Druga kosmička brzina

Poznato je da se u Zemljinoj orbiti nalaze mnogi veštački sateliti koji se koriste u hidrometeorološke, telekomunikacione, vojne i slične svrhe.^[2] Postoje stacionarni sateliti koji se nalaze stalno iznad jedne iste tačke na Zemlji jer se kreću istom brzinom kao i Zemlja i nestacionarni koji, u zavisnosti od potrebe, kruže oko planete Zemlje i snimaju ono što nas na njoj interesuje.^[3]^[4]

Pošto se gravitaciono polje Zemlje teoretski proteže u beskonačnost, tako i na satelite kao i na ostala tela na i oko Zemlje deluje isto gravitaciono polje. Princip kruženja satelita oko Zemlje samim tim i Meseca, a koji važi za bilo koji svemirski objekat kao što je Sunce, zvezde i sl. zasniva se na principu horizontalnog hica kao što je kamen, koji pada, ali nikada ne padne, nego počinje da kruži zbog zakona o očuvanju energije. To važi za određenu brzinu. Može se videti i na primeru Zemlje i njenih satelita. Da bi se neko telo kretalo po kružnoj putanji oko Zemlje mora imati tačno odrađenu brzinu za datu visinu na kojoj se telo nalazi. Tako npr. prvi veštački Zemljin satelit Sputnjik 1 (SSSR)^[5], koji je lansiran 04.10.1957. godine, mase 83,6 kg na visinu od 900 km je morao da se kreće brzinom od 7,4 km/s. Kada bi se kretao brzinom manjom od te, pao bi na Zemlju. Ova brzina se naziva Prva kosmička brzina za datu visinu, a to je ona minimalna brzina kojom se moraju kretati tela da ne bi pala na Zemlju, već da postanu njeni sateliti i kruže oko nje.

Ova kosmička brzina zavisi od visine, jer se sa porastom visine smanjuje jačina gravitacionog delovanja Zemlje, tako da nam je potrebna manja brzina da bismo savladali ovo delovanje. Ako bi telo imalo veću brzinu od Prve kosmičke brzine, telo se više ne bi kretalo po kružnici, nego bi njegova putanja poprimila izgled elipse u čijoj se jednoj žiži nalazi Zemlja. Ako bi brzina bila još veća izgled putanje bi poprimio oblik parabole, zatim hiperbole, dok bi pri određenim, mnogo većim brzinama, izašao iz Zemljine orbite i ne bi više bio njen satelit. Telo kada dobije minimalnu brzinu od 11,2 km/s prestaje biti Zemljin satelit i izlazi iz njene orbite. Međutim, to telo neće nastaviti da se kreće pravolinijski nego će početi da se kreće po elipsi oko Sunca i time postati Sunčev satelit. Ovo je minimalna brzina da se telo oslobodi uticaja Zemljinog gravitacionog polja i da njegovo kretanje zavisi samo od Sunčevog gravitacionog polja i naziva se Druga kosmička brzina. Treba imati na umu da je telo i kad se kretalo oko Zemlje bilo pod uticajem Sunčevog gravitacionog polja, ali nije imalo toliku ulogu jer je Zemljino polje bilo jače. Ako bi brzina tela bila veća od ove Druge kosmičke brzine, onda bi se telo kretalo po sličnom principu kao i oko Zemlje, dakle po paraboli, pa po hiperboli, da bi se na kraju oslobodilo Sunčevog delovanja. Da bi telo prestalo biti Sunčev satelit i napustilo naš Sunčev sistem, postalo satelit centra naše galaksije, mora imati brzinu od oko 16,2 km/s. Ova minimalna brzina se naziva Treća kosmička brzina. Četvrtom kosmičkom brzinom se naziva ona brzina kojom moramo lansirati telo da bi izašlo izvan naše galaksije i iznosi 290 km/s.

