Таласна функција

Поређење појмова класичног и квантног хармонијског осцилатора за изоловане честице без спина. Описивање кретања код класичног и квантног осцилатора се прилично разликује. Класични осцилатор (A–B) представљен је као кретање честице дуж путање. Квантни осцилатор (C–H) нема тачно дефинисану путању како се познаје у класичној физици. Уместо тога, путања код квантног осцилатора је описана као талас; овде, вертикална оса приказује реални (плав) и имагинарни део таласне функције (црвен). На анимацијама (C–F) приказана су четири различита решења стојећег таласа Шредингерове једначине. Анимације (G–H) приказују две различите таласне функције које су решења Шредингерове једначине, али нису стојећи таласи, али су таласи који преносе енергију кроз простор.

Таласна функција у квантној физици се користи за опис квантног стања изолованог квантног система. Таласна функција $\Psi$је комплексна функција која представља амплитуду вероватноће, а квадрат модула таласне функције $|\Psi |^{2}$има значење густине вероватноће. Ако се талансна функција дефинише као функција која зависи од просторних и временских координата, $|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}$ је реалан број и представља вероватноћу да се честица у временском тренутку $t$нађе на позицији ${\vec {x}}$.

Најчешћи симболи за таласну функцију су грчка слова ψ или Ψ (мало и велико пси, респективно). Сама таласна функција дефинисана као кокмплексна функција $\Psi$није опсервабла у физици (не може се директно измерити), али квадрат модула таласне функције $|\Psi |^{2}$и релативна фаза таласне функције се могу измерити. Принцип дуалности у квантној механици подразумева да се квантни системи могу еквивалентно описати и као честице и као таласи (нпр. преко таласне функције). Оба описа су еквивалентна и оба се користе због тога што је за опис различитих појава један или други приступ једноставнији и интуитивнији.

Таласна функција се налази као решење једначине задате квантним Хермитским операторима (нпр. квантни Хамилтонијан у Шредингеровој једначини). Решавањем оваквих једначина, добијају се својствене вредности који представљају спектар могућих резултата мерења и својствени вектори који представљају таласне функције дате једначине.

Историја

Први пут таласну функцију за описивање микроскопског квантног понашања честица искористио је Ервин Шредингер 1926. године када је направио аналогију понашања квантне честице са понашањем таласа. У том тренутку Шредингер није сматрао да је таласна функција довоља да опише реалан физички талас, али исте године Макс Борн је предложио интерпретацију таласне функције преко густине вероватноће и од тад је таласна функција у значењу какво се данас схвата заузела фундаментално место за опис појава у квантној механици.

Дефиниција

Таласна функција је функција задана преко степена слободе, као што су просторне координате, временска координата, спин честице, итд. Када се за један систем одабере максималан скуп комутационих опсервабли за степене слободе, односно одаберу се сви међусобно независни степени слободе (просторна координата и спин јесу независни степени слободе, али импулс и одговарајућа просторна координата нису међусобно независни степени слободе, зато што су један директно зависе од другог), за дати систем се може дефинисати таласна функција.

За дати систем, избор комутационих степена слободе који ће се користити није јединствен, и сходно томе домен таласне функције такође није јединствен. На пример, таласна функција се може записати као функција просторних координата честица, или као функција импулсних координата честица у импулсном простору. Те две различите дефиниције таласне функције дају исте физички опсервабилне резулатате и различито дефинисане таласне функције у реалном и импулсном простору међусобно су повезане Фуријеовом трансформацијом.

Неке честице, попут електрона и фотона, имају спин различит од нуле. Ако је спин честице значајан за посматрану појаву која жели да се опише, у дефиницију таласне функције за ту честицу потребно је поред просторних и/или временских координата укључити и спин као унутрашњи, дискретни степен слободе. Тако је даље могуће укључити и друге степене слободе као што је изоспин, итд. Дискретни степени слободе се најчешће представљају матричним колонама. Нпр. за спин $s={\frac {1}{2}}$користи се матрична колона $2\times 1$, за спин $s=1$, користи се матрична колона $3\times 1$, итд.

