Korisnik:DD0814/pesak

Racionalna trigonometrija

Racionalna trigonometrija je predložena reformulacija metričkih planarnih i čvrstih geometrija (koja uključuje trigonometriju) od strane kanadskog matematičara Normana J. Vildbergera, trenutno profesora matematike na Univerzitetu Novi Južni Vels. Njegove ideje iznete su u njegovoj knjizi iz 2005. godine Božanske proporcije: racionalna trigonometrija univerzalnoj geometriji. Prema Novom Naučniku (list New Scientis) , deo njegove motivacije za alternativu tradicionalnoj trigonometriji bio je da se izbegnu neki problemi koje on tvrdi da se javljaju kada se beskonačne serije koriste u matematici. Racionalna trigonometrija izbegava direktnu upotrebu transcendentalnih  funkcija kao što su sinus i kosinus  tako što zamenjuje njihove  kvadratne  ekvivalente. Vildberger inspiriše matematičare koji su prethodili beskonačnoj teoriji seta Georg Cantor-a, kao što su Gauss i Euklid, za koje tvrdi da su daleko više oprezni u korišćenju beskonačnih skupova od modernih matematičara. [2] Matematička literatura.

Pristup

Racionalna trigonometrija prati pristup zasnovan na metodama linearne algebre na teme geometrije osnovne škole. Udaljenost se zamenjuje kvadratnom vrednošću (kvadrantom), a 'ugao' se zamenjuje kvadratnom vrednošću uobičajenog sinusnog odnosa (širenje) povezanog sa bilo kojim uglom između dve linije. (Komplement Spread, poznat kao križ, takođe odgovara skaliranom obliku unutrašnjeg proizvoda između segmenata linije uzetih kao vektori). Tri glavna zakona u trigonometriji - Pitagorina teorema, sinusni zakon i kosinusni zakon - dati su u racionalnoj (kvadratno ekvivalentnoj) formi, a uvećani su sa dva dodatna zakona - trostrukom kvadracijom (koja povezuje kvadrane tri kolinearne tačke). i formulu trostrukog širenja (koja se odnosi na razmake tri istovremene linije) -, dajući pet glavnih zakona subjekta.

Racionalna trigonometrija je inače široko zasnovana na kartezijanskoj analitičkoj geometriji, sa tačkom definisanom kao uređeni par racionalnih brojeva

(x,y)

I linije

ax+bx+c=0,

kao opšta linearna jednačina sa racionalnim koeficijentima a, b i c.

Izbegavanjem izračunavanja koje se oslanjaju na operacije kvadratnog korena koje daju samo približne udaljenosti između tačaka, ili standardne trigonometrijske funkcije (i njihove inverzije), davanje samo skraćenih polinomskih aproksimacija uglova (ili njihovih projekcija) geometrije postaje potpuno algebarsko. Drugim rečima, ne postoji pretpostavka o postojanju rešenja realnog broja problema, već rezultati dati u polju racionalnih brojeva, njihovim ekstenzijama algebarskih polja ili konačnim poljima. Nakon toga, tvrdi se, čini se da mnogi klasični rezultati euklidske geometrije mogu biti primenjeni u racionalnom obliku (kao kvadratni analozi) nad bilo kojim područjem koje nije karakteristično za dva.

Knjiga Božanske  proporcije pokazuje primenu računskog računa koristeći racionalne trigonometrijske funkcije, uključujući trodimenzionalne proračune zapremine. Takođe se bavi i primenom racionalne trigonometrije u situacijama koje uključuju iracionalne, kao što je dokaz da Platonske Krute imaju racionalne 'proširenje' između svojih lica.

Značaj i kritika

Racionalna trigonometrija (RT) se pominje samo u skromnom broju matematičkih publikacija pored Vildbergerovih članaka i knjiga. Božanske proporcije odbacio je recenzent Paul J. Kempbel, u časopisu Matematiks  iz Matematičke Asociacije iz  Amerike (MAA): "autor tvrdi da će ova nova teorija uzeti" manje od pola uobičajenog vremena za učenje ", ali sumnjam u to i to bi ipak trebalo da bude povezano sa tradicionalnim konceptima i notacijom. " Recenzent Vilijam Barker, Isak  Henri Ving, profesor matematike na Bovdoin Koledžu, takođe piše za MAA, bio je više odobravajući: "Božanske  proporcije su nesumnjivo vredan  dodatak matematičkoj literaturi. Pažljivo razvija promišljen, pametan i koristan alternativni pristup. Ne bi bilo iznenađujuće da neki od njegovih metoda u završnici prodru u standardni razvoj ovih predmeta, ali ako ne dođe do neočekivanog pomaka u prihvaćenim pogledima na temelje matematike, onda ne postoji jak slučaj,za racionalnu trigonometriju koja zamenjuje klasičnu teoriju ”[3] Amanda Gefter iz novog naučnika opisala je pristup Vildbergera kao primer finitizma. [2] Džejms Frenklin iz Matematičke inteligencije tvrdi da knjiga zaslužuje pažljivo razmatranje. [4]

