам　 (1984). Навиер–Стокес Еqуатионс: Тхеорy анд Нумерицал Аналyсис. АЦМ Цхелсеа Публисхинг. ИСБН 978-0-8218-2737-6. 

Спољашње везе

• Simplified derivation of the Navier–Stokes equations Архивирано на сајту Wayback Machine (29. новембар 2017)
• QEDen Millennium Prize Problems Wiki
• CFD online software list A compilation of codes, including Navier–Stokes solvers.
• Three-dimensional unsteady form of the Navier–Stokes equations Glenn Research Center, NASA