Дефиниција таласне функције преко просторних координата и времена

Таласна функција за једну изоловану честицу која се креће нерелативистичком брзином чији се спин не узима у обзир, може се представити у функцији само просторних координата и времена као комплексна функција реалних варијабли ${\vec {x}}$ и $t$:

$\Psi ({\vec {x}},t)$

Квадрат модула таласне функције $|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}$ има значење густине вероватноће:

$|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}=\Psi ^{*}({\vec {x}},t)\Psi ({\vec {x}},t)=\rho ({\vec {x}},t)$

На основу стандардне дефиниције вероватноће, намеће са услов нормираности таласне функције. Таласна функција мора бити нормирана, тако је укупна вероватноћа да се честица нађе негде у простору једнака 1:

$\int _{-\infty }^{\infty }d{\vec {x}}\;|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}=1$

На питање да ли се честица у одређеном тренутку налази на одређеној позицији могуће је одговорити само преко информације колика је вероватноћа да се честица у том тренутку нађе на тој позицији. Вероватноћа да се честица која се креће дуж једне димензије у тренутку $t$ нађе у просторном интервалу између тачака $a$ и $b$ дата је интегралом:

$P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}dx\;|\Psi (x,t)|^{2}$

Дефиниција таласне функције преко времена и координата у импулсном простору

Таласна функција честице не мора бити задана преко координата простора и времена. Еквивалентне физичке резултате даје и дефиниција таласне функције преко импулса и времена као:

$\Phi ({\vec {p}},t)$

На сличан начин се задаје услов нормираности и слично квадрат модула таласне функције $|\Phi ({\vec {p}},t)|^{2}$ има значење вероватноће да честица у тренутку $t$ поседује импулс ${\vec {p}}$.

Простор таласних функција

Простор таласних функција на којем су оне дефинисане је Хилбертов простор. Таласне функције које представљају решење Шредингерове једначине задовољавају:

• особину суперпозиције: Како је Шредингерова једначина линеарна диференцијална једначина, ако су функције $\Psi _{1}$и $\Psi _{2}$два различита решења Шредингерове једначине, онда је и њихова линеарна комбинација $a\Psi _{1}+b\Psi _{2}$, где су $a$и $b$комплексни бројеви, решење Шредингерове једначине.
• дефинисаност до на константу Ако је $\Psi$решење Шредингерове једначине, онда је и $\Psi +C$, где је $C$произвољна константа, решење дате једначине.

Унутрашњи производ између две таласне функције:

$\langle \Psi _{1}(x)|\Psi _{2}(x)\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }dx\;\Psi _{1}^{*}(x)\Psi _{2}(x)$

је мера преклапања између одговарајућих физичких стања и има значење вероватноће прелаза из стања описаног таласном функцијом $\Psi _{1}(x)$ у стање описаном таласном функцијом $\Psi _{2}(x)$, или обрнуто.

Шредингерова једначина

Таласна функција $\Psi$ је решење Шредингерове једначине:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$

која описује промену система у функцији од времена. Шредингерова једначина описује како таласне функције еволуирају током времена. Како је Шредингерова једначина математички тип таласне једначине, њено решење које представља таласна функција $\Psi$ се квалитативно понаша као и макроскопски таласи, као што су водени таласи или таласи на жици.

Атом водоника

Електронска густина вероватноће $|\Psi _{n\ell m}|^{2}$ различитих орбитала које граде целокупну таласну функцију атома водоника као решење Шредингерове једначине.

Решење временски-независне Шредингерове једначине за атом водоника (не узимајући у обзир спин атома) је таласна функција која се може изразити преко радијалне функције која $R(r)$која зависи само од радијалне координате $r$и сферног хармоника $Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )$који зависи од угаоних координата $\theta$и $\phi$.

$\Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )$

Свака од $\Psi _{n\ell m}$компоненти таласне функције чини једну атомску орбиталу.

Види још

• Квантна механика
• Расподела вероватноће
• Шредингерова једначина
• Хајзенбергове релације неодређености

