Vektorski prostor

Vektorski prostor je matematička struktura koju čini skup vektora — objekata koje je moguće međusobno sabirati i množiti članovima određenog polja koji se u ovom kontekstu nazivaju skalarima. Operacije sabiranja vektora i množenja skalarom moraju zadovoljavati određena svojstva, odnosno aksiome vektorskog prostora (v. Definicija). Vektorski prostori se proučavaju u okviru linearne algebre.

Jednostavan, intuitivno poznat primer vektorskog prostora su geometrijski vektori kojima se mogu predstaviti fizičke veličine koje, pored intenziteta, imaju usmerenost kao što su sile u klasičnoj mehanici: dve sile koje deluju na isto telo se mogu sabrati, čime se dobija rezultujuća sila, a takođe sile se mogu množiti realnim brojevima čime se dobija nova vektorska veličina (nova sila ili neka druga veličina, recimo ubrzanje). Ipak, bitno je shvatiti da su vektori u kontekstu teorije vektorskih prostora daleko opštiji matematički objekti od pomenutih geometrijskih vektora. U kontekstu vektorskih prostora, definicija vektora je jednostavno — član vektorskog prostora. U tom smislu, može se govoriti o vektorskim prostorima polinoma (gde su polinomi odgovarajućeg stepena vektori), funkcija i sl. Osnovna struktura vektorskog prostora može se proširiti uvođenjem dodatnih svojstava, kao što je npr. skalarni proizvod, čime se omogućava uvođenje veze između algebre i geometrije.

Istorijski gledano, ideje koje su dovele do teorije vektorskih prostora mogu se sresti u proučavanju analitičke geometrije, matrica, sistema linearnih jednačina i geometrijskih vektora. Modernu, apstraktnu definiciju vektorskog prostora dao je Đuzepe Peano krajem 19. veka.

Vektorski prostori danas nalaze široku primenu u matematici, nauci i tehnici. U matematičkoj fizici, na primer, su jedna od centralnih tema zbog svog suštinskog značaja u kvantnoj mehanici; takođe, predstavljaju osnov za Furijeov razvoj koji se, između ostalog, koristi u tehnikama za kompresiju slika; i tako dalje.

Definicija

Neka su dati skup V sa jednom binarnom operacijom u odnosu na koju ima strukturu Abelove grupe (V, +) čije elemente zovemo vektorima, a neutralni element označavamo sa o i nazivamo nultim vektorom, i skup 𝔽 koji ima strukturu polja (𝔽, +, •) čije elemente nazivamo skalarima, a neutralne elemente u odnosu na dve operacije označavamo sa 0 i 1. Neka je dalje definisano preslikavanje, koje nazivamo množenje vektora skalarom, 𝔽 × V → V, koje svakom vektoru x ∈ V pridružuje vektor α'x ∈ V tako da važe aksiomi:

1. $\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x,\quad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\forall x\in V$ (zakon asocijacije);
2. $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y,\quad \forall \alpha \in \mathbb {F} ,\;\forall x,y\in V$ (zakon distribucije za sabiranje vektora);
3. $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x,\quad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\forall x\in V$ (zakon distribucije za sabiranje skalara);
4. $1x=x,\quad \forall x\in V,\;1\in \mathbb {F}$.

V se zove vektorski prostor nad poljem 𝔽 i označava se sa V(𝔽).

Dakle, vektorski prostor V(𝔽) je algebarska struktura sa jednom „unutrašnjom“ binarnom, komutativnom operacijom „+“ (što izražava uslov da je V Abelova grupa) i jednom „spoljnom“ operacijom (množenje vektora skalarom iz polja 𝔽). Pošto su članovi skupa V, uslovno rečeno, proizvoljni objekti, kao što je i 𝔽 proizvoljno polje, bitno je uočiti da operacija u grupi (V, +) u opštem slučaju ne mora biti „standardno“ sabiranje kako je definisano recimo na skupu realnih brojeva ili geometrijskih vektora, kao što ni množenje vektora skalarom ne mora biti standardno definisana operacija množenja geometrijskog vektora brojem — to mogu biti bilo koje operacije koje zadovoljavaju navedene uslove.

Kada je 𝔽 = ℝ (skup realnih brojeva), uobičajeno je da se V(ℝ) naziva realnim vektorskim prostorom, a kada je 𝔽 = ℂ (skup kompleksnih brojeva), tj. V(ℂ), kompleksnim vektorskim prostorom.

Množenje vektora a skalarom. Levo: vektor je pomnožen sa −1; desno: vektor je pomnožen sa 2.

Iz definicije vektorskog prostora direktno sledi nekoliko jednostavnih posledica koje olakšavaju računanja sa vektorima. Neka je dat prostor V(𝔽) — tada važi $\forall \xi ,\eta \in \mathbb {F} ,\;\forall x,y\in V,\;o\in V,\;0\in \mathbb {F} :$

1. $0x=o,\,$
2. $\xi o=o,\,$
3. $\xi \neq 0\,\land \,x\neq o\Rightarrow \xi x\neq o,$
4. $(-1)x=-x,\,$
5. $(-\xi )x=-(\xi x)=\xi (-x),\,$
6. $\xi (x-y)=\xi x-\xi y,\,$
7. $(\xi -\eta )x=\xi x-\eta x.\,$

Naravno, i u vektorskom prostoru važe sve posledice aksioma grupe, kao što su jedinstvenost neutralnog i inverznog elementa.

Primeri

Polje realnih brojeva

Skup realnih brojeva nad poljem realnih brojeva je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva ℝ(ℝ). Očigledno je da u ovom slučaju vektorski prostor predstavlja samo polje realnih brojeva, tj. ℝ(ℝ) = ℝ, što bi geometrijski moglo da se izrazi tvrdnjom da realna prava predstavlja vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Prostor brojnih kolona

Prostor brojnih kolona (ili aritmetički prostor) ℝⁿ(ℝ) je realni vektorski prostor ako su sabiranje vektora i množenje vektora skalarom definisani na sledeći način:

$x+y=\left({\begin{array}{c}\xi _{1}\\\xi _{2}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\eta _{1}\\\eta _{2}\\\vdots \\\eta _{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\xi _{1}+\eta _{1}\\\xi _{2}+\eta _{2}\\\vdots \\\xi _{n}+\eta _{n}\end{array}}\right),\quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall \xi ,\eta \in \mathbb {R} ,\;\forall n\in \mathbb {N} ;$

$\alpha x=\left({\begin{array}{c}\alpha \xi _{1}\\\alpha \xi _{2}\\\vdots \\\alpha \xi _{n}\end{array}}\right),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall \alpha \in \mathbb {R} ,\;\forall \xi \in \mathbb {R} ,\;\forall n\in \mathbb {N} .$

Očigledno je da se u slučaju ℝ¹ ovaj primer svodi na prethodni. Potpuno analogno važi i za prostor ℂⁿ.

