Studentov t-test

т-Тест је сваки статистички тест хипотезе у коме тестна статистика следи Студентову т-дистрибуцију под нултим хипотезама. т-Тест се обично примењује кад тестна статистика следи нормалну дистрибуцију, ако је вредност скалирајућег члана у статистици теста позната. Када је скалирајући члан непознат и замењује га процена на основу података, статистика теста (под одређеним условима) следи студентову т-дистрибуцију. Овај тест^[1] се на пример може користити да се утврди да ли се средње вредности две групе података значајно разликују једна од друге.

Историја

Вилијам Сили Госет је увео т-статистику 1908. године, док је као хемичар радио за Гинисову пивару у Даблину, Ирска. „Студент” је био његов књижевни псеудоним.^[2]^[3]^[4]^[5]

Госет је био запослен захваљујући политици Клода Гиниса да регрутује најбоље дипломиране студенте из Оксфорда и Кембриџа да би примењивали биохемију и статистику на Гинисове индустријске процесе.^[3] Госет је осмислио т-тест као економичан начин праћења квалитета стаута. Рад о т-тесту је био поднет и прихваћен у часопису Биометрика и објављен је 1908. године.^[6] Политика компаније Гинис забрањивала је њеним хемичарима да објављују своја открића, па је Госет објавио свој статистички рад под псеудонимом „Студент”.

Гинис је имао политику допуштања техничком особљу да одлази на студије (тзв. „студијско одсуство”), коју је Госет користио током прва два семестра академске године 1906–1907 у Биометријској лабораторији професора Карла Пирсона на Универзитетском колеџу у Лондону.^[7] Госетов идентитет тада је био познат његовим колегама статистичарима и главном уреднику Карлу Пирсону.^[8]

Употребе

Неки од најчешће кориштених t-тестова су:

Локациони тест једног узорка да ли средња вредност популације има вредност наведену нултом хипотезом.
Локациони тест два узорка са нултом хипотезом према којој су средње вредности две популације једнаке. Сви такви тестови се обично називају Студентовим т-тестовима, мада би строго говорећи то име требало да се употребљава само кад су варијансе две популације једнаке; облик теста који се користи када се та претпоставка одбаци понекад се назива и Велчов т-тест. Ови тестови се често називају т-тестовима „неупарених” или „независних узорака”, јер се типично примењују када се статистичке јединице два исходишна узорка који се упоређују не преклапају.^[9]

Претпоставке

Већина тестних статистика има форму $т = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}З/с$ , где су $З$ и $с$ функције података. $З$ може да буде сензитивно на алтернативну хипотезу (тј. његова магнитуда има тенденцију да буде већа када је алтернативна хипотеза тачна), док је $с$ параметар скалирања који омогућава да се утврди дистрибуција од $т$ . На пример, у t-тесту са једним узорком

t={\frac {Z}{s}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{{\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}}

где је $X$ средња вредност узорка $X 1, X 2, \dots, X н$ , величине $н$ , $с$ је стандардна грешка средње вредности, ${\textstyle {\widehat {\sigma }}}$ је процена стандардне девијације популације, и $μ$ је средња вредност популације.

Претпоставке на којима се темељи т-тест у његовом најједноставнијем облику су

$X$ следи нормалну дистрибуцију са средњом вредности $μ$ и варијансом $σ 2 / н$
$с 2$ следи $χ 2$ дистрибуцију са $н - 1$ степени слободе. Ова претпоставка је испуњена када опсервације кориштене за процену $с 2$ потичу из нормалне дистрибуције (и независних и идентично дистрибуираних рандомних променљивих за сваку групу).
$З$ и $с$ су независни.

