Ermitska matrica

Ermitska matrica (samoadjungovana ili autoadjungovana) je kvadratna matrica sa kompleksnim članovima koja je jednaka svojoj konjugovano transponovanoj matrici, tj. element u i-toj vrsti i j-toj koloni je jednak kompleksno konjugovanom elementu j-te vrste i i-te kolone za bilo koje indekse i i j.

Za kvadratnu matricu A sa elementima a_ij, dakle, važi

a_{ij}={\overline {a_{ji}}},

gde crta iznad promenljive označava kompleksnu konjugaciju, odnosno

A=A^{\dagger }.

Ermitske matrice se mogu shvatiti kao uopštenje simetričnih matrica na matrice sa kompleksnim elementima. Dobile su ime po francuskom matematičaru Šarlu Ermitu koji je 1855. dokazao da su im svojstvene vrednosti realni brojevi, kao i realnim simetričnim matricama.

Primeri

Ako je matrica $A=\left({\begin{array}{cc}3&2+i\\2-i&1\end{array}}\right),$ njena konjugovana matrica je ${\overline {A}}=\left({\begin{array}{cc}3&2-i\\2+i&1\end{array}}\right),$ a konjugovano transponovana je $A^{\dagger }=\left({\begin{array}{cc}3&2+i\\2-i&1\end{array}}\right).$

Paulijeve matrice

\sigma _{x}=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right),\,\sigma _{y}=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right),\,\sigma _{z}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)

su ermitske matrice i zajedno sa jediničnom matricom 2 × 2 čine skup $\{\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}I_{2},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{x},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{y},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{z}\}$ koji je jedan ortonormirani bazis u vektorskom prostoru $\mathbb {C} ^{22}.$