Međutim, ako bi množenje vektora skalarom u istom prostoru bilo definisano, recimo, kao

$\alpha \left({\begin{array}{c}\xi _{1}\\\xi _{2}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right){\overset {\text{def}}{=}}\left({\begin{array}{c}\alpha \xi _{1}\\\xi _{2}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right),$

dati prostor ne bi bio vektorski jer

$(\alpha +\beta )\left({\begin{array}{c}\xi _{1}\\\xi _{2}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}(\alpha +\beta )\xi _{1}\\\xi _{2}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\alpha \xi _{1}+\beta \xi _{1}\\\xi _{2}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\alpha \xi _{1}\\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\beta \xi _{1}\\\xi _{2}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right),$

što ne zadovoljava aksiomu 3 (distributivnost za sabiranje skalara).

Prostor funkcija

Ako je X^𝔽 skup svih funkcija definisanih na proizvoljnom nepraznom skupu X sa vrednostima u polju 𝔽 i ako su definisani sabiranje funkcija

$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad \forall f,g\in X^{\mathbb {F} },\;\forall x\in X,$

i množenje funkcija skalarom

$(\alpha f)(x)=\alpha f(x),\quad \forall \alpha \in \mathbb {F} ,\;\forall f\in X^{\mathbb {F} },\;\forall x\in X,$

X^𝔽 je vektorski prostor funkcija nad poljem 𝔽.

Fazni prostor čestice

U klasičnoj mehanici stanje čestice je određeno vektorima položaja r = (x, y, z) i impulsa p = (p_x, p_y, p_z), u fizičkom prostoru, odnosno vektorom (x, y, z, p_x, p_y, p_z) u takozvanom faznom prostoru. Bitna karakteristika faznog prostora klasične čestice je ta da on u opštem slučaju nije vektorski prostor: zbir dva vektora stanja čestice ne mora biti, i često nije, neko novo moguće stanje čestice. U kvantnoj mehanici, pak, prostor stanja je uvek vektorski prostor (Hilbertov prostor) — superpozicija dva stanja sistema je uvek moguće novo stanje sistema.

Bazis i dimenzija

Kako obe operacije definisane na vektorskom prostoru daju novi vektor datog prostora, svaki podskup datog prostora generiše jedan širi skup koji je i dalje podskup početnog prostora. U posebnim slučajevima podskup može da generiše čitav prostor, pa se proučavanje prostora može svesti na proučavanje podskupa. Jedan takav podskup prostora se naziva bazis (ili baza) prostora.

Linearna kombinacija vektora

Vektor u je linearna kombinacija vektora v₁ i v₂ i zavisi od vrednosti koeficijenata x i y.

Za definisanje bazisa neophodno je uvesti pojmove linearne kombinacije i linearne nezavisnosti vektora.

Ako je X = {x₁, x₂, ...} podskup vektorskog prostora V(𝔽), linearna kombinacija vektora iz X je svaki vektor oblika

$y=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i},\;\alpha _{i}\in \mathbb {F} ,$

gde se elementi α_i zovu koeficijenti kombinacije. Skup svih linearnih kombinacija vektora iz X zove se lineal (ili linearni omotač) nad X i obeležava se sa L(X). Skup X može biti i beskonačan — bitno je samo da linearne kombinacije budu konačne. X je obrazujući skup ako je L(X) = V(𝔽), dakle ako se svaki vektor prostora može predstaviti linearnom kombinacijom vektora iz podskupa X.

Skup X je linearno nezavisan ako za sve linearne kombinacije iz L(X) važi

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}=o\Rightarrow \alpha _{i}=0,\;\forall i.$

U protivnom, tj. ako postoji linearna kombinacija iz L(X) koja je jednaka nultom vektoru a da je pritom bar jedan koeficijent različit od 0, X je linearno zavisan skup.

Neke od bitnih posledica iznete definicije su:

1. Prazan skup vektora je linearno nezavisan.
2. Ako skup vektora sadrži nulti vektor, onda je dati skup linearno zavisan.
3. Ako su dva nenulta vektora linearno zavisni, onda su kolinearni.
4. Podskup linearno nezavisnog skupa je i sam linearno nezavisan.

Posebno se izdvaja sledeća posledica:

• Skup X nenultih vektora je linearno zavisan ako i samo ako sadrži bar jedan vektor koji se može izraziti kao linearna kombinacija ostalih vektora iz datog skupa;
• Skup vektora X je linearno nezavisan ako i samo ako je reprezetnacija svakog vektora iz lineala nad datim skupom u obliku linearne kombinacije jedinstvena.

Primeri

Dva nenulta nekolinearna vektora u ravni su linearno nezavisni i generišu datu ravan. Međutim, tri vektora u ravni su linearno zavisni, a generišu ravan ukoliko nisu svi kolinearni. Iz ovog primera se vidi nezavisnost osobine generativnosti i linearne nezavisnosti.

U prostoru polinoma P_n(𝔽), skup vektora $\{x_{0}(t)=1,x_{1}(t)=t,x_{2}(t)=t^{2},\ldots ,x_{n-1}(t)=t^{n-1}\}$ je linearno nezavisan jer iz identiteta $\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}=0$ sledi α_i = 0 za svako i. Pri tome su svi polinomi stepena manjeg od n linearna kombinacija ovih vektora pa je dati skup obrazujući za prostor P_n(𝔽).

Baza

Glavni članak: Baza (linearna algebra)

Vektori v₁ i v₂ obrazuju ravan i linearno su nezavisni. Svaka od raličitih kombinacija ovih vektora je jedan bazis u ravni, a vektor u je moguće izraziti kao linearnu kombinaciju bazisnih vektora.

Iz primera sa linearno nezavisnim vektorima u ravni može se naslutiti da maksimalan broj linearno nezavisnih vektora u prostoru odgovoara onome što se u geometriji naziva dimenzijom. Pojam bazisa omogućava da se geometrijski koncept dimenzionalnosti uopšti u teoriji vektorskih prostora.

Bazis vektorskog prostora V je svaki njegov linearno nezavisan i obrazujući podskup. U svakom vektorskom prostoru postoji kontinuum (neprebrojivo beskonačno mnogo) bazisa, osim u slučaju prostora koji sadrži samo nulti vektor, ali svaki od njih ima isti broj elemenata. O tome govori sledeća teorema:

Kardinalnost jednog bazisa vektorskog prostora V je jednaka kardinalnosti bilo kog drugog bazisa prostora V.

Značaj bazisa kao obrazujućeg i linearno nezavisnog skupa, pa samim time i najmanjeg obrazujućeg skupa, je u tome što se svi ostali vektori u datom prostoru mogu predstaviti kao linearne kombinacije bazisnih vektora. To, kao što je rečeno, omogućava da se proučavanje prostora svede na proučavanje bazisa.

Neka je dat bazis B = (v₁, ..., v_n) u vektorskom prostoru V(𝔽) i neka je dat vektor x ∈ V(𝔽) koji je linearna kombinacija bazisnih vektora:

$x=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i}.$

Skalari ξ_i nazivaju se koordinatama vektora x u bazisu B. Svaki vektor u datom prostoru, dakle može imati različite koordinate u zavisnosti od izbora bazisa, međutim — svaki vektor ima jedinstvene koordinate u datom bazisu.