Brzina bekstva na rastojanju d od centra sferno simetričnog primarnog tela (kao što je zvezda ili planeta) sa masom M je data formulom^[6]

v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd}}

gde je G univerzalna gravitaciona konstanta (G ≈ 6.67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻²)^{[nb 1]} i g lokalno gravitaciono ubrzanje (ili površinska gravitacija, kada je d = r). Brzina bežanja je nezavisna od mase objekta koji beži. Na primer, brzina bekstva sa Zemljine površine je oko 11,186 km/s (40.270 km/h; 25.020 mph; 36.700 ft/s),^[7] a površinska gravitacija je oko 9,8 m/s² (9,8 N/kg, 32 ft/s²).

Kada je data početna brzina $V$ veća od brzine begstva $v_{e},$ , objekat će se asimptotski približiti hiperboličnom višku brzine $v_{\infty },$ zadovoljavajući jednačinu:^[8]

{v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.

Pregled

Postojanje izlazne brzine je posledica očuvanja energije i energetskog polja konačne dubine. Za objekat sa datom ukupnom energijom, koji se kreće pod dejstvom konzervativnih sila (kao što je statičko gravitaciono polje) moguće je samo da objekat dostigne kombinacije lokacija i brzina koje imaju tu ukupnu energiju; a mesta koja imaju veću potencijalnu energiju od ove se uopšte ne mogu dostići. Dodavanjem brzine (kinetičke energije) objektu proširuje moguće lokacije do kojih se može doći, sve dok, sa dovoljno energije, ne postanu beskonačne.

Za datu gravitacionu potencijalnu energiju na datoj poziciji, brzina bekstva je minimalna brzina koju objekat bez pogona treba da ima da bi mogao da „pobegne” od gravitacije (tj. tako da gravitacija nikada neće uspeti da ga povuče nazad). Brzina bekstva je skalarna veličina, jer ne određuje pravac: bez obzira u kom pravcu se kreće, objekat može da pobegne iz gravitacionog polja (pod uslovom da se njegova putanja ne preseca sa planetom).

Elegantan način da se izvede formula za brzinu bekstva je korišćenje principa očuvanja energije (za drugi način, zasnovan na radu, pogledajte ispod). Radi jednostavnosti, osim ako nije drugačije navedeno, pretpostavlja se da će objekat izbeći gravitaciono polje uniformne sferne planete udaljavajući se od nje i da je jedina značajna sila koja deluje na pokretni objekat gravitacija planete. Ako se zamisli da se svemirski brod mase m u početku nalazi na udaljenosti r od centra mase planete, čija je masa M, a njegova početna brzina jednaka je brzini bekstva, $v_{e}$ . U svom konačnom stanju, biće beskonačno udaljen od planete, a njegova brzina će biti zanemarljivo mala. Kinetička energija K i gravitaciona potencijalna energija U_g su jedine vrste energije koje se ovde razmatraju (zanemaruje se otpor atmosfere), te je prema očuvanju energije,

(K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}

Može se postaviti K_final = 0, jer je konačna brzina proizvoljno mala, a U_g_final = 0 jer je konačna udaljenost beskonačna, te je

{\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{aligned}}

gde je μ standardni gravitacioni parametar.

Isti rezultat se dobija relativističkim proračunom, u kom slučaju promenljiva r predstavlja radijalnu koordinatu ili smanjeni obim Švarcšildove metrike.^[10]^[11]

Jednačine

Da bismo izračunali drugu kosmičku brzinu za Zemlju potrebno je upitati se kolika bi bila brzina objekta koji bi iz beskonačnosti padao na Zemlju. Očigledno, to je ista ta brzina koju je potrebno dati objektu da bi se oslobodio Zemljine gravitacije.

Zakon očuvanja energije:

{\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{R}}=0

gde sleva stoji kinetička energija i potencijalna energija. Ovde je m — masa tela, M — masa planete, R — radijus planete, G — gravitaciona konstanta, v₂ — druga kosmička brzina.