У т-тесту којим се пореде средње вредности две независне променљиве, следеће претпоставке требају да буду задовољене:

Средња вредност две упоређене популације треба да следи нормалну дистрибуцију. Под слабим претпоставкама у великим узорцима, ово произилази из централне граничне теореме.^[10]
Ако се користи Студентова оригинална дефиниција т-теста, две популације које се упоређују треба да имају исту варијансу (на њих су применљиви и Ф-тест, Левенеов тест, Бартлетов тест или Браун-Форсајтов тест, или се графички могу процењивати коришћењем Q–Q графа). Ако су величине две групе узорака које се упоређују једнаке, Студентов оригинални т-тест је високо робустан у погледу неједнаких варијанси.^[11] Велчов т-тест је неосетљив на једнакост варијанси без обзира да ли су величине узорка сличне.
Подаци кориштени за обављање теста треба да буду узорковани независно од две популације која се упоређују. То се генерално не може испитати из података, али ако је познато да подаци зависе од узорковања (то јест, ако су узорковани у кластерима), тада класични т-тестови који се овде разматрају могу да дају погрешне резултате.

Већина т-тестова са два узорка је робусна за све случајеве, изузев великих одступања од претпоставки.^[12]

Ради тачности, т-тест и Z-тест захтевају нормалност средњих вредности узорка, а т-тест додатно захтева да варијанса узорка следи скалирану χ² расподелу, и да средње вредности и варијанце узорака буду статистички независне. Нормалност појединачних вредности података није неопходна, ако су ови услови задовољени. Према централној граничној теореми, средње вредности умерено великих узорака су обично добра апроксимација нормалне дистрибуције, чак и ако подаци нису нормално дистрибуирани. За такве податке, дистрибуција варијансе узорка може значајно да одступа од χ² дистрибуције. Међутим, ако је величина узорка велика, из теореме Слуцког следи да расподела варијансе узорка има мало утицаја на дистрибуцију тестне статистике.

Референце

^ „рице пуритy тест”. Тхе Америцан Статистициан. 1980.
^ Манкиеwицз, Рицхард (2004). Тхе Сторy оф Матхематицс (Папербацк изд.). Принцетон, Њ: Принцетон Университy Пресс. стр. 158. ИСБН 9780691120461.
^ ^а ^б О'Цоннор, Јохн Ј.; Робертсон, Едмунд Ф. „Wиллиам Сеалy Госсет”. МацТутор Хисторy оф Матхематицс арцхиве. Университy оф Ст Андреwс.
^ Фисхер Боx, Јоан (1987). „Гуиннесс, Госсет, Фисхер, анд Смалл Самплес”. Статистицал Сциенце. 2 (1): 45—52. ЈСТОР 2245613. дои:10.1214/сс/1177013437.
^ „Архивирана копија” (ПДФ). Архивирано из оригинала (ПДФ) 16. 05. 2017. г. Приступљено 16. 08. 2019.
^ „Тхе Пробабле Еррор оф а Меан” (ПДФ). Биометрика. 6 (1): 1—25. 1908. дои:10.1093/биомет/6.1.1. Приступљено 24. 7. 2016.
^ Рају, Т. Н. (2005). „Wиллиам Сеалy Госсет анд Wиллиам А. Силверман: Тwо "студентс" оф сциенце”. Педиатрицс. 116 (3): 732—5. ПМИД 16140715. дои:10.1542/педс.2005-1134.
^ Додге, Yадолах (2008). Тхе Цонцисе Енцyцлопедиа оф Статистицс. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. стр. 234—235. ИСБН 978-0-387-31742-7.
^ Фадем, Барбара (2008). Хигх-Yиелд Бехавиорал Сциенце. Хигх-Yиелд Сериес. Хагерстоwн, MD: Липпинцотт Wиллиамс & Wилкинс. ИСБН 0-7817-8258-9.
^ Лумлеy, Тхомас; Диехр, Паула; Емерсон, Сцотт; Цхен, Лу (мај 2002). „Тхе Импортанце оф тхе Нормалитy Ассумптион ин Ларге Публиц Хеалтх Дата Сетс”. Аннуал Ревиеw оф Публиц Хеалтх. 23 (1): 151—169. ИССН 0163-7525. дои:10.1146/аннурев.публхеалтх.23.100901.140546.
^ Маркоwски, Царол А.; Маркоwски, Едwард П. (1990). „Цондитионс фор тхе Еффецтивенесс оф а Прелиминарy Тест оф Варианце”. Тхе Америцан Статистициан. 44 (4): 322—326. ЈСТОР 2684360. дои:10.2307/2684360.
^ Бланд, Мартин (1995). Ан Интродуцтион то Медицал Статистицс. Оxфорд Университy Пресс. стр. 168. ИСБН 978-0-19-262428-4.