Bitna osobina prethodne definicije je da je bazis zadat kao uređeni skup vektora, a ne kao običan skup, jer različit raspored bazisnih vektora daje i različit raspored koordinata, pa u suprotnom koordinate u datom bazisu ne bi bile jednoznačno određene.

Dimenzija

Dimenzija vektorskog prostora V(𝔽) je kardinalnost bilo kog njegovog bazisa. Za prostore sa konačnom dimenzijom se kaže da su konačnodimenzionalni, a sa beskonačnom da su beskonačnodimenzionalni. Prostor koji se sastoji samo od nultog vektora je dimenzije nula.

Za dimenziju vektorskog prostora V koristi se oznaka dim V (ponekad i |V|). Kada se V može posmatrati kao vektorski prostor nad različitim poljima, koristi se oznaka dim_𝔽 V da bi se naglasilo na koje polje se misli. Kada se u oznaci vektorskog prostora naglašava da je on n-dimenzionalan piše se V_n(𝔽).

Linearna algebra uglavnom proučava konačnodimenzionalne prostore, dok se beskonačnodimenzionalnim pre svega bavi funkcionalna analiza jer se oni najčešće pojavljuju kao prostori funkcija.

Reprezentovanje

Kako se zadavanjem bazisa jednoznačno određuju koordinate svakog vektora u nekom prostoru, i kako su koordinate elementi polja nad kojim je prostor definisan, intuitivno se nameće ideja da svaki vektor može biti predstavljen nekim uređenim skupom odgovarajućih elemenata polja, tj. njegovim koordinatama. Kako bi se ovo predstavljanje formalno definisalo potrebno je uvesti pojam izomorfnih prostora.

Vektorski prostor V(𝔽) je izomorfan vektorskom prostoru V′(𝔽) ako postoji bijekcija f: V → V′ (preslikavanje 1-na-1 iz skupa V u skup V′) takva da važi

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y),\quad \forall x,y\in V,\;\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} .$

Bijekciju f nazivamo izomorfizmom. Izomorfnost dva prostora obeležavamo sa $V(\mathbb {F} )\cong V'(\mathbb {F} ).$

Pošto definisani izomorfizam uključuje obe operacije sa vektorima i linearnu kombinaciju originala preslikava u istu takvu linearnu kombinaciju likova, on je preslikavanje koje održava algebarsku strukturu prostora. Takođe, kako je u definiciju izomorfizma uključeno i polje nad kojim su prostori, izomorfnost je moguća samo među prostorima nad istim poljem. Dalje, kako je izomorfizam relacija ekvivalencije on definiše klase ekvivalencije nad vektorskim prostorima: pošto je izomorfizam bijekcija, sledi da prostori V i V′ moraju biti iste dimenzije, pa su svi vektorski prostori iste dimenzije i nad istim poljem izomorfni. Drugim rečima, pri zadatom polju dimenzija određuje vektorski prostor do na izomorfizam.

Konačno, uvodi se traženo predstavljanje vektora elementima polja:

Svaki vektorski prostor V_n(𝔽) izomorfan je prostoru brojnih kolona 𝔽ⁿ, odnosno postoji izomorfizam f: V_n(𝔽) → 𝔽ⁿ. Dati izomorfizam se naziva reprezentovanjem vektora iz V_n(𝔽) brojnim kolonama iz 𝔽ⁿ.

---

Dokaz:

Neka je B = (v₁, ..., v_n) bazis vektorskog prostora V(𝔽). Pošto se svaki vektor u datom prostoru može jednoznačno predstaviti kao linearna kombinacija bazisnih vektora $\textstyle x=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i},$ što se svodi na zadavanje uređenog skupa koordinata ξ_i, ostvarena je bijekcija $f(x)=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})^{\mathsf {T}}.$

Neka je $\textstyle y=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}v_{i}\in V_{n}(\mathbb {F} ),$ pa je $f(y)=(\eta _{1},\ldots ,\eta _{n})^{\mathsf {T}}.$

Tada je

$\alpha x+\beta y=\alpha \sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i}+\beta \sum _{i=1}^{n}\eta _{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\alpha \xi _{i}+\beta \eta _{i})v_{i},$

pa je

$f(\alpha x+\beta y)=\left({\begin{array}{c}\alpha \xi _{1}+\beta \eta _{1}\\\vdots \\\alpha \xi _{n}+\beta \eta _{n}\end{array}}\right)=\alpha \left({\begin{array}{c}\xi _{1}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right)+\beta \left({\begin{array}{c}\eta _{1}\\\vdots \\\eta _{n}\end{array}}\right)=\alpha f(x)+\beta f(y),$

čime je pokazano da je bijekcija f traženi izomorfizam.

---

Teorema o reprezentovanju je od velike koristi jer otvara put da se operacije nad apstraktim objektima, kakvi su vektori, svedu na operacije sa skalarima čime se omogućava izračunavanje konkretnih veličina. Tako, recimo, u slučaju geometrijskih vektora koji se geometrijski mogu sabirati metodom paralelograma, primenjujući reprezentovanje vektora možemo definisati algebarsku metodu sabiranja vektora koja daje konkretnu veličinu izraženu brojevima.

Primeri

Na realnoj pravoj svaki realni broj je vektor. Svaki nenulti realni broj je jedan bazis u ovom prostoru, a dimenzija prostora je 1.

u n-dimenzionalnom aritmetičkom prostoru 𝔽ⁿ, tzv. apsolutni ili standardni bazis je skup vektora

$\{e_{i}=\left({\begin{array}{c}\delta _{1i}\\\vdots \\\delta _{ni}\end{array}}\right)\mid i=1,\ldots ,n\},\quad \delta _{ji}=\left\{{\begin{array}{l}1,\;i=j\\0,\;i\neq j\end{array}}\right..$

U prostoru matrica 𝔽^mn (matrice sa m vrsta i n kolona) apsolutni (Vajlov) bazis je skup matrica $\{E_{ij}\mid i=1,\ldots ,m;j=1,\ldots ,n\},$ gde su E_ij matrice čiji je ij-ti element 1, a ostali 0. Dimenzija ovog prostora je mn (m puta n).

Prostor kompleksnih brojeva nad poljem kompleksnih brojeva, ℂ(ℂ), je jednodimenzionalan prostor jer svaki nenulti kompleksan broj predstavlja jedan bazis. Međutim, prostor kompleksnih brojeva nad poljem realnih brojeva, ℂ(ℝ), je dvodimenzionalan a jedan od mogućih bazisa je uređeni skup (1, i).

Unitarni i euklidski prostor

U definiciji vektorskog prostora nema metričkih pojmova kao što su dužina, rastojanje i ugao, pa je u uspostavljanju veze između algebre i geometrije i generalizovanju pomenutih geometrijskih pojmova neophodno u vektorski prostor uvesti dodatnu strukturu. To se postiže uvođenjem skalarnog proizvoda u vektorskim prostorima nad realnim i kompleksim poljem.