Rešavajući po v₂, dobijamo:

v_{2}={\sqrt {2G{\frac {M}{R}}}}

Između prve i druge kosmičke brzine postoji jednostavan odnos:

v_{2}={\sqrt {2}}v_{1}

Kvadrat brzine oslobađanja je jednak dvostrukom njutnovskom potencijalu u početnoj tački (na primer na površini planete)^[12]:

v_{2}^{2}=2\Phi =2{\frac {GM}{R}}

Da bismo izračunali drugu kosmičku brzinu koja je potrebna da bi neka letelica mase m napustila gravitaciono polje svemirskog tela mase M, potrebno je upoznati se sa pojmom potencijalne energije tela u gravitacionom polju koju smo videli i gore. Potencijalna energija tela mase m koje se nalazi na gravitacionom polju tela mase M i udaljenosti r od njegovog centra, data je izrazom:

E_{p}=-G{\frac {mM}{R}}

G=6.67\times 10^{-11}m^{3}kg^{-1}s^{-2}

(univerzalna gravitaciona konstanta)

Do ovog izraza lako se dolazi ako izračunamo rad koji je potreban da bismo premestili telo mase m u gravitacionom polju(tela mase M). Naime, rad se izračunava kao proizvod sile (ovde je to gravitaciona sila) i pređenog puta (odgovara promeni udaljenosti tela). Jedini je problem u tom računu što se gravitaciona sila menja na tom putu, pa je potrebno upotrebiti diferencijalni račun, a do rezultata se može doći i elementarnom matematikom, zamenimo li gravitacionu silu na tom putu njenom srednjom geometrijskom vrednošću. Negativni predznak nam ukazuje da se potencijalna energija povećeva sa povećanjem udaljenosti. Naime, da bismo telo premestili u veću udaljenost potrebno je uložiti rad, dakle, potencijalna energija tela se povećava.

Kinetička energija koju je potrebno uložiti da bismo telo premestili iz udaljenosti $r_{1}$ u udaljenost $r_{2}$ odgovaraće promeni potencijalne energije tela:

${\frac {mv^{2}}{2}}=G{\frac {mM}{r_{1}}}-G{\frac {mM}{r_{2}}}$

Na temelju ovog izraza možemo izračunati brzinu koja je potrebna da bismo telo mase m premestili iz udaljenosti $r_{1}$ u udaljenost $r_{2}$ u gravitacionom polju tela mase M. Premestimo li telo u beskonačnost, desni član u ovoj gore jednačini jednak je nuli i tada za drugu kosmičku brzinu dobijemo:

v_{2}={\sqrt {2G{\frac {M}{R}}}}

Što je ona formula odozgo.

Druga kosmička brzina raznih nebeskih tela

Druga kosmička brzina (brzina oslobađanja) na površini nekih nebeskih tela
Nebesko telo	Masa (u odnosu na masu Zemlje)	Druga kosmička brzina, km/s	Nebesko telo	Masa (u odnosu na masu Zemlje)	Druga kosmička brzina, km/s
Merkur	0,055	4,3	Saturn	95,3	36,0
Venera	0,82	10,22	Uran	14,5	22,0
Zemlja	1	11,2	Neptun	17,5	24,0
Mars	0,108	5,0	Mesec	0,0123	2,4
Jupiter	318,3	61,0	Sunce	333000	617,7

Vidi još

Napomene

^ The value GM is called the standard gravitational parameter, or μ, and is often known more accurately than either G or M separately.