Литература

О'Махонy, Мицхаел (1986). Сенсорy Евалуатион оф Фоод: Статистицал Метходс анд Процедурес. ЦРЦ Пресс. стр. 487. ИСБН 0-82477337-3.
Пресс, Wиллиам Х.; Теуколскy, Саул А.; Веттерлинг, Wиллиам Т.; Фланнерy, Бриан П. (1992). Нумерицал Реципес ин C: Тхе Арт оф Сциентифиц Цомпутинг. Цамбридге Университy Пресс. стр. 616. ИСБН 0-521-43108-5.
Бонеау, C. Алан (1960). „Тхе еффецтс оф виолатионс оф ассумптионс ундерлyинг тхе т тест”. Псyцхологицал Буллетин. 57 (1): 49—64. дои:10.1037/х0041412.
Едгелл, Степхен Е.; Ноон, Схеила M. (1984). „Еффецт оф виолатион оф нормалитy он тхе т тест оф тхе цоррелатион цоеффициент”. Псyцхологицал Буллетин. 95 (3): 576—583. дои:10.1037/0033-2909.95.3.576.
Сенн, С.; Рицхардсон, W. (1994). „Тхе фирст т-тест”. Статистицс ин Медицине. 13 (8): 785—803. ПМИД 8047737. дои:10.1002/сим.4780130802.
Хогг РВ, Цраиг АТ (1978). Интродуцтион то Матхематицал Статистицс (4тх изд.). Неw Yорк: Мацмиллан. АСИН Б010WФО0СА.
Венаблес, W. Н.; Риплеy, Б. D. (2002). Модерн Апплиед Статистицс wитх С (Фоуртх изд.). Спрингер.
Гелман, Андреw; Јохн Б. Царлин; Хал С. Стерн; Доналд Б. Рубин (2003). Баyесиан Дата Аналyсис (Сецонд Едитион). ЦРЦ/Цхапман & Халл. ИСБН 1-58488-388-X.
Мортимер РГ (2005). Матхематицс фор пхyсицал цхемистрy (3рд изд.). Бурлингтон, МА: Елсевиер. стр. 326. ИСБН 9780080492889. ОЦЛЦ 156200058.
Фисхер РА (1925). „Апплицатионс оф "Студент'с" дистрибутион” (ПДФ). Метрон. 5: 90—104. Архивирано из оригинала (ПДФ) 5. 3. 2016. г.
Wалполе РЕ, Мyерс Р, Мyерс С, et al. (2006). Пробабилитy & Статистицс фор Енгинеерс & Сциентистс (7тх изд.). Неw Делхи: Пеарсон. стр. 237. ИСБН 9788177584042. ОЦЛЦ 818811849.
Крусцхке ЈК (2015). Доинг Баyесиан Дата Аналyсис (2нд изд.). Ацадемиц Пресс. ИСБН 9780124058880. ОЦЛЦ 959632184.
Јохнсон НЛ, Котз С, Балакрисхнан Н (1995). „Цхаптер 28”. Цонтинуоус Унивариате Дистрибутионс. 2 (2нд изд.). Wилеy. ИСБН 9780471584940.
Цаселла Г, Бергер РЛ (1990). Статистицал Инференце. Дуxбурy Ресоурце Центер. стр. 56. ИСБН 9780534119584.
Јацкман, С. (2009). Баyесиан Аналyсис фор тхе Социал Сциенцес. Wилеy. стр. 507. ИСБН 9780470011546. дои:10.1002/9780470686621.
Бисхоп, C.M. (2006). Паттерн Рецогнитион анд Мацхине Леарнинг. Неw Yорк, НY: Спрингер. ИСБН 9780387310732.
Орд ЈК (1972). Фамилиес оф Фреqуенцy Дистрибутионс. Лондон: Гриффин. ИСБН 9780852641378.
Ланге КЛ, Литтле РЈ, Таyлор ЈМ (1989). „Робуст Статистицал Моделинг Усинг тхе т Дистрибутион” (ПДФ). Ј. Ам. Стат. Ассоц. 84 (408): 881—896. ЈСТОР 2290063. дои:10.1080/01621459.1989.10478852.
Гелман АБ, Царлин ЈБ, Стерн ХС, et al. (2014). „Цомпутатионаллy еﬃциент Марков цхаин симулатион”. Баyесиан Дата Аналyсис. Боца Ратон, ФЛ: ЦРЦ Пресс. стр. 293. ИСБН 9781439898208. ^{[мртва веза]}