Skalarni proizvod

Skalarni proizvod u prostoru V(𝔽) je preslikavanje koje svakom uređenom paru vektora x₁ i x₂ iz V dodeljuje skalar iz polja 𝔽 — ⟨-,-⟩: V × V → 𝔽 — tako da važe sledeće aksiome:

1. $\langle x_{1},x_{2}\rangle =\langle x_{2},x_{1}\rangle ^{*},\quad \forall x_{1},x_{2}\in V$ (ermitska simetrija);
2. $\langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha ^{*}\langle x_{1},y\rangle +\beta ^{*}\langle x_{2},y\rangle ,\quad \forall x_{1},x_{2},y\in V,\;\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F}$ (antilinearnost po prvom faktoru [vektoru]);
3. $\langle x,x\rangle \geq 0,\quad \forall x\in V,\;\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0$ (stroga pozitivnost ili pozitivna definitnost).

Vektorski prostor nad kompleksnim poljem, opremljen skalarnim proizvodom naziva se unitarnim prostorom, a ukoliko je nad realnim poljem euklidskim prostorom.

Aksiome (1) i (2) impliciraju linearnost po jednom, a antilinearnost po drugom faktoru. Takva preslikavanja nazivaju se ermitskim konjugovano bilinearnim ili ermitskim seskvilinearnim formama (lat. sesqui — jedan i po). U slučaju euklidskog prostora, konjugacija se može izostaviti pa skalarni proizvod postaje simetrična bilinearna (linearna po oba faktora) forma. Takođe, ermitska simetrija povlači posledicu da je ⟨x, x⟩ realan broj, što daje smisao osobini stroge pozitivnosti (pošto je polje kompleksnih brojeva neuređeno, u njemu se ne može se govoriti o pozitivnosti, odnosno negativnosti brojeva).

U istom prostoru moguće je definisati razne skalarne proizvode i tako dobiti različite unitarne (odnosno euklidske) prostore.

Norma, distanca i ugao

Pomoću skalarnog proizvoda definišu se pojmovi dužine, rastojanja i ugla.

Norma (dužina) vektora x ∈ V, u oznaci $\|x\|$, je definisana kao

$\|x\|\,{\overset {\text{def}}{=}}{\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$

Kvadratna funkcija

$\|{\text{--}}\|^{2}:V\to \mathbb {R} ,$

naziva se metrikom (metričkom funkcijom ili funkcijom razdaljine) prostora.

Rastojanje (distanca) vektora x₁ i x₂ iz prostora V(𝔽) je definisano kao norma njihove razlike:

$d(x_{1},x_{2})\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\|x_{1}-x_{2}\|.$

Kosinus ugla φ između vektora x₁ i x₂ definisan je izrazom

$\cos \varphi \,{\overset {\text{def}}{=}}{\frac {\langle x_{1},x_{2}\rangle }{\|x_{1}\|\|x_{2}\|}},$

pa je neorijentisani ugao φ definisan sa

$\varphi \,{\overset {\text{def}}{=}}\arccos {\frac {\langle x_{1},x_{2}\rangle }{\|x_{1}\|\|x_{2}\|}}.$

Ukoliko su x₁ i x₂ linearno nezavisni vektori i ako obrazuju orijentisanu ravan L(x₁, x₂), ugao iz otvorenog intervala (−π, π) između njih je orijentisan, a smer orijentacije je jednak smeru orijentacije ravni. Ukoliko su vektori linearno zavisni (ugao je 0 ili π) neorijentisani ugao je po definiciji jednak orijentisanom. Očigledno, bez orijentacije ravni nije definisana ni orijentacija ugla između vektora koji obrazuju tu ravan.

Ako je φ = π/2, (prav ugao) tj. ako je ⟨x₁, x₂⟩ = 0, vektori x₁ i x₂ su ortogonalni. Vektori x₁ i x₂ iz skupa V\{o} za koje je |cos φ| = 1 su linearno zavisni, i pritom važi:

• $\cos \varphi =1\,\Leftrightarrow \,x_{1}=\lambda x_{2},\quad \lambda \in \mathbb {R} ,\,\lambda >0$ (isto orijentisani vektori);
• $\cos \varphi =-1\,\Leftrightarrow \,x_{1}=\lambda x_{2},\quad \lambda \in \mathbb {R} ,\,\lambda <0$ (suprotno orijentisani vektori).

Metrički tenzor

Glavni članak: Metrički tenzor

Osobina (2) ukazije na to da je skalarni proizvod moguće zadati korišćenjem bazisa u prostoru. Naime, kako je svaki vektor u prostoru za fiksirani bazis moguće zadati kao linearnu kombinaciju bazisnih vektora, osobina seskvilinearnosti omogućava da se skalarni proizvod dva proizvoljna vektora zada kao skalarni proizvod bazisnih vektora pomnožen koordinatama dva vektora, s tim što u slučaju unitarnog prostora koordinate prvog vektora moraju biti konjugovane.

Neka je dat bazis B = {v₁, ..., v_n} i neka je g_ij = ⟨v_i, v_j⟩ skalarni proizvod i-tog i j-tog bazisnog vektora. Skalarni proizvod vektora $\textstyle x=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i}$ i $\textstyle y=\sum _{j=1}^{n}\eta _{j}v_{j}$ se tada može izraziti kao $\textstyle \langle x,y\rangle =\sum _{i,j=1}^{n}\xi _{i}^{*}g_{ij}\eta _{j}.$ Ukoliko vektore x i y reprezentujemo brojnim kolonama, a skalarni proizvod bazisnih vektora predstavimo Gramovom matricom G čiji su ij-ti elementi skalarni proizvodi g_ij, skalarni proizvod datih vektora možemo predstaviti jednostavnije u matričnom zapisu kao $\langle x,y\rangle =x^{\dagger }Gy.$

Matrica G je pri zadatom bazisu jednoznačno određena skalarnim proizvodom i naziva se metričkim tenzorom (često i samo metrikom) — drugačije rečeno, metrički tenzor je Gramova matrica bazisnih vektora. Sa druge strane, može se reći i da metrika jednoznačno određuje skalarni proizvod u zadatom bazisu, a kako skalarni proizvod potpuno određuje geometrijske pojmove dužine, rastojanja i ugla, sledi da se zadavanjem metrike prostora u potpunosti određuju njegova geometrijska svojstva. U fizici je ovo svojstvo metričkog tenzora zgodno utoliko što omogućava da se sva geometrijska svojstva nekog prostora okarakterišu jednom veličinom što može značajno da uprosti jednačine. Tako recimo u opštoj teoriji relativnosti, Ajnštajnove jednačine polja na jednostavan način izražavaju vezu između mehaničkih svojstava materije (izraženih tenzorom energije-impulsa) i geometrijskih svojstava prostor-vremena (izraženih Ajnštajnovim tenzorom koji je funkcija metričkog tenzora) u kome se ta materija nalazi (uz napomenu da je prostor-vreme u opštoj relativnosti opštija struktura od vektorskog prostora — tzv. mnogostrukost).