Analiza Mihajla  Gilsdorfa o primerima problema koje je Vildberger dao u ranom radu osporio je tvrdnju da je RT zahtevao manje koraka za rešavanje većine problema, ako je slobodna selekcija klasičnih metoda (kao što je 'formula za vezanje' za područje trokuta od koordinate njegovih vrhova ili primenu posebnog slučaja Stjuartove  teoreme direktno na trougao sa medijanom) je dozvoljeno da optimizuje rešenje problema. Što se tiče pedagogije, i da li korišćenje kvadratnih veličina koje je uveo RT nudi stvarne prednosti u odnosu na tradicionalno učenje, autor je primetio da klasična trigonometrija nije u početku zasnovana na upotrebi Teilorovog niza za aproksimaciju uglova uopšte, već na merenjima akorda (dva puta sinus) ugao) i na taj način sa pravilnim razumevanjem učenici bi mogli da iskoriste kontinuirane prednosti korišćenja linearnog merenja bez traženih logičkih nedoslednosti kada se naknadno uvede kružna parametrizacija pod uglom.

Kvadrant

Kvadranca i udaljenost (kao kvadratni koren) mere odvajanje tačaka u euklidskom prostoru. [6] Sledeći Pitagorinu teoremu, kvadranata dve tačke A₁ = (x₁, y₁) and A₂ = (x₂, y₂) u ravni je stoga definisana kao suma kvadrata razlika u  X i Y i koordinate:

Q(A₁,A₂)= (x₂-x₁)^2 +(y₂-y₁)^2

Nejednakost trougla   D_{1<d1+d2   изражава се под рационалном тригонометријом као (Q{3}-Q{1}-Q{2})^{2} 4Q{1}Q{2}}.}

Širenje

Širenje daje jednu meru razdvajanju dve linije kao jedan bezdimenzionalni broj u opsegu [0,1] (od paralelnog do vertikalnog) za euklidsku geometriju. On zamenjuje koncept (i ima nekoliko razlika od) ugla koji se razmatra u odeljku koji sledi. Opisi širenja mogu uključivati:

Trigonometrijski (najosnovniji): sinusni odnos kvadranata u pravom trouglu, ekvivalent kvadratu sinusa ugla (levo). Proširivanjem susedne strane AC formira deo prečnika jedinice u krugu i uzimajući u obzir slične trouglove, širenje se može meriti kao dužina (ili odnos prema prečniku) spoljašnjeg segmenta - više tradicionalno jednak pola puta (1 minus kosinus dvostrukog ugla kod A) ili haversine. Vektor: kao racionalna funkcija kosih (i relativnog pravca) parnih linija gde se sreću. Kartezijanski: kao racionalna funkcija tri koordinate korišćene za pripisivanje dva vektora. Linearna algebra (iz tačkastog proizvoda): normalizovana racionalna funkcija: kvadrat determinante dva vektora (ili para linija koje se ukrštaju) koje formiraju matricu podeljenu proizvodom njihovih kvadranata.

Izračunato širenje

Trigonometrijski

Pretpostavimo da se dve linije, l1 i l2, seku u tački A kao što je prikazano desno. Izaberite tačku B ≠ A na l1 i neka je C podnožje vertikale od B do l2. Onda je širenje s:

Vektor / nagib (dve-varijante)

Kao i ugao, širenje zavisi samo od relativnih nagiba dve linije (stalni termini se eliminišu) i invarijantno je pod prevodom (tj. Sačuvano je kada se linije pomeraju paralelno sa samim sobom). Dakle,data su dva reda čije su jednačine:

a1x+b1y=const i a2x+b2y=const

možemo ih prepisati kao dve linije koje se sastaju na početku (0, 0) sa jednačinama:

a1x+b1y=0 i a2x+b2y=0

U ovoj poziciji tačka (−b1, a1) zadovoljava prvu jednačinu i (- b2, a2) zadovoljava drugu i tri tačke (0, 0), (−b1, a1) i (−b2, a2) formirajući širiny koja će dati tri kvadranta:

Krsni zakon - vidi dole - u smislu širenja

Ovo pojednostavljuje, u brojniku, davanje:

(S je izraz za krst, kvadrat kosinusa bilo kog ugla između para linija ili vektora, koji daje svoje ime ukrštenom zakonu.)

