Vijetove formule

Za Vijetovu formulu za računanje broja π, videti ovaj članak.

U matematici, odnosno algebri, Vijetove formule, koje su dobile ime po Fransoa Vijetu, su formule koje daju vezu između nula polinoma, i njegovih koeficijenata

Formule

Ako

$P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

je polinom stepena $n\geq 1$ sa kompleksnim koeficijentima (pa su brojevi $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}$ kompleksni, i $a_{n}\neq 0$), po osnovnoj teoremi aritmetike $P(X)$ ima $n$ (ne obavezno različitih) kompleksnih korena $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ Vijetove formule kažu da

$x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}$

$(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}$

$\cdots \,$

$x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.$

Drugim rečima, suma svih mogućih proizvoda $k$ nula polinoma $P(X)$ je jednaka $(-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},$

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

za svako $k=1,2,\dots ,n.$

Vijetove formule važe opštije za polinome sa koeficijentima u bilo kom komutativnom prstenu, sve dok taj polinom stepena $n$ ima $n$ nula u tom prstenu.

Primer

Za polinom drugog stepena $P(X)=aX^{2}+bX+c$, Vijetove formule glase da su rešenja $x_{1}$ i $x_{2}$ kvadratna jednačina $P(X)=0$ zadovoljavaju

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

Prva jednačina se može koristiti da se nađe minimum (ili maksimum) od P.

Доказ

Вијетове формуле се могу доказати записивањем једнакости

$a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$

(што је тачно, јер $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ су све нуле полинома), множењем кроз факторе са десне стране, и проналажењем коефицијената сваког степена $X$.

Литература

• Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 978-0-8218-3413-8. 
• Đukić, Dušan, (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY. ISBN 978-0-387-24299-6.