Da bi mogla biti metrika, matrica G mora da zadovoljava određena svojstva koja slede iz aksioma skalarnog proizvoda. Iz prve aksiome sledi da G mora biti ermitska matrica, tj. da mora biti zadovoljen uslov $G=G^{\dagger }$, a iz treće da ona mora biti pozitivno definitna. Treba istaći da osobina (3), uopšteno gledano, nije nužna u definiciji skalarnog proizvoda — ona se ponekad i izostavlja. Potreba za tim se javlja recimo u fizici gde se često sreću indefinitne metrike, tj. skalarni proizvod iz aksiome (3) može biti negativan broj, pa i nula za nenulti vektor. U svakom slučaju, kako su bazisni vektori linearno nezavisni, G mora biti nesingularna matrica, odnosno njena determinanta mora biti različita od nule.

Primeri

U unitarnom prostoru ℂⁿ definisan je standardni skalarni proizvod u standardnom bazisu čija je metrika jedinična matrica, odnosno Kronekerova delta ako se ona shvati kao tenzor. Ako su dati vektori $x=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})^{\mathsf {T}}$ i $y=(\eta _{1},\ldots ,\eta _{n})^{\mathsf {T}}$, njihov standardni skalarni proizvod je

$\langle x,y\rangle =x^{\dagger }Iy=x^{\dagger }y=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{*}\eta _{i}.$

U prostoru matrica ℂ^nm standardni skalarni proizvod definisan je kao $\langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} A^{\dagger }B.$

Ako je V unitarni prostor neprekidnih funkcija na intervalu X = [a, b] i ako su f i g dva vektora iz tog prostora. Skalarni proizvod u tom prostoru definisan je kao

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)^{*}g(x)\rho (x)\,dx,$

gde je ρ(x) težinska funkcija pozitivna na intervalu [a, b], odnosno metrika datog prostora. U slučaju kada je metrika jedinična na čitavom intervalu dobija se standardni skalarni proizvod $\textstyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)^{*}g(x)\,dx.$

U specijalnoj teoriji relativnosti koristi se prostor Minkovskog — četvorodimenzionalni pseudoeuklidski prostor ℝ⁴. Pridev „pseudoeuklidski“ ukazuje na to da ovaj prostor koristi indefinitnu metriku, tj. skalarni proizvod koji ne zadovoljava aksiomu (3). Metrika ovog prostora je η = diag(1, −1, −1, −1), a vektor se reprezentuje koordinatama x = (x₀, x₁, x₂, x₃), gde je x₀ = ct vremenska koordinata događaja (c je brzina svetlosti u vakuumu), a ostale koordinate su prostorne. Iz ovoga sledi da skalarni proizvod iz aksiome (3) može biti: pozitivan, i tada se govori o vremenskom vektoru (kada događaje deli vremenski interval); negativan, tj. radi se o prostornom vektoru (kada događaje deli samo prostorni interval); ili jednak nuli pa je reč o svetlosnom ili izotropnom vektoru (ovakve vektore opisuju zraci svetlosti koji polaze iz koordinatnog početka čineći tzv. svetlosni konus u prostor-vremenu). Neophodnost ovakve metrike proizilazi iz zahteva za očuvanjem kauzalnosti fizičkih događaja.

Ortonormiranost

Glavni članak: Ortonormiranost

Ako se pojam ortogonalnosti intuitivno definiše preko ugla — dva vektora su ortogonalni ako su pod pravim uglom — jasno je da to svojstvo govori o skalarnom proizvodu dva vektora. Slično se može reći i za vektore jedinične dužine jer je dužina (norma) vektora definisana preko skalarnog proizvoda.

Neka je dat skup vektora X = {x₁, ..., x_n} koji ne sadrži nulti vektor iz unitarnog prostora V. Skup X je ortogonalan ako važi $\langle x_{i},x_{j}\rangle =0$ za svako i ≠ j, tj. ako je skalarni proizvod svakog para različitih vektora iz skupa jednak nuli.

Vektor je x normiran ako je $\|x\|=1.$ Svaki nenulti vektor se može normirati tako što se podeli sopstvenom normom: $\textstyle {\frac {x}{\|x\|}}.$ Skup X je normiran ako je svaki vektor iz tog skupa normiran. Skup koji je ortogonalan i normiran je ortonormiran, odnosno ako za sve vektore iz skupa važi

$\langle x_{i},x_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

Članovi ortonormiranog skupa zovu se ortovi ili jedinični vektori. U svakom unitarnom (ili euklidskom) prostoru nulti vektor je jedini koji je ortogonalan na sve vektore prostora, pa i na samog sebe.

Ortonormirani skupovi imaju dve važne osobine:

• Ortonormirani skup je kompletan samo ako je jedino nulti vektor ortogonalan na sve elemente skupa.
• Svaki ortogonalan skup vektora je linearno nezavisan.

Pošto ortonormiranost povlači linearnu nezavisnost, svaki obrazujući ortonormirani skup vektora u prostoru je jedan bazis tog prostora, tzv. ortonormirani bazis u odnosu na dati skalarni proizvod. Svaki unitarni prostor ima ortonormirani bazis. Može se primetiti da je svaki ortonormirani skup čija je kardinalnost jednaka dimenziji prostora u stvari jedan bazis tog prostora, što neposredno sledi iz definicije bazisa i dimenzije prostora.

Ortonormirane baze imaju svojstvo da im je Gramova matrica uvek jedinična, što ima posledicu da je formula za skalarni proizvod u takvom bazisu ista kao i za standardni skalarni proizvod u unitarnom prostoru, tj. odgovara već navedenim primerima sa metrikom jednakom jediničnoj matrici.

Beselova i Koši—Švarcova nejednakost

Glavni članci: Beselova nejednakost i Koši—Švarcova nejednakost

Skalarni proizvod i ortonormirani bazisi imaju veliki značaj i široku primenu koja počiva na nekoliko osobina koje slede.

Neka je X = {x₁, ..., x_n} konačan ortonormirani skup vektora u unitarnom prostoru V. Za proizvoljan vektor y iz V važi:

• Beselova nejednakost

$\sum _{i=1}^{n}|\langle x_{i},y\rangle |^{2}\leq \|y\|^{2},\quad x_{i}\in X;$

• Vektor $\textstyle y'=y-\sum _{i=1}^{n}\langle x_{i},y\rangle x_{i}$ je ortogonalan na svaki vektor iz skupa X.

Iz Beselove nejednakosti lako je izvesti Koši—Švarcovu (KŠ) nejednakost za proizvoljne vektore x i y iz unitarnog prostora V:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|.$

U prostoru ℂⁿ KŠ nejednakost se može izraziti i kao

$|\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{*}\eta _{i}|^{2}\leq \sum _{i=1}^{n}|\xi _{i}|^{2}\sum _{i=1}^{n}|\eta _{i}|^{2},$

za proizvoljne vektore $x=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})^{\mathsf {T}}$ i $y=(\eta _{1},\ldots ,\eta _{n})^{\mathsf {T}}$ iz datog prostora. Slično važi i za slučaj kompleksnih neprekidnih funkcija, s tim što se suma mora zameniti integralom. U oba slučaja, ako se radi o realnom vektorskom prostoru konjugacija se može izostaviti.