Zatim, koristeći Brahmagupta–Fibonacci identitet

Standardni izraz za rasprostiranje u smislu nagiba (ili pravaca) dviju linija postaje

U ovom obliku (i u njegovom kartezijanskom ekvivalentu koji sledi) raširenost je odnos kvadrata determinante dva vektora (numeratora) prema proizvodu njihovih kvadranata (nazivnik)

Cartesian (tri varijante)

Ovo zamenjuje (- b1, a1) sa (x1, y1), (- b2, a2) sa (x2, y2) i poreklom (0, 0), kao tačku preseka dve linije, sa (x3, y3) ) u prethodnom rezultatu

Širenje u odnosu na ugao

Za razliku od ugla, kojim se može definisati odnos između zraka koji zrače iz tačke, parametrizacijom merenja luka, i gde se par linija može smatrati kao četiri parova, formirajući četiri ugla, 'širenje' je fundamentalnije u racionalnoj trigonometriji, opisujući dve linije jednim merilom racionalne funkcije (vidi gore). Budući da je ekvivalent kvadratu sinusa odgovarajućeg ugla θ (i haversine dvostrukog ugla na bazi akorda Δ = 2θ), širenje oba ugla i njegovog dodatnog ugla su jednaki.

Umesto toga, (podsećajući na dopunsko svojstvo) dva jednaka, ko-terminalna širenja određuju treći raspon, čija će vrednost biti rešenje formule trostrukog širenja za trokut (ili tri istovremene linije) koje imaju razmake s, s y

Pronalaženje trostruke širine isto tako koristi formulu trostrukog širenja kao kvadratnu jednačinu u nepoznatom trećem rasponu koji tretira poznata širenja s i r (prethodno rešenje) kao konstante. Ovo se ispostavlja (nakon eliminisanja 'manjih' rešenja) da bude

Dalji višekratnici bilo kog osnovnog rasprostiranja linija mogu biti generisani nastavkom upotrebe formule trostrukog širenja na ovaj način, ili korišćenjem formule rekurzije (vidi dole) koja se primenjuje indirektno. Dok će bilo koji višak raspona koji je racionalan biti polinom u tom rasponu (i stoga racionalan), u suprotnom se ne primenjuje. Na primer, po formuli polu-ugla, dve linije koje se nalaze pod uglom od 15 ° (ili 165 °) proširile su se.

I tako postoji algebarsko proširenje racionalnih brojeva.

Teorema o periodičnosti rastavljanja

Za svaki ceo broj n i svaki prime p, postoji prirodni broj m takav da je Sn (s) deljiv sa p tačno kada m deli n. Ovaj broj je djelitelj ili p - 1 ili p + 1. Dokaz teoretskog svojstva broja je prvo u radu Shukiang Goh i N. J. Vildberger. To uključuje razmatranje projektovnog analognog u kvadrancu u [konačnoj projektnoj liniji] 'P' ¹ (Fp).

Zakoni racionalne trigonometrije

Vildberger navodi da postoji pet osnovnih zakona u racionalnoj trigonometriji. Takođe se navodi da se ovi zakoni mogu verifikovati korišćenjem matematike srednjoškolskog školi. Neke ekvivalentne standardne trigonometrijske formulacije su izražene kao kvadrante i širine.

U sledećih pet formula imamo trougao od tri tačke A ₁ , A ₂ , A ₃ . Razmaci uglova na tim tačkama su 's' ' ₁ ,' 's' ' ₂ ,' 's' ' _{3 </ sub >}, i K ₁ , K ₂ , K ₃ , su kvadrati suprotne strane trougla A ₁ , A ₂ , A _{3 < / sub>}. Kao u klasičnom trigonometriji, ako znamo tri od šest elemenata 's' ' ₁ ,' 's' ' ₂ ,' 's' ' ₃ , K ₁ , K ₂ , K ₃ , i ova tri nisu ta tri s, možemo izračunati ostala tri.

Formula "Triple kuad"

Tri tačke A ₁ , A ₂ , A ₃ su kolinearne pod uslovom da (K_1 + K_2 + K_3) ^ 2 = 2 (K_1 ^ 2 + K_2 ^ 2 + K_3 ^ 2)

gde K ₁ , K ₂ , K ₃ kvadrante između A ₁ , A ₂ , A ₃ . može se dokazati analitičkom geometrijom (najviše korišćeno sredstvo unutar racionalne trigonometrije) ili izvesti iz Heronove formule, koristeći uslov za kolinearnost da trougao koji čine tri tačke ima nultu oblast.

Pitagorina teorema

Linije A ₁ A ₃ (kvadranta K ₁ ) i A ₂ A ₃ (kvadranta K ₂ ) su okomiti (njihovo širenje je 1) pod uslovom da:

K_1 + K_2 = K_3.

gde K ₃ predstavlja kvadrat između A ₁ i A ₂ .

Ovo je ekvivalentno [Pitagorinoj teoremi].

Postoje mnogi klasični dokazi Pitagorine teoreme; ovo je uokvireno pojmovima racionalne trigonometrije. Širenje ugla je kvadrat njegovog "[sine]". S obzirom na trougao 'ABC' ' sa širenjem 1 između strane AB i AC,

К (АБ) + К (АЦ) = К (БЦ) 

Gde K predstavlja "kvadrant", tj. Kvadratne udaljenosti.

Zakon o proširenju

Za bilo koji trougao 'A' ' ₁ ' 'A' ' ₂ ' 'A' ' ₃