Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti
Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti (Teorema o ekstremnoj vrednosti) u matematičkoj analizi tvrdi da ako je funkcija f(x) neprekidna na zatvorenom intervalu [a,b], tada f(x) ima maksimalnu i minimalnu vrednost na tom intervalu najmanje jednom.
To jest, postoje brojevi c, i d u intervalu [a, b], takvi da za svako x u [a, b] važi
Slabija verzija ove teoreme je teorema o ograničneosti, koja tvrdi da je f(x), ako je neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b], ograničena na tom intervalu. To jest, postoje brojevi l i L, takvi da za svako x u [a, b] važi
Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti pojačava teoremu o ograničenosti tvrdnjom da ne samo da je funkcija ograničena, već da ima i najmanju gornju granicu kao maksimum, i najveću donju granicu kao minimum.
Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti se koristi u dokazu Rolove teoreme.
Dokaz teoreme
[uredi | uredi izvor]Navešćemo dokaz za maksimum, a dokaz za minimum je vrlo sličan. Takođe, treba imati u idu da je ceo dokaz izveden u kontektstu realnih brojeva.
Prvo dokazujemo teoremu o ograničenosti, koja je korak u dokazivanju Vajerštrasove teoreme o ekstremnoj vrednosti. Osnovni koraci u dokazu teoreme o ekstremnoj vrednosti su:
- Dokazati teoremu o ograničenosti.
- Naći niz, takav da njegova slika konvergira supremumu od f.
- Pokazati da postoji podniz koji konvergira tački unutar domena.
- Koristiti neprekidnost da se pokaže da slika niza konvergira supremumu.
Dokaz teoreme o ograničenosti
[uredi | uredi izvor]Pretpostavimo da f nije ograničena. Tada, po Arhimedovom svojstvu realnih brojeva, za svako m, postoji x unutar [a, b] takvo da f(x) > m. Specijalno, za svako k iz N, postoji takvo da f() > k. Ovo definiše niz . Kako je [a, b] ograničeno, po Bolcano-Vajerštrasovoj teoremi, postoji konvergentan podniz {} od {}. Kako je [a, b] zatvoren, {} konvergira nekom x u [a, b]. Kako je f(x) neprekidna na [a, b], znamo da f() konvergira ka f(x). Ali, f() > > k za svako k, što implicira da f() divergira ka beskonačnosti, što je kontradikcija. Sledi da je f(x) ograničena odozgo.
Dokaz Vajerštrasove teoreme o ekstremnoj vrednosti
[uredi | uredi izvor]Sada ćemo pokazati da f(x) ima maksimum unutar [a, b]. Prema teoremi o ograničenosti, f je ograničeno odogzo, postoji c najmanja gornja granica (supremum) od f(x). Neophodno je naći u [a, b] takvo da . Neka je n prirodan broj. Kako je c najmanja gornja granica, nije gornja granica za f(x). Stoga, postoji u [a, b] takvo da < f(). Ovo definiše niz {}. Kako je c gornja granica za f(x), < f() ≤ c za svako n. Stoga, {f()} konvergira ka c.
Bolcano-Vajerštrasova teorema nam govori da {} postoji u {} takvo da {} konvergira nekom i, kako je [a, b] zatvoren, je unutar [a, b]. Kako je f(x) neprekidna na [a, b], {f()} konvergira ka f(). Ali, {f()} je podniz {f()} koji konvergira ka c, pa . Tada je maksimum f(x).
Primeri
[uredi | uredi izvor]Sledeći primeri pokazuju zašto domen funkcije mora da bude zatvoren i ograničen.
Ograničen. f(x) = x definicana na nije ograničena odozgo.
Zatvoren. f(x) = x definisana na [0,1) nikad ne postiže svoju najmanju gornju granicu, 1.
Topološka formulacija
[uredi | uredi izvor]U opštoj topologiji, Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti potiče iz opšte činjenice da je kompaktnost očuvana pod neprekidnošću, i činjenice da je podskup realne prave kompaktan ako i samo ako je i zatvoren i ograničen.