Литература

• Аткинс, П. W. (1974). Qуанта: А Хандбоок оф Цонцептс. ИСБН 978-0-19-855494-3. 
• Аронс, А. Б.; Пеппард, M. Б. (1965). „Еинстеин'с пропосал оф тхе пхотон цонцепт: А транслатион оф тхе Аннален дер Пхyсик папер оф 1905” (ПДФ). Америцан Јоурнал оф Пхyсицс. 33 (5): 367. Бибцоде:1965АмЈПх..33..367А. дои:10.1119/1.1971542. Архивирано из оригинала (ПДФ) 4. 3. 2016. г. Приступљено 26. 6. 2019. 
• Бохр, Н. (1985). Ј. Калцкар, ур. Ниелс Бохр - Цоллецтед Wоркс: Фоундатионс оф Qуантум Пхyсицс I (1926 - 1932). 6. Амстердам: Нортх Холланд. ИСБН 9780444532893. 
• Борн, M. (1926а). „Зур Qуантенмецханик дер Стоßворганге”. З. Пхyс. 37 (12): 863—867. Бибцоде:1926ЗПхy...37..863Б. дои:10.1007/бф01397477. 
• Борн, M. (1926б). „Qуантенмецханик дер Стоßворганге”. З. Пхyс. 38 (11–12): 803—827. Бибцоде:1926ЗПхy...38..803Б. дои:10.1007/бф01397184. 
• Борн, M. (1927). „Пхyсицал аспецтс оф qуантум мецханицс”. Натуре. 119 (2992): 354—357. Бибцоде:1927Натур.119..354Б. дои:10.1038/119354а0. 
• Борн, M. (1954). „Тхе статистицал интерпретатион оф qуантум мецханицс” (ПДФ). Нобел Лецтуре. 11. 12. 1954. Архивирано из оригинала (ПДФ) 19. 10. 2012. г. Приступљено 26. 06. 2019. 
• де Броглие, L. (1923). „Радиатионс—Ондес ет qуанта” [Радиатион—Wавес анд qуанта]. Цомптес Рендус (на језику: Френцх). 177: 507—510, 548, 630. ЦС1 одржавање: Непрепознат језик (веза) Онлине цопy (Френцх) Онлине цопy (Енглисх)
• де Броглие, L. (1960). Нон-линеар Wаве Мецханицс: а Цаусал Интерпретатион. Амстердам: Елсевиер. 
• Цамиллери, К. (2009). Хеисенберг анд тхе Интерпретатион оф Qуантум Мецханицс: тхе Пхyсицист ас Пхилосопхер. Цамбридге УК: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-88484-6. 
• Бyрон, Ф. W.; Фуллер, Р. W. (1992) [1969]. Матхематицс оф Цлассицал анд Qуантум Пхyсицс. Довер Боокс он Пхyсицс (ревисед изд.). Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-67164-2. 
• Цонwаy, Ј. Б. (1990). А Цоурсе ин Фунцтионал Аналyсис. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 96. Спрингер Верлаг. ИСБН 978-0-387-97245-9. 
• Дирац, П. А. M. (1982). Тхе принциплес оф qуантум мецханицс. Тхе интернатионал сериес он монограпхс он пхyсицс (4тх изд.). Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 0 19 852011 5. 
• Дирац, П. А. M. (1939). „А неw нотатион фор qуантум мецханицс”. Матхематицал Процеедингс оф тхе Цамбридге Пхилосопхицал Социетy. 35 (3): 416—418. Бибцоде:1939ПЦПС...35..416Д. дои:10.1017/С0305004100021162. 
• Еинстеин, А. (1905). „Üбер еинен дие Ерзеугунг унд Верwандлунг дес Лицхтес бетреффенден хеуристисцхен Гесицхтспункт”. Аннален дер Пхyсик (на језику: Герман). 17 (6): 132—148. Бибцоде:1905АнП...322..132Е. дои:10.1002/андп.19053220607. ЦС1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Еинстеин, А. (1916). „Зур Qуантентхеорие дер Страхлунг”. Миттеилунген дер Пхyсикалисцхен Геселлсцхафт Зüрицх. 18: 47—62. 
• Еинстеин, А. (1917). „Зур Qуантентхеорие дер Страхлунг”. Пхyсикалисцхе Зеитсцхрифт (на језику: Герман). 18: 121—128. Бибцоде:1917ПхyЗ...18..121Е. ЦС1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Еинстеин, А. (1998). П. А. Сцхлипп, ур. Алберт Еинстеин: Пхилосопхер-Сциентист. Тхе Либрарy оф Ливинг Пхилосопхерс. VII (3рд изд.). Ла Салле Публисхинг Цомпанy, Иллиноис: Опен Цоурт. ИСБН 978-0-87548-133-3. 
• Еисберг, Р.; Ресницк, Р. (1985). Qуантум Пхyсицс оф Атомс, Молецулес, Солидс, Нуцлеи анд Партицлес (2нд изд.). Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 978-0-471-87373-0. 
• Греинер, W.; Реинхардт, Ј. (2008). Qуантум Елецтродyнамицс (4тх изд.). спрингер. ИСБН 9783540875604. 
• Гриффитхс, D. Ј. (2004). Интродуцтион то Qуантум Мецханицс (2нд изд.). Ессеx Енгланд: Пеарсон Едуцатион Лтд. ИСБН 978-0131118928. 
