Direktna kinematika

Kinematika robota: Direktna kinmatika protiv Inverzne kinematike

Direktna kinematika odnosi se na upotrebu kinematičkih jednačina robota za izračunavanje položaja krajnjeg efektora iz određenih vrednosti za zajedničke parametre.

Jednačine kinematike robota koriste se u robotici, računarskim igrama i animaciji. Obrnuti postupak koji izračunava zajedničke parametre kojima se postiže određeni položaj krajnjeg efektora poznat je kao inverzna kinematika .

Robotska ruka sa šest stepena slobode koristi direktnu kinematiku za postavljanje hvataljke.

Jednačine direktne kinematike definišu putanju krajnjeg efektora robota PUMA koji poseže za delovima.

Kinematičke jednačine

Kinematičke jednačine za serijski lanac robota dobijaju se pomoću krute transformacije [Z] da bi se okarakterisalo relativno kretanje dozvoljeno na svakom zglobu i odvojena kruta transformacija [H] da bi se definisale dimenzije svake veze. Rezultat je sekvenca krutih transformacija naizmeničnih transformacija zglobova i spojeva od osnove lanca do njegove krajnje veze, koja je izjednačena sa navedenim položajem za krajnju vezu,

$[T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!$

gde je [T] transformacija koja locira krajnju vezu. Te jednačine se nazivaju kinematičke jednačine serijskog lanca.

Transformacije veza

1955. godine, Žak Denavit i Ričard Hartenberg uveli su konvenciju o definiciji zajedničkih matrica [Z] i matrica veza [H] kako bi standardizovali koordinatni okvir za prostorne veze. Ova konvencija postavlja okvir spoja tako da se sastoji od pomeranja zavrtnja duž Z ose

$[Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),$

i postavlja okvir veze tako da se sastoji od pomeranja zavrtnja duž H ose,

$[X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).$

Koristeći ovu notaciju, svaka veza transformacije ide duž serijskog lančanog robota i može se opisati transformacijom koordinata,

${}^{i-1}T_{i}=[Z_{i}][X_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}),$

gde su θ _i, d _i, α _{i, i + 1} i a _{i, i + 1}

poznati kao Denavit-Hartenbergovi parametri.

Ponovno posećene jednačine kinematike

Jednačine kinematike serijskog lanca od n veza, sa zajedničkim parametrima θ _i date su u

$[T]={}^{0}T_{n}=\prod _{i=1}^{n}{}^{i-1}T_{i}(\theta _{i}),$

gde ${}^{i-1}T_{i}(\theta _{i})$ je matrica transformacije iz okvira veze $i$ povezati $i-1$ . U robotici to je konvencionalno opisano parametrima Denavit-Hartenberg.

Denavit-Hartenbergova matrica

Matrice povezane sa ovim operacijama su:

$\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Slično tome,

$\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Upotreba konvencije Denavit-Hartenberg daje matricu transformacije veze, [ ^i-1 T _i ] kao:

$\operatorname {} ^{i-1}T_{i}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&\sin \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\cos \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&-\cos \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\sin \theta _{i}\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},$

poznato kao Denavit-Hartenbergova matrica.

Računarska animacija

Direktne kinematičke jednačine mogu se koristiti kao metoda u 3D računarskoj grafici za animiranje modela.

Osnovni koncept direktne kinematičke animacije je da se položaji određenih delova modela u određeno vreme izračunavaju iz položaja i orijentacije objekta, zajedno sa bilo kojim informacijama o zglobovima zglobnog modela. Tako, na primer, ako je predmet koji treba animirati ruka sa ramenom koja ostaje na fiksnom mestu, lokacija vrha palca izračunala bi se iz uglova ramena, lakta, ručnog zgloba, palca i zglobovi prstiju. Tri od ovih zglobova (rame, zglob i osnova palca) imaju više od jednog stepena slobode, što sve mora biti uzeto u obzir. Da je model cela ljudska figura, tada bi se i mesto ramena moralo izračunati na osnovu drugih svojstava modela.

Direktna kinematička animacija se ovim načinom izračunavanja može razlikovati od inverzne kinematičke animacije - u inverznoj kinematici orijentacija zglobnih delova izračunava se iz željenog položaja određenih tačaka na modelu. Takođe se razlikuje od ostalih sistema animacije činjenicom da kretanje modela direktno definiše animator - ne uzima se u obzir nijedan fizički zakon koji bi mogao biti na snazi na modelu, poput gravitacije ili sudara sa drugim modelima.

Vidi još

• Inverzna kinematika
• Kinematički lanac
• Kontrola robota
• Mehanički sistemi
• Kinematika robota
• Kinematička sinteza
• Trodimenzionalni prostor