Granična vrednost niza
![diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/250px-Archimedes_pi.svg.png)
n | n sin(1/n) |
---|---|
1 | 0.841471 |
2 | 0.958851 |
... | |
10 | 0.998334 |
... | |
100 | 0.999983 |
Kako pozitivni ceo broj postaje sve veći i veći, vrednost: postaje proizvoljno blizu Može se reći da je „ograničenje niza jednako "
Granična vrednost niza ili limes niza realnih brojeva je neka tačka ako za svaku okolinu tačke postoji prirodan broj , tako da za sve brojeve , tj. tako da počev od nekog, svi članovi niza pripadaju toj okolini.
U matematici, granica niza je vrednost kojoj termini niza „teže“, a često se označava simbolom (npr. ).[1] Ako takva granica postoji, niz se naziva konvergentnim.[2] Za niz koji ne konvergira kaže se da je divergentan.[3] Kaže se da je granica niza osnovni pojam na kome se na kraju zasniva cela matematička analiza.[1]
Granice se mogu definisati u bilo kom metričkom ili topološkom prostoru, ali se obično prvo susreću u realnim brojevima.
Istorija
[uredi | uredi izvor]Grčki filozof Zenon iz Eleje poznat je po formulisanju paradoksa koji uključuju ograničavajuće procese.[4][5][6][7]
Leukip, Demokrit, Antifon, Evdoks i Arhimed su razvili metodu iscrpljivanja, koja koristi beskonačan niz aproksimacija za određivanje površine ili zapremine. Arhimed je uspeo da sabere ono što se danas naziva geometrijskim redom.
Greguar de Sen-Vensan je dao prvu definiciju limita (terminusa) geometrijskog niza u svom delu Opus Geometricum (1647): „Kraj progresije je kraj niza, do kojeg nijedna progresija ne može doći, čak i ako ona se nastavlja u beskonačnost, ali kojoj se ona može približiti bliže od datog segmenta.“[8]
Njutn se bavio serijama u svojim radovima Analiza sa beskonačnim serijama (napisano 1669, cirkulisano u rukopisu, objavljeno 1711.), Metoda fluksija i beskonačnih serija (napisano 1671, objavljeno u engleskom prevodu 1736, latinski original objavljen mnogo kasnije) i Tractatus de Quadratura Curvarum (napisan 1693, objavljen 1704. kao dodatak njegovoj Optici). U poslednjem radu, Njutn razmatra binomnu ekspanziju (x + o)n, koju zatim linearizuje uzimajući granicu kako o teži 0.
U 18. veku, matematičari kao što je Ojler uspeli su da saberu neke divergentne nizove zaustavljajući se u pravom trenutku; nije ih mnogo zanimalo da li granica postoji, sve dok se može izračunati. Krajem veka, Lagranž je u svojoj Théorie des fonctions analytiques (1797) izneo mišljenje da nedostatak strogosti onemogućava dalji razvoj računa. Gaus je u svojoj etidi hipergeometrijskih serija (1813) po prvi put rigorozno istražio uslove pod kojima je niz konvergirao do granice.
Modernu definiciju granice (za bilo koje ε postoji indeks N tako da ...) dali su Bernard Bolcano (Der binomische Lehrsatz, Prag 1816, što je tada bilo malo primećeno) i Karl Vajerštras tokom 1870-ih.
Definicija
[uredi | uredi izvor]- .
Granična vrednost konvergentnih nizova
[uredi | uredi izvor]Pored opšte definicije, granična vrednost za konvergentne nizove, tj. za nizove koji teže nekom , gde je konačan broj, može se zapisati kao:
Granična vrednost divergentnih nizova
[uredi | uredi izvor]Pored opšte definicije, granična vrednost za divergentne nizove, nizove koji teže , može se zapisati kao:
Košijev niz
[uredi | uredi izvor]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Cauchy_sequence_illustration.svg/250px-Cauchy_sequence_illustration.svg.png)
Košijev niz, nazvan po istaknutom francuskom matematičaru Ogistenu Košiju je niz realnih brojeva (xn) koji je definisan na sledeći način:
- .