Jedna od posledica Koši—Švarcove nejednakosti je i nejednakost trougla:

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Poseban slučaj nejednakosti trougla, kada su vektori x i y ortogonalni, je Pitagorina teorema:

$\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}.$

Kada skup X predstavlja ortonormirani bazis unitarnog (ili euklidskog) prostora V dolazi se do sledećih važnih posledica:

• Svaki vektor x iz prostora V može se razviti u Furijeov red

$x=\sum _{i=1}^{n}\langle x_{i},x\rangle x_{i},$

gde su skalarni proizvodi $\langle x_{i},x\rangle$ tzv. Furijeovi koeficijenti, a vektor $\langle x_{i},x\rangle x_{i}$ se naziva projekcijom vektora x na ort x_i;

• Za svaka dva vektora x i y važi Parsevalova jednakost

$\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle x,x_{i}\rangle \langle x_{i},y\rangle ;$

• Beselova nejednakost postaje jednakost.

Furijeov razvoj govori o tome da se koordinate vektora u ortonormiranom bazisu mogu izraziti preko skalarnog proizvoda — Furijeovim koeficijentima. Parsevalova i Beselova jednakost pokazuju da u ortonormiranim bazisima svaki skalarni proizvod izgleda kao standardni skalarni proizvod u aritmetičkom prostoru, tj. kao u pomenutom primeru skalarnog proizvoda u unitarnom prostoru ℂⁿ sa „jediničnom“ metrikom.

U teorijskoj fizici, ove osobine skalarnog proizvoda u ortonormiranom bazisu imaju suštinski značaj. U kvantnoj mehanici, Hajzenbergove relacije neodređenosti su posledica Koši—Švarcove nejednakosti. U kvantnoj teoriji polja pomenute posledice su značajne zbog Fajnmanovog integrala po trajektorijama. Naime, verovatnoća prelaza sistema iz stanja x u stanje y (što su vektori u Hilbertovom prostoru) je u stvari kvadrat skalarnog proizvoda $|\langle y,x\rangle |^{2}$, gde se sam skalarni proizvod naziva (kompleksnom) amplitudom verovatnoće prelaza. Ukoliko se u Parsevalovoj jednakosti konjugovani Furijeov koeficijent $\langle x,x_{i}\rangle$ izrazi preko nove, njemu odgovarajuće, Parsevalove jednakosti i ako se taj postupak primeni rekurzivno m puta dobija se da je amplituda verovatnoće prelaza

$\langle y,x\rangle =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}}^{n}\langle y,y_{i_{m}}\rangle \langle y_{i_{m}},y_{i_{m-1}}\rangle \cdots \langle y_{i_{2}},y_{i_{1}}\rangle \langle y_{i_{1}},x\rangle .$

Iz ovoga se vidi da je amplituda verovatnoće prelaza iz x u y suma proizvoda amplituda za niz prelaza po međustanjima $y_{i_{m}}$. Svaki takav niz prelaza po međustanjima je jedna putanja (trajektorija) u Hilbertovom prostoru. Drugačije rečeno, amplituda verovatnoće je superpozicija (suma) svih mogućih putanja čestice, čak i onih koje bi za slučaj klasične čestice bile besmislene, recimo kada bi čestica otišla do kraja univerzuma i vratila se. Ovaj nalaz predstavlja osnovu za izračunavanje verovatnoće događaja u beskonačnodimenzionalnom slučaju preko tzv. integrala po trajektorijama gde se vrši integracija po svim mogućim, na poseban način otežinjenim, putanjama.

Gram—Šmitov postupak ortonormalizacije

Glavni članak: Gram—Šmitov postupak ortonormalizacije

Zbog očitog teorijskog i praktičnog značaja koji ortonormirani bazisi imaju, postavlja se pitanje da li se i kako, polazeći od nekog proizvoljnog bazisa, može konstruisati ortonormirani bazis. Odgovor je potvrdan, a način da se to postigne je Gram—Šmitov postupak ortonormalizacije koji nudi induktivnu šemu za konstrukciju. Suština postupka se sastoji u tome da se ortovi novog bazisa konstruišu kao normirane linearne kombinacije vektora iz proizvoljnog bazisa.

Neka je B = (b₁, ..., b_n) proizvoljan bazis prostora V i neka je E = (e₁, ..., e_n) ortonormirani bazis koji treba konstruisati. Kako je vektor b₁ sigurno nenulti, jer su bazisni vektori linearno nezavisni, prvi ort se dobija normiranjem tog vektora, čime je on ujedno i linearna kombinacija vektora b₁:

$e_{1}={\frac {b_{1}}{\|b_{1}\|}}.$

Neka je vektor $x=b_{2}-\alpha _{1}e_{1},$ gde koeficijent α₁ treba odrediti tako da x bude ortogonalan na e₁, tj. skalarni proizvod treba da bude $\langle e_{1},x\rangle =0.$ Zamenom linearne kombinacije kojoj je x jednak, i na osnovu aksiome (2) iz definicije skalarnog proizvoda (linearnosti po drugom faktoru) i činjenice da je skalarni proizvod jediničnog vektora sa samim sobom uvek 1, dobija se

$\langle e_{1},x\rangle =\langle e_{1},b_{2}-\alpha _{1}e_{1}\rangle =\langle e_{1},b_{2}\rangle -\alpha _{1}.$

Jasno je da zbog uslova ortogonalnosti mora biti $\alpha _{1}=\langle e_{1},b_{2}\rangle .$ Ostaje samo da se x normira čime se dobija drugi ort:

$e_{2}={\frac {x}{\|x\|}}.$

Ponavljanjem ovog postupka za sledeće vektore e_i dobija se traženi algoritam. Ako je konstruisano k ortova, ort e_k+1 dobija se normiranjem vektora

$x=b_{k+1}-\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}e_{i},$

gde su koeficijenti

$\alpha _{i}=\langle e_{i},b_{k+1}\rangle .$

Primer

U prostoru polinoma stepena manjeg od 3, P₃(ℝ), definisanih na intervalu (−1, 1), sa skalarnim proizvodom $\textstyle \langle x(t),y(t)\rangle =\int _{-1}^{1}x(t)y(t)\,dt$ i bazisom $\textstyle \{1,t,t^{2}\},$ Gram—Šmitovim postupkom dobija se ortonormirani bazis $\textstyle \{{\sqrt {1/2}},{\sqrt {3/2}}t,{\sqrt {5/8}}(3t^{2}-1)\}.$ Elementi ovog ortonormiranog bazisa su normirani Ležandrovi polinomi.