Спољашње везе

Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Студент тест”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104.
A conceptual article on the Student's t-test
Ецонометрицс лецтуре (топиц: хyпотхесис тестинг) на сајту YouTube бy Марк Тхома
Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Студент дистрибутион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104.
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term "Student's distribution")
Роуауд, M. (2013), Пробабилитy, Статистицс анд Естиматион (ПДФ) (схорт изд.)

[1] „рице пуритy тест”. Тхе Америцан Статистициан. 1980.

[2] Манкиеwицз, Рицхард (2004). Тхе Сторy оф Матхематицс (Папербацк изд.). Принцетон, Њ: Принцетон Университy Пресс. стр. 158. ИСБН 9780691120461.

[Gossett-3] а ^б О'Цоннор, Јохн Ј.; Робертсон, Едмунд Ф. „Wиллиам Сеалy Госсет”. МацТутор Хисторy оф Матхематицс арцхиве. Университy оф Ст Андреwс.

[4] Фисхер Боx, Јоан (1987). „Гуиннесс, Госсет, Фисхер, анд Смалл Самплес”. Статистицал Сциенце. 2 (1): 45—52. ЈСТОР 2245613. дои:10.1214/сс/1177013437.

[5] „Архивирана копија” (ПДФ). Архивирано из оригинала (ПДФ) 16. 05. 2017. г. Приступљено 16. 08. 2019.

[The_Probable_Error_of_a_Mean-6] „Тхе Пробабле Еррор оф а Меан” (ПДФ). Биометрика. 6 (1): 1—25. 1908. дои:10.1093/биомет/6.1.1. Приступљено 24. 7. 2016.

[7] Рају, Т. Н. (2005). „Wиллиам Сеалy Госсет анд Wиллиам А. Силверман: Тwо "студентс" оф сциенце”. Педиатрицс. 116 (3): 732—5. ПМИД 16140715. дои:10.1542/педс.2005-1134.

[Dodge2008-8] Додге, Yадолах (2008). Тхе Цонцисе Енцyцлопедиа оф Статистицс. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. стр. 234—235. ИСБН 978-0-387-31742-7.

[fadem-9] Фадем, Барбара (2008). Хигх-Yиелд Бехавиорал Сциенце. Хигх-Yиелд Сериес. Хагерстоwн, MD: Липпинцотт Wиллиамс & Wилкинс. ИСБН 0-7817-8258-9.

[:0-10] Лумлеy, Тхомас; Диехр, Паула; Емерсон, Сцотт; Цхен, Лу (мај 2002). „Тхе Импортанце оф тхе Нормалитy Ассумптион ин Ларге Публиц Хеалтх Дата Сетс”. Аннуал Ревиеw оф Публиц Хеалтх. 23 (1): 151—169. ИССН 0163-7525. дои:10.1146/аннурев.публхеалтх.23.100901.140546.

[11] Маркоwски, Царол А.; Маркоwски, Едwард П. (1990). „Цондитионс фор тхе Еффецтивенесс оф а Прелиминарy Тест оф Варианце”. Тхе Америцан Статистициан. 44 (4): 322—326. ЈСТОР 2684360. дои:10.2307/2684360.

[Bland1995-12] Бланд, Мартин (1995). Ан Интродуцтион то Медицал Статистицс. Оxфорд Университy Пресс. стр. 168. ИСБН 978-0-19-262428-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]