Inverzija u odnosu na krug
Inverzija u odnosu na krug predstavlja transformaciju koja čuva uglove i slika uopšteni krug u uopšteni krug. Pod uopštenim krugom podrazumevamo krug ili pravu (krug čiji je prečnik beskonačan). Mnogi problemi u geometriji su uprošćeni uvođenjem pojma uopštenog kruga. Pojam inverzije može biti primenjen i na beskonačnodimenzione prostore.
Neka je proizvoljan krug ravni , zatim neka je isti taj krug bez tačke . Inverzijom u odnosu na krug nazivamo transformaciju
koja svaku tačku prevodi u tačku takvu da je
Tačka je centar kruga , odnosno središte inverzije, duž je poluprečnik, a krug nazivamo krugom inverzije .
Kako se tačka približava centru kruga , njen inverz u odnosu na krug, odnosno tačka , teži beskonačnosti. Slika tačke nije definisana, niti se neka tačka slika u tačku .[1]
Tačke na kružnici se slikaju u same sebe. Tačke unutar kruga slikaju se u tačke izvan kruga, i obrnuto.
Inverzija u odnosu na krug je bijektivna transformacija.
Konstrukcija lenjirom i šestarom
[uredi | uredi izvor]Za tačku izvan kruga
[uredi | uredi izvor]Konstrukcija slike tačke pri inverziji u odnosu na krug :
- Konstrusati duž , gde je centar kruga .
- Konstruisati krug nad prečnikom .
- Neka su i presečne tačke krugova i .
- Tačka će biti presek duži i .
Za tačku unutar kruga
[uredi | uredi izvor]Konstrukcija inverza tačke unutar kruga inverzije :
- Konstruisati pravu koja sadrži tačke (centar kruga ) i .
- Konstrusati normalu iz tačke na pravu .
- Neka je jedna od tačaka preseka kruga i prave .
- Konstruisati pravu koja sadrži tačku i normalna je na pravu .
- Tačka će biti presek pravih i .
Konstrukcija inverza kruga
[uredi | uredi izvor]- Ako krug ne seče krug inverzije :
- Konstruisati pravu tako da sadrži centre krugova i .
- Neka su i presečne tačke te prave i kruga .
- Konstruisati tačke i , slike tačaka i pri inverziji u odnosu na krug .
- Konstruisati krug nad prečnikom . Taj krug je slika kruga pri inverziji u odnosu na krug .
- Ako krug seče krug inverzije :
- Neka su presečne tačke krugova i tačke i .
- Konstruisati pravu tako da sadrži centre krugova i . Neka je jedna od presečnih tačaka te prave i kruga tačka .
- Konstruisati tačku , sliku tačke pri inverziji u odnosu na krug .
- Krug , slika kruga pri inverziji u odnosu na krug , je krug opisan oko trougla .
-
1. Konstrukcija slike kruga , pri inverziji u odnosu na krug , ako se krugovi i ne seku.
-
2. Konstrukcija slike kruga , pri inverziji u odnosu na krug , ako se krugovi i seku.
Osnovne osobine
[uredi | uredi izvor]- Inverzija u odnosu na krug je involutivna transformacija.[2] Ako je slika tačke pri inverziji u odnosu na krug tačka , to znači da će slika tačke pri inverziji u odnosu na krug biti tačka .
- Neka tačka je invarijantna pri inverziji ako i samo ako .[2] Dakle, sve tačke koje pripadaju kružnici , će se slikati u same sebe.
- Pri inverziji tački koja se nalazi unutar kruga odgovara tačka koja se nalazi izvan kruga , i obrnuto.[2]
- Kompozicija dveju inverzija i koje su definisane u odnosu na koncentrične krugove i je homotetija .[2]
- Slika kruga koji sadrži tačku , pri inverziji u odnosu na krug , je prava koja ne sadrži . Prava je paralelna tangenti kruga u tački .
- Slika kruga koji ne sadrži tačku je krug koji takođe ne sadrži . Ako krug seče krug , tačke preseka će pripadati i krugu (jer su tačke na kružnici invarijante).[3][4]
- Slika prave koja sadrži tačku je ista ta prava, bez tačke .
- Slika prave koja ne sadrži tačku je krug koji ne sadrži tačku .[2]
-
Slika kruga koji sadrži tačku , centar kruga , pri inverziji u odnosu na krug , je prava koja ne sadrži .
-
Slika kruga koji ne sadrži tačku , centar kruga , pri inverziji u odnosu na krug , je krug koja ne sadrži .
-
Koncentrični krugovi se pri inverziji u odnosu na krug ne slikaju u koncentrične krugove.
Ostale osobine:
[uredi | uredi izvor]Ortogonalni krugovi pri inverziji u odnosu na krug
[uredi | uredi izvor]Dva kruga su ortogonalna ako i samo ako su im tangente u presečnim tačkama ortogonalne.
- Inverzija u odnosu na krug preslikava neki krug u njega samog ako i samo ako se krugovi i poklapaju ili su ortogonalni.
- Tačke preseka dva kruga i koji su ortogonalni na krug su međusobno inverzne u odnosu na krug .
Uglovi pri inverziji u odnosu na krug
[uredi | uredi izvor]- Inverzija u odnosu na krug ne menja uglove, ali menja orijentaciju uglova.[5]
- Za neki trougao , gde je centar kruga i gde su tačke i slike tačaka i pri inverziji u odnosu na krug važi:
- Ugao pod kojem se seku dve linije i u presečnoj tački , jednak je uglu pod kojem se seku slike linija i pri inverziji u odnosu na krug , linije i , u odgovarajućoj tački .[6]
Primena
[uredi | uredi izvor]Bilo koja dva kruga koja se ne seku, mogu se inverzijom preslikati u koncentrične krugove. Inverzno rastojanje predstavlja prirodni logaritam odnosa prečnika ta dva koncentrična kruga.
Inverzija u trodimenzionom prostoru
[uredi | uredi izvor]U trodimenzionom prostoru, moguće je uopštiti inverziju u odnosu na krug do inverzije u odnosu na sferu. Slika tačke pri inverziji u odnosu na sferu sa središtem u tački i prečnikom je tačka takva da: .
Tačke i su na istoj polupravoj, sa početkom u tački . Pri ovakvoj inverziji, slika sfere je sfera, osim u slučaju kada sfera koju invertujemo sadrži tačku . Tada je slika sfere ravan.
Dalje, svaka ravan koja ne sadrži tačku se slika u sferu, dok se ravan koja sadrži tačku slika u istu tu ravan, ali koja ne sadrži u tačku .
Stereografska projekcija je poseban podslučaj inverzije u odnosu na sferu koja slika sferu na ravan.
Literatura
[uredi | uredi izvor]- D. Lopandić, Geometrija, Zavod za udžbenike, Beograd, 2011.
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ Lopandić, D.(2011), "Geometrija", Beograd; pp. 201.
- ^ a b v g d Lopandić, D.(2011), "Geometrija", Beograd; pp. 202.
- ^ Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston; pp. 265.
- ^ Lopandić, D.(2011), "Geometrija", Beograd; pp. 203.
- ^ Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston. str. 269.
- ^ Lopandić, D.(2011), "Geometrija", Beograd; pp. 204.