Potprostori

U geometriji, intuitivno se uočava da neki prostor, recimo euklidski trodimenzionalni, može sadržati objekte koji su i sami za sebe prostori — prave, ravni itd. U teoriji vektorskih prostora za generalizaciju takvih objekata se uvodi pojam potprostora.

Svaki neprazan podskup W prostora V(𝔽) je potprostor ako zajedno sa svakim parom vektora koje sadrži, sadrži i sve njihove linearne kombinacije. Drugim rečima, potprostor mora biti zatvoren za operacije definisane u prostoru V. Ovo svojstvo podskupa W obeležava se sa W < V. U postupku dokazivanja da je neki podskup potprostor ne moraju se proveravati sve aksiome vektorskog prostora odnosno Abelove grupe — asocijativnost i komutativnost sigurno važe, pa je potrebno je proveriti samo zatvorenost za sabiranje vektora. U tom smislu sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

• W je potprostor V;
• Ako je W neprazan podskup V:

$\forall u,v\in W\Rightarrow u+w\in W;\quad \forall u\in W,\;\forall \alpha \in \mathbb {F} \Rightarrow \alpha u\in W$ (W je zatvoren u odnosu na operacije u V);

• Ako je W neprazan podskup V:

$\alpha u+\beta v\in W,\quad \forall u,v\in W,\;\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} .$

Svaki prostor ima dva trivijalna potprostora: podskup koji sadrži samo nulti vektor i samog sebe (ovo sledi direktno iz definicije podskupa). Pritom, svaki potprostor mora sadržati nulti vektor. Očigledno, dimenzija potprostora je manja ili jednaka dimenziji prostora. Takođe, svaki n-dimenzionalni prostor, pored trivijalnih, ima i potprostore svih dimenzija manjih od n. Definicja dimenzije prostora važi, analogno, i u slučaju potprostora — to je kardinalnost svakog njegovog linearno nezavisnog obrazujućeg podskupa.

Operacije sa potprostorima

Pošto su potprostori (pod)skupovi, na njima se mogu vršiti standardne operacije na skupovima. Time se dobijaju novi podskupovi početnog vektorskog prostora, ali ti novi skupovi ne moraju nužno i sami biti potprostori jer operacije sa skupovima nisu, u opštem slučaju, usklađene sa operacijama u vektorskom prostoru, tačnije novi podskupovi ne moraju biti zatvoreni za linearne kombinacije. Ipak, uz određene restrikcije mogu se definisati operacije sa potprostorima koje su analogne skupovnim a čiji su rezultati novi potprostori.

Presek

Ispostavlja se da je standardna operacija preseka skupova usklađena sa strukturom vektorskog prostora, pa je presek proizvoljnog broja potprostora takođe potprostor:

$W=\bigcap _{i}W_{i}\Rightarrow W<V,\quad \forall W_{i}<V.$

Pošto svaki potprostor W_i sadrži nulti vektor, mora ga sadržati i njihov presek. Ako dva vektora pripadaju preseku, onda i sve njihove linearne kombinacije moraju pripadati tom preseku jer svaki od potprostora W_i, po definiciji preseka i svojstva zatvorenosti za linearne kombinacije, mora sadržati kako te vektore tako i sve njihove linearne kombinacije, iz čega sledi gornje tvrđenje.

Sabiranje

Zbir potprostora definisan je preko operacije unije skupova. Međutim, za razliku od preseka, unija potprostora nije u opštem slučaju novi potprostor: ukoliko se recimo u nekoj ravni izaberu dve prave, njihova unija očigledno ne sadrži linearne kombinacije vektora koje pripadaju tim pravama. Zbog toga se u definiciji sume potprostora korisni nešto dopunjena operacija unije.

Suma potprostora W₁ i W₂ je lineal nad njihovom unijom:

$W_{1}+W_{2}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,L(W_{1}\cup W_{2}).$

Ukoliko je presek dva potprostora prazan skup, njihov zbir se naziva direktnom (unutrašnjom) sumom i označava se sa $W_{1}\oplus W_{2}.$ Potprostori W₁ i W₂ čine razlaganje (dekompoziciju) prostora V ukoliko važi

$W_{1}\oplus W_{2}=V.$

Vektor y iz prostora W₁ + W₂ je oblika

$y=x_{1}+x_{2},\quad x_{1}\in W_{1},\,x_{2}\in W_{2}.$

Kada se radi o direktnoj sumi, ovakvo razlaganje vektora y je jedinstveno, tj. komponente x₁ i x₂ su jednoznačno određene.

Suma potprostora je asocijativna operacija pa se pojmovi sume, dekompozicije i direktne sume mogu uopštiti na operaciju sa više potprostora, slično uobičajenom pojmu sume:

$\sum _{i}^{n}W_{i},$ odnosno $\bigoplus _{i}^{n}W_{i}.$

Budući da su potprostori i sami kompletni prostori, prethodno definisana operacija direktne sume može se uopštiti i na prostore. Neka su V₁ i V₂ vektorski prostori nad istim poljem. Spoljašnja direktna suma tih prostora je vektorski prostor $V_{1}\oplus V_{2}$, a njegovi elementi su vektori (x, y), gde vektor x pripada prostoru V₁ a vektor y prostoru V₂. Pritom je linearna kombinacija vektora iz sumiranog prostora definisana kao

$\alpha (x,y)+\beta (x',y')=(\alpha x+\beta x',\alpha y+\beta y'),\quad \forall (x,y),(x',y')\in V_{1}\oplus V_{2},\,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} .$

Skupovi svih vektora oblika (x, 0), tj. (0, y) su potprostori u $V_{1}\oplus V_{2}$ i obeležavaju se sa ${\tilde {V_{1}}}$ i ${\tilde {V_{2}}}$. Potprostori ${\tilde {V_{1}}}$ i ${\tilde {V_{2}}}$ su izomorfni prostorima V₁ i V₂, a takođe je očigledno je i da važi $V_{1}\oplus V_{2}={\tilde {V_{1}}}\oplus {\tilde {V_{2}}},$ pa postaje jasno da između unutrašnje i spoljašnje direktne sume i ne postoji suštinska razlika.

Dimenzija sume potprostora odgovara pojmu kardinalnosti unije dva podskupa, o čemu govori sledeća teorema (tzv. Grasmanova formula):

$\dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2}),\quad \forall W_{1},W_{2}<V.$

Posledica Grasmanove formule je sledeće svojstvo direktne sume

$W_{1}\oplus W_{2}=V\Longleftrightarrow \dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim V.$

Ako je prostor V dekomponovan kao

$V=\bigoplus _{i}^{n}W_{i}$

i ako su $(w_{1}^{1},\ldots ,w_{k_{1}}^{1}),\ldots ,(w_{1}^{n},\ldots ,w_{k_{n}}^{n})$ bazisi potprostora $W_{1},\ldots ,W_{n},$ tada je u prostoru V moguće obrazovati bazis adaptiran na dekompoziciju: $(w_{1}^{1},\ldots ,w_{k_{1}}^{1},\ldots ,w_{1}^{n},\ldots ,w_{k_{n}}^{n}).$

Direktni komplement

Standardni skupovni komplement takođe nije operacija koja je usklađena sa strukturom vektorskog prostora jer komplement potprostora sigurno ne sadrži nulti vektor pa time ne može biti ni potprostor. Zbog toga se uvodi pojam direktnog komplementa.

