Koksova teorema

Koksova teorema, nazvana po fizičaru Ričardu Koksu, je izvođenje zakona teorije verovatnoće iz skupa postulata. Ovo izvođenje opravdava takozvano "logično" tumačenje verovatnoće. Kako zakoni verovatnoće izvedeni iz Koksove teoreme važe za bilo koji predlog, logično verovatnoća je vrsta Bajesove verovatnoće. Ostali oblici Bajesinizma, kao što je subjektivno tumačenje, date su i druge opravdanja.

Koksove pretpostavke

Koks je želeo da njegov sistem da zadovolji sledeće uslove:

1. Deljivosti i uporedivost - verodostojnost izjave je pravi broj i zavisi od informacija koje su u vezi sa izjavom.
2. Zdrav razum - Verodostojnost treba razumno da varira u zavisnosti od procene verodostojnosti u modelu.
3. Doslednost - Ako verodostojnost izjave može da se izvede na mnogo načina, svi rezultati moraju biti jednaki.

Postulati, kako je navedeno ovde su uzeti od Arnborga i Sjodina. "Zdrav razum" podrazumeva usklađenost sa Aristotelovskom logikom kada su izjave potpuno prihvatljive ili nemoguće.

Postulati onako kako je prvobitno navedeno od strane Koksa nisu matematički rigorozna (mada bolje nego neformalnom opis iznad), na primer, kao što je navedeno od strane Halpern. Međutim, izgleda da je moguće da ih poveća sa raznim matematičkim pretpostavkama implicitno ili eksplicitno od Koksa da se proizvede valjan dokaz.

Koksove aksiome i funkcionalne jednačine su:

• Verodostojnost predlogom određuje verodostojnost negacije predloga; ili smanjuje kao i drugi povećava. Jer, "dvostruka negacija je afirmativna", ovo postaje funkcionalna jednačina

$f(f(x))=x,\,$

rekavši da je funkcija f koja preslikava verovatnoću predloga u verovatnoću negacije predloga involucija, odnosno, da je sama po sebi inverzna.

• Verodostojnost konjukcije [A & B] od dve propozicije A, V, zavisi samo od prihvatljivosti V, i to od A s obzirom da je B je istina. (Iz ovoga Koks na kraju zaključuje da konjukcija verodostojnosti je asocijativna, a zatim da može biti i obično umnožavanje realnih brojeva.) Zbog asocijativne prirode "i" operacije u iskaznoj logici, ovo postaje funkcionalna jednačina i kaže da je funkcija g takva da

$P(A\ {\mbox{and}}\ B)=g(P(A),P(B|A))$

je asocijativna binarna operacija. Svako strogo povećanje asocijativne binarne operacije realnih brojeva je izomorfno umnožavanje brojeva u intervalu [0, 1]. Ova funkcija prema tome može biti uzeta kao množenje.

• Pretpostavimo da je [A & B] ekvivalentno sa [C & D]. Ako steknu nova informacija A i onda steknu dodatne novi informacioni B, i ažurira sve verovatnoće svaki put su ažurirani verovatnoće će biti isti kao da smo prvi put stekao novi informacioni C i zatim stečeno dodatne nove informacije D. S obzirom na činjenicu da množenje verovatnoća može biti shvaćeno obična umnožavanje realnih brojeva, ovo postaje funkcionalna jednačina

$y\,f\left({f(z) \over y}\right)=z\,f\left({f(y) \over z}\right)$

gde je f kao gore.

Koksova teorema implicira da je svaka verovatnoća modela koji zadovoljava postulat ekvivalentna subjektivnom modelu verovatnoće, odnosno, mogu da se konvertuju verovatnoće modela ponovnim skaliranjem.

Implikacije Koksovih postulata

Zakoni verovatnoće izvedeni iz ovih postulata su sledeći. w(A|B) je "verodostojnost" predloga A dodeljenom V, i m je neke pozitivan broj. Dalje, A^C predstavlja apsolutnu dopunu A.

1. Certainty is represented by w(A|B) = 1.
2. For some real number m, w^m(A|B) + w^m(A^C|B) = 1.
3. w(A, B|C) = w(A|C) w(B|A, C) = w(B|C) w(A|B, C).

Važno je napomenuti da postulati podrazumevaju samo ove opšte karakteristike. Možemo oporaviti uobičajene zakone verovatnoće postavljanjem nove funkcije, konvencionalno označene  P ili Pr, jednako w^m.  Tada dobijamo zakone verovatnoće u više poznatom obliku:

1. Određena istina je predstavljena od strane Pr(A|B) = 1, i sigurna neistina od Pr(A|B) = 0. (Ako je m negativno, ovo odgovara određenoj neistini koju zastupa w(A|B) = beskonačno.)
2. Pr(A|B) + Pr(A^C|B) = 1
3. Pr(A, B|C) = Pr(A|C) Pr(B|A, C) = Pr(B|C) Pr(A|B, C).

Pravilo 2 je pravilo za negaciju, i pravilo 3 je pravilo za konjukciju. S obzirom da se bilo koji predlog koji sadrži konjukciju, disjunkciju, a negacija može da se ekvivalentno preformuliše koristeći se veznikom i samom negacijom (konjukcija normalne forme), sada možemo rešiti bilo koje jedinjenje predloga.

Zakoni su tako dobijene vrednosti verovatnoće, ali nisu prebrojive vrednosti. Teorijska mera formulacija Kolmogorova pretpostavlja da je mera verovatnoća prebrojiva vrednost. Malo jači uslov je potreban za dokazivanje određenih teorema.

Interpretacija i dalje diskusije

Koksova teorema se koristi kao jedan od opravdanja za upotrebu Bajesove teorije verovatnoće. Na primer, u Džejnsu je detaljno obrađeno u poglavljima 1 i 2 i predstavlja kamen temeljac za ostatak knjige. Verovatnoća se tumači kao formalni sistem logike, na prirodni nastavak Aristotelovske logike (u kojem svaka izjava je tačna ili netačna) u domenu rezonovanja u prisustvu neizvesnosti.

Raspravljano je u kojoj meri teorema isključuje alternativne modele za rasuđivanje o nesigurnosti. Na primer, ako su neke "neintuitivne" matematičke pretpostavke pale onda alternativa bi mogla biti osmišljena, na primer, obezbeđen primer Halperna. Kako god Arnborg i Sjordin predlažu dodatne "zdravo razumske" postulate, koji će omogućiti da pretpostavke budu opušteni u nekim slučajevima dok je još isključujen Halpern primer. Ostale pristupe su osmislili Hardi ili Dupre i Tipler.

Originalna formulacija Koksove teoreme je u Koksu (1946) koja je dopunjena dodatnim rezultatima i drugim diskusijama u Koksu (1961). Džejns navodi Abel za prvu poznatu upotrebu asocijativnosti funkcionalne jednačine. Acel obezbeđuje dug dokaz o "asocijativnosti jednačine" (pp. 256-267). Džejns (p27) reprodukuje kraći dokaz u Koksu o kojoj diferencijabilnosti se pretpostavlja. Vodič za Kosovu teoremu Van Horn ima za cilj sveobuhvatno uvođenje čitaoca u sve ove reference.

Vidi još

• Aksiome verovatnoće
• Logika verovatnoće