Reference

^ Giancoli, Douglas C. (2008). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Addison-Wesley. str. 199. ISBN 978-0-13-149508-1.
^ Sateliti. Preuzeto 10 Marta 2017.
^ Zamlja. Preuzeto 10 Marta 2017.
^ Druga Kosmicka brzina. Preuzeto 10 Marta 2017.
^ Sputnjik. Preuzeto 10 Marta 2017.
^ Khatri M.K.; Poudel P.R.; Gautam A.K. (2010). Principles of Physics. Kathmandu: Ayam Publication. str. 170, 171. ISBN 9789937903844.
^ Lai, Shu T. (2011). Fundamentals of Spacecraft Charging: Spacecraft Interactions with Space Plasmas. Princeton University Press. str. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4.
^ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics (illustrated izd.). Courier Corporation. str. 39. ISBN 978-0-486-60061-1.
^ „NASA – NSSDC – Spacecraft – Details”. Arhivirano iz originala 2. 6. 2019. g. Pristupljeno 21. 8. 2019. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald; Bertschinger, Edmund (2010). Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity (2nd revised izd.). Addison-Wesley. str. 2—22. ISBN 978-0-321-51286-4. Sample chapter, page 2-22 Arhivirano 21 jul 2017 na sajtu Wayback Machine
^ Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology (illustrated izd.). Oxford University Press. str. 116—117. ISBN 978-0-19-966646-1.
^ Potencijalna i kinetička energija Arhivirano na sajtu Wayback Machine (18. mart 2017). Preuzeto 10 Marta 2017.

Literatura

Forest R. Moulton, Introduction to Celestial Mechanics, 1984, Dover, ISBN 0-486-64687-4
John E. Prussing, Bruce A. Conway, Orbital Mechanics, 1993, Oxford Univ. Press
William M. Smart, Celestial Mechanics, 1961, John Wiley.
Doggett, LeRoy E. (1997), „Celestial Mechanics”, Ur.: Lankford, John, History of Astronomy: An Encyclopedia, New York: Taylor & Francis, str. 131—140, ISBN 9780815303220
J.M.A. Danby, Fundamentals of Celestial Mechanics, 1992, Willmann-Bell
Alessandra Celletti, Ettore Perozzi, Celestial Mechanics: The Waltz of the Planets, 2007, Springer-Praxis, ISBN 0-387-30777-X.
Michael Efroimsky. 2005. Gauge Freedom in Orbital Mechanics. Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 1065, pp. 346-374
Alessandra Celletti, Stability and Chaos in Celestial Mechanics. Springer-Praxis 2010, XVI, 264 p., Hardcover ISBN 978-3-540-85145-5
Encyclopedia:Celestial mechanics Scholarpedia Expert articles
Calvert, James B. (2003-03-28), Celestial Mechanics, University of Denver, Arhivirano iz originala 2006-09-07. g., Pristupljeno 2006-08-21

Spoljašnje veze

[7] The value GM is called the standard gravitational parameter, or μ, and is often known more accurately than either G or M separately.

[1] Giancoli, Douglas C. (2008). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Addison-Wesley. str. 199. ISBN 978-0-13-149508-1.

[2] Sateliti. Preuzeto 10 Marta 2017.

[3] Zamlja. Preuzeto 10 Marta 2017.

[4] Druga Kosmicka brzina. Preuzeto 10 Marta 2017.

[5] Sputnjik. Preuzeto 10 Marta 2017.

[6] Khatri M.K.; Poudel P.R.; Gautam A.K. (2010). Principles of Physics. Kathmandu: Ayam Publication. str. 170, 171. ISBN 9789937903844.

[8] Lai, Shu T. (2011). Fundamentals of Spacecraft Charging: Spacecraft Interactions with Space Plasmas. Princeton University Press. str. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4.

[9] Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics (illustrated izd.). Courier Corporation. str. 39. ISBN 978-0-486-60061-1.

[10] „NASA – NSSDC – Spacecraft – Details”. Arhivirano iz originala 2. 6. 2019. g. Pristupljeno 21. 8. 2019. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[11] Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald; Bertschinger, Edmund (2010). Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity (2nd revised izd.). Addison-Wesley. str. 2—22. ISBN 978-0-321-51286-4. Sample chapter, page 2-22 Arhivirano 21 jul 2017 na sajtu Wayback Machine

[12] Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology (illustrated izd.). Oxford University Press. str. 116—117. ISBN 978-0-19-966646-1.

[13] Potencijalna i kinetička energija Arhivirano na sajtu Wayback Machine (18. mart 2017). Preuzeto 10 Marta 2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[nb 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]