• Хеисенберг, W. (1958). Пхyсицс анд Пхилосопхy: тхе Револутион ин Модерн Сциенце. Неw Yорк: Харпер & Роw. 
• Ханле, П.А. (1977), „Ерwин Сцхродингер'с Реацтион то Лоуис де Броглие'с Тхесис он тхе Qуантум Тхеорy.”, Исис, 68 (4): 606—609, дои:10.1086/351880 
• Јаyнес, Е. Т. (2003). Г. Ларрy Бреттхорст, ур. Пробабилитy Тхеорy: Тхе Логиц оф Сциенце. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521 59271-0. 
• Ландау, L.D.; Лифсхитз, Е. M. (1977). Qуантум Мецханицс: Нон-Релативистиц Тхеорy. Вол. 3 (3рд изд.). Пергамон Пресс. ИСБН 978-0-08-020940-1.  Онлине цопy
• Лернер, Р.Г.; Тригг, Г.L. (1991). Енцyцлопаедиа оф Пхyсицс (2нд изд.). ВХЦ Публисхерс. ИСБН 978-0-89573-752-6. 
• Лудwиг, Г. (1968). Wаве Мецханицс. Оxфорд УК: Пергамон Пресс. ИСБН 978-0-08-203204-5. ЛЦЦН 66-30631. 
• Мурдоцх, D. (1987). Ниелс Бохр'с Пхилосопхy оф Пхyсицс. Цамбридге УК: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-33320-7. 
• Неwтон, Р.Г. (2002). Qуантум Пхyсицс: а Теxт фор Градуате Студент. Неw Yорк: Спрингер. ИСБН 978-0-387-95473-8. 
• Паули, Wолфганг (1927). „Зур Qуантенмецханик дес магнетисцхен Електронс”. Зеитсцхрифт фüр Пхyсик (на језику: Герман). 43 (9–10): 601—623. Бибцоде:1927ЗПхy...43..601П. дои:10.1007/бф01397326. ЦС1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Пелег, Y.; Пнини, Р.; Заарур, Е.; Хецхт, Е. (2010). Qуантум мецханицс. Сцхаум'с оутлинес (2нд изд.). МцГраw Хилл. ИСБН 978-0-07-162358-2. 
• Рае, А.I.M. (2008). Qуантум Мецханицс. 2 (5тх изд.). Таyлор & Францис Гроуп. ИСБН 978-1-5848-89700. 
• Сцхрöдингер, Е. (1926). „Ан Ундулаторy Тхеорy оф тхе Мецханицс оф Атомс анд Молецулес” (ПДФ). Пхyсицал Ревиеw. 28 (6): 1049—1070. Бибцоде:1926ПхРв...28.1049С. дои:10.1103/ПхyсРев.28.1049. Архивирано из оригинала (ПДФ) 17. 12. 2008. г. 
• Сханкар, Р. (1994). Принциплес оф Qуантум Мецханицс (2нд изд.). ИСБН 978-0306447907. 
• Мартин, Б.Р.; Схаw, Г. (2008). Партицле Пхyсицс. Манцхестер Пхyсицс Сериес (3рд изд.). Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 978-0-470-03294-7. 
• тер Хаар, D. (1967). Тхе Олд Qуантум Тхеорy. Пергамон Пресс. стр. 167–183. ЛЦЦН 66029628. 
• Типлер, П. А.; Мосца, Г.; Фрееман (2008). Пхyсицс фор Сциентистс анд Енгинеерс – wитх Модерн Пхyсицс (6тх изд.). ИСБН 978-0-7167-8964-2. 
• Wеинберг, С. (2013), Лецтурес ин Qуантум Мецханицс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-1-107-02872-2 
• Wеинберг, С. (2002), Тхе Qуантум Тхеорy оф Фиелдс, 1, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-55001-7 
• Yоунг, Х. D.; Фреедман, Р. А. (2008). Пеарсон, ур. Сеарс' анд Земанскy'с Университy Пхyсицс (12тх изд.). Аддисон-Wеслеy. ИСБН 978-0-321-50130-1. 
• Wхеелер, Ј.А.; Зурек, W.Х. (1983). Qуантум Тхеорy анд Меасуремент. Принцетон Њ: Принцетон Университy Пресс. 
• Зеттили, Н. (2009). Qуантум Мецханицс: Цонцептс анд Апплицатионс (2нд изд.). ИСБН 978-0-470-02679-3. 
• Зwиебацх, Бартон (2009). А Фирст Цоурсе ин Стринг Тхеорy. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-88032-9. 
• Yонг-Ки Ким (2. 9. 2000). „Працтицал Атомиц Пхyсицс” (ПДФ). Натионал Институте оф Стандардс анд Тецхнологy: 1 (55 пагес). Архивирано из оригинала (ПДФ) 22. 7. 2011. г. Приступљено 17. 8. 2010. 
• Полкингхорне, Јохн (2002). Qуантум Тхеорy, А Верy Схорт Интродуцтион. Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-280252-1. 

Спољашње везе

• Quantum Mechanics for Engineers
• Spin wave functions NYU
• Identical Particles Revisited, Michael Fowler
• The Nature of Many-Electron Wavefunctions
• Quantum Mechanics and Quantum Computation at BerkeleyX Архивирано на сајту Wayback Machine (13. мај 2013)
• Einstein, The quantum theory of radiation