Konstantna funkcija

Konstantna funkcija je funkcija čija se vrednost ne menja, odnosno funkcija čiji je kodomen samo jedna konstantna vrednost.

Definicija

Funkcija f : A → B, koja preslikava skup A u skup B je konstantna funkcija ako za sve vrednosti x i y iz A važi: f(x) = f(y), odnosno ako za sve vrednosti domena daje uvek istu vrednost kodomena.

Konstantna funkcija se obično označava sa f(x) = C, gde C predstavlja konstantu.

Svojstva

Svojstva konstantne funkcije u skladu sa kompozicijom funkcija:

Neka je f : A → B, je konstantna funkcija.

Za sve funkcije g, h : C → A, f o g = f o h, (gde kružić "o" označava kompoziciju funkcija).
Kompozicija f sa bilo kojom drugom funkcijom je takođe konstantna funkcija.

Kako izvod neke funkcije po nekoj promenljivoj pokazuje koliko se funkcija menja sa promenom te promenljive i kako konstantna funkcija ne varira, sledi da je izvod konstantne funkcije 0, odnosno:

Ukoliko je f realna funkcija realne promenljive definisana na nekom intervalu, onda je f konstantna ako i samo ako je njen izvod u svakoj tački 0.

Svojstva konstantne funkcije, koje se ondose na konstantnu funkciju u širem, topološkom smislu:

Svaka konstantna funkcija čiji su domen i kodomen jednaki je idempotentne.
Svaka konstantna funkcija među topoloških prostora je kontinualna.
U povezanom skupu, funkcija je lokalno konstantna ako i samo ako je konstantna.

Konstantna polinomna funkcija

Kod polinomnih funkcija, svaka ne-nula konstantna polinomna funkcija se naziva polinomom nultog stepena. Dakle, polinom $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ bi se nazvao nula polinomom, ako bi mu svi koeficijenti bili nula, odnosno $a_{i}=0$ , gde je i = 0,1,2, ..., n. Polinom $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ bi se nazvao konstantnim polinomom, ako bi svako $a_{i}=0$ , gde je i = 1,2, ..., n, tj. ako bi mu svi koeficijenti osim $a_{0}$ bili nula, gde $a_{0}$ može biti proizvoljno.

Prazna funkcija

Što se tiče prazne funkcije, tj. funkcije čiji je domen prazan skup: $f_{A}:\varnothing \rightarrow A$ , nju se u literaturi može često naći definisanu kao konstantnu funkciju. Međutim, ako se ta funkcija posmatra u topološkim prostorima, dolazi do spornih pitanja treba li je definisati kao konstantnu funkciju ili ne.

Vidi još