Košijev niz je usko povezan sa pojmom granične vrednosti niza, jer svaki Košijev niz konvergira. Ako znamo da je neki niz Košijev, ne moramo uopšte da ga poznajemo niti kojoj će graničnoj vrednosti da teži, a unapred ćemo znati da ima konačnu graničnu vrednost.
Realni brojevi
[uredi | uredi izvor]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Converging_Sequence.png/250px-Converging_Sequence.png)
U realnim brojevima, broj je granica niza ako brojevi u nizu postaju sve bliži , a ne bilo kom drugom broju.
Primeri
[uredi | uredi izvor]- Ako je za konstantu c, onda [9][10]
- Ako je onda [11][10]
- Ako je kad je parno, i kad je neparno, onda je (Činjenica da je kad god je neparno je nebitno.)
- Za dati bilo koji realni broj, lako se može konstruisati niz koji konvergira tom broju uzimajući decimalne aproksimacije. Na primer, niz , konvergira Treba imati na umu da je decimalna reprezentacija granica prethodnog niza, definisana pomoću
- Pronalaženje granice niza nije uvek očigledno. Dva primera su (čija je granica broj e) i aritmetičko-geometrijska sredina. Sendvič teorema je često korisna u uspostavljanju takvih granica.
Formalna definicija
[uredi | uredi izvor]Vrednost se naziva limit niza ako važi sledeći uslov:
- Za svaki realan broj postoji prirodan broj takav da je za svaki prirodan broj postoji [12]
Drugim rečima, za svaku meru bliskosti uslovi sekvence su na kraju toliko blizu granice. Za sekvencu se kaže da konvergira ili teži limitu napisano ili
Simbolično, ovo je:
Ako niz konvergira do neke granice onda je konvergentan i je jedini limit; inače je divergentan. Niz koji ima nulu kao granicu se ponekad naziva nultim nizom.
Ilustracija
[uredi | uredi izvor]-
Primer niza koji konvergira do granice
-
Bez obzira koje se uzmve, postoji indeks takav da niz u potpunosti leži unutar epsilon cevi
-
Takođe postoji za manji indeks indeksa tako da je niz nakon njega unutar epsilon cevi
-
Za svako postoji samo konačno mnogo članova niza izvan epsilon cevi.
Osobine (realni brojevi)
[uredi | uredi izvor]Granice nizova se dobro ponašaju u odnosu na uobičajene aritmetičke operacije. Ako i onda i, ako ni b ni bilo koje nije nula, [10]
Za bilo koju kontinuiranu funkciju f, ako je onda je Zapravo, svaka funkcija f sa realnom vrednošću je kontinuirana ako i samo ako čuva granice nizova (iako to nije nužno tačno kada se koriste opštiji pojmovi kontinuiteta).
Neka druga važna svojstva granica realnih nizova uključuju sledeće (pod uslovom da u svakoj jednačini ispod granice sa desne strane postoje).
- Granica sekvence je jedinstvena.[10]
- [10]
- [10]
- [10]
- provided [10]
- Ako je za svako veće od nekog onda je
- (Sendvič teorema) Ako je za svako i onda je
- Ako je niz ograničen i monoton, onda je konvergentan.
- Niz je konvergentan ako i samo ako je svaki podniz konvergentan.
- Ako svaki podniz niza ima svoj podniz koji konvergira u istu tačku, onda originalni niz konvergira u tu tačku.
Ova svojstva se u velikoj meri koriste za dokazivanje ograničenja, bez potrebe da se direktno koristi glomazna formalna definicija. Na primer, jednom kada se dokaže da je postaje lako pokazati - koristeći svojstva iznad - da je (pretpostavljajući da ).
Beskonačni limiti
[uredi | uredi izvor]Kaže se da niz teži beskonačnosti, napisano ili ako za svako K postoji N takvo da za svako ; to jest, članovi niza su na kraju veći od bilo kog fiksnog K.
Slično, ako za svako K postoji N takvo da je za svako Ako niz teži beskonačnosti ili minus beskonačnosti, onda je divergentan. Međutim, divergentni niz ne mora težiti plus ili minus beskonačnosti, a niz daje jedan takav primer.