Za svaki potprostor W vektorskog prostora V postoji potprostor $W^{\complement }<V,$ takav da važi

$W\oplus W^{\complement }=V.$

Potprostor $W^{\complement }$ naziva se direktnim komplementom potprostora W.

Za raliku od običnog komplementa, traži se onaj podskup prostora koji sa potprostorom W nema drugog preseka osim nultog vektora i u direktnom zbiru daje početni prostor. Može se primetiti da je teorema o direktnom komplementu samo drugačiji način da se definiše direktna suma (samo) dva potprostora. Direktni komplement nije jednoznačno određen osim u slučaju kada je W jedan od dva trivijalna potprostora prostora V. Ukoliko se kao primer uzme trodimenzionalni euklidski prostor, i za potprostor jedna ravan koja prolazi kroz koordinatni početak, tada je direktni komplement te ravni svaka prava koja joj ne pripada i prolazi kroz koordinatni početak.

Što se tiče dimenzije direktnog komplementa, Grasmanova formula garantuje da je ona jednaka $\dim V-\dim W.$

Projekciona teorema

U slučaju prostora opremljenog skalarnim proizvodom, pomenute operacije sa potprostorima dobijaju dodatna svojstva.

Ortogonalni komplement nekog podskupa W (koji ne mora biti potprostor) unitarnog (euklidskog) prostora V, sa oznakom $W^{\perp }$, je skup svih vektora iz V koji su ortogonalni na svaki vektor iz W. Ortogonalni komplement je uvek potprostor u V, a njegov ortogonalni komplement, $W^{\perp \perp }$, sadrži lineal nad W. U konačnodimenzionalnom slučaju je $W^{\perp \perp }=L(W).$

Dva potprostora nekog prostora sa skalarnim proizvodom su ortogonalni ako su svi vektori iz jednog ortogonalni na vektore iz drugog:

$(\forall x\in W_{1})(\forall y\in W_{2})(W_{1},W_{2}<V)\,\langle x,y\rangle =0\Longleftrightarrow W_{1}\perp W_{2}.$

Iz ove definicije je jasno da su bazisni vektori jednog prostora nužno ortogonalni na vektore iz drugog.

Kako su vektori iz preseka dva ortogonalna potprostora ortogonalni na same sebe, presek se sastoji samo iz nultog vektora jer je to jedini takav vektor u bilo kom prostoru. Zbog toga se ortogonalna suma definiše kao suma ortogonalnih potprostora i označava se isto kao i direktna suma. Takvi potprostori se nazivaju ortogonalna dekompozicija (ili ortogonalno razlaganje) prostora kome dati potprostori pripadaju.

Projekciona teorema: Ako je W proizvoljan potprostor konačnodimenzionalnog unitarnog ili euklidskog prostora V, tada je V ortogonalna suma

$W\oplus W^{\perp }=V,$

i pri tome je $W^{\perp \perp }=W.$

Neposredna posledica ove teoreme je da, pri fiksiranom potprostoru W, prostor V ima jedinstvenu ortogonalnu dekompoziciju, odnosno $W^{\perp }$ je jedini koji sa datim W čini ortogonalnu dekompoziciju tog prostora.

Projekciona teorema duguje svoj naziv geometrijskoj interpretaciji te teoreme. Za svaki vektor z iz prostora V jednoznačno su definisane međusobno ortogonalne komponente $x\in W$ i $y\in W^{\perp }.$ Vektor x je projekcija vektora z, a je njegova y normala na potprostor W. Koristeći Pitagorinu teoremu, može se pokazati da je normala najkraće rastojanje vektora z od potprostora W, a da je projekcija najbolja aproksimacija vektora z u potprostoru W.

U slučaju niza ortogonalnih potprostora koji čine ortogonalnu dekompoziciju nekog prostora, projekciona teorema se može uopštiti. Tada svaki vektor iz prostora ima jedinstvene međusobno ortogonalne komponente iz datih potprostora:

$(U=\bigoplus _{i}^{n}W_{i})(x\in U)(x_{i}\in W_{i}),\,x=\sum _{i}^{n}x_{i}.$

Pri tome važi i generalizovana Pitagorina teorema:

$\|x\|^{2}=\sum _{i}^{n}\|x_{i}\|^{2}.$

Gram—Šmitov postupak se može konciznije formulisati upotrebom projekcione teoreme. Neka je dat proizvoljan bazis B = (b₁, ..., b_n). Da bi se dobio ortonormirani bazis E = (e₁, ..., e_n) tako da je $\textstyle e_{i}=\sum _{j=1}^{i}\alpha _{j}b_{j},\,(i=1,\ldots ,n),$ postupak je:

1. e₁ se dobija normiranjem vektora b₁,
2. svaki sledeći vektor e_i, (i = 2, ..., n) dobija se normiranjem normale vektora b_i na lineal L(e₁, ..., e_{i − 1}).

Linearni operatori

Glavni članak: Linearno preslikavanje

Između vektorskih postora postoje odgovarajuće veze, tj. odgovarajuća preslikavanja koja odgovaraju njihovoj strukturi. Pošto su vektorski prostori (Abelove) grupe i pošto su nad njima definisana preslikavanja homomorfizmi, preslikavanja među vektorskim prostorima su takođe homomorfizmi koji moraju da zadovolje i dodatan uslov održavanja strukture i u odnosu na množenje skalarom. Takva preslikavanja nazivaju se linearnim operatorima.

Vidi još

• Linearna algebra
• Teorija grupa
• Tenzor
• Mnogostrukost

Literatura

• Lipkovski, Aleksandar (2007). Linearna algebra i analitička geometrija. Beograd: Zavod za udžbenike. ISBN 978-86-17-14540-6. COBISS.SR 139743756. 
• Milošević, Ivanka. Vektorski prostori i elementi vektorske analize (PDF). Beograd: Fizički fakultet Univerziteta u Beogradu. Pristupljeno 2. 12. 2010. 
• Cantrell, Cyrus D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers (na jeziku: (jezik: engleski)). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5. Pristupljeno 14. 12. 2010. CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza)
• Adnađević, Dušan (2008). Matematička analiza I (8. dopunjeno izd.). Beograd: Matematički fakultet. str. 5. ISBN 978-86-7589-067-6. COBISS.SR 145997068. 

Spoljašnje veze

• Linearna algebra: Uvod u vektore, video na Kan akademiji (jezik: engleski)
• Vektorski prostor na Wolfram MathWorld (jezik: engleski)
• Vektorski prostori, beleške za predavanja, Univerzitet u Edinburgu (jezik: engleski)
• Uvod u vektorske prostore, iz serije predavanja Lecture Series on Quantum Physics by Prof. V. Balakrishnan, Department of Physics, IIT Madras. (jezik: engleski)