Vidi još
[uredi | uredi izvor]Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ a b Courant 1961, str. 29
- ^ Weisstein, Eric W. „Convergent Sequence”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.
- ^ Courant 1961, str. 39
- ^ Boyer, Carl (1959). The History of the Calculus and Its Conceptual Development
. Dover Publications. str. 295. ISBN 978-0-486-60509-8. Pristupljeno 2010-02-26. „If the paradoxes are thus stated in the precise mathematical terminology of continuous variables (...) the seeming contradictions resolve themselves.”
- ^ Brown, Kevin. „Zeno and the Paradox of Motion”. Reflections on Relativity. Arhivirano iz originala 2012-12-05. g. Pristupljeno 2010-06-06.
- ^ Moorcroft, Francis. „Zeno's Paradox”. Arhivirano iz originala 2010-04-18. g.
- ^ Papa-Grimaldi, Alba (1996). „Why Mathematical Solutions of Zeno's Paradoxes Miss the Point: Zeno's One and Many Relation and Parmenides' Prohibition” (PDF). The Review of Metaphysics. 50: 299—314.
- ^ Van Looy, H. (1984). A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667). Historia Mathematica, 11(1), 57-75.
- ^ Proof: choose For every
- ^ a b v g d đ e ž „Limits of Sequences | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.
- ^ Proof: choose (the floor function). For every
- ^ Weisstein, Eric W. „Limit”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.
Literatura
[uredi | uredi izvor]- Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.
- Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
- Frank Morley and James Harkness (1893). A treatise on the theory of functions. New York: Macmillan.
- Kirk, G. S., J. E. Raven, M. Schofield (1984) The Presocratic Philosophers: A Critical History with a Selection of Texts, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27455-9.
- Huggett, Nick (2010). „Zeno's Paradoxes”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Pristupljeno 2011-03-07.
- Plato (1926) Plato: Cratylus. Parmenides. Greater Hippias. Lesser Hippias, H. N. Fowler (Translator), Loeb Classical Library. ISBN 0-674-99185-0.
- Sainsbury, R.M. (2003) Paradoxes, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48347-6.
- Skyrms, Brian (1983). „Zeno's Paradox of Measure”. Ur.: Cohen, R. S.; Laudan, L. Physics, Philosphy, and Psychoanalysis. Dordrecht: Reidel. str. 223—254. ISBN 90-277-1533-5.
- Palmer, John (2008). „Zeno of Elea”. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Grime, James. „Zeno's Paradox”. Numberphile. Brady Haran. Arhivirano iz originala 2018-10-03. g. Pristupljeno 2013-04-13.
- Paul A. Fishwick, ur. (1. 6. 2007). „15.6 "Pathological Behavior Classes" in chapter 15 "Hybrid Dynamic Systems: Modeling and Execution" by Pieter J. Mosterman, The Mathworks, Inc.”. Handbook of dynamic system modeling. Chapman & Hall/CRC Computer and Information Science (hardcover izd.). Boca Raton, Florida, USA: CRC Press. str. 15—22 to 15—23. ISBN 978-1-58488-565-8. Pristupljeno 2010-03-05.
- Lamport, Leslie (2002). Specifying Systems (PDF). Microsoft Research. Addison-Wesley. str. 128. ISBN 0-321-14306-X. Pristupljeno 2010-03-06.
- Zhang, Jun; Johansson, Karl; Lygeros, John; Sastry, Shankar (2001). „Zeno hybrid systems” (PDF). International Journal for Robust and Nonlinear Control. 11 (5): 435. S2CID 2057416. doi:10.1002/rnc.592. Arhivirano iz originala (PDF) 11. 8. 2011. g. Pristupljeno 2010-02-28.
- Franck, Cassez; Henzinger, Thomas; Raskin, Jean-Francois (2002). „A Comparison of Control Problems for Timed and Hybrid Systems”. Arhivirano iz originala 28. 5. 2008. g. Pristupljeno 2010-03-02.
- Carroll, Lewis (1895-04-01). „What the Tortoise Said to Achilles”. Mind (na jeziku: engleski). IV (14): 278—280. ISSN 0026-4423. doi:10.1093/mind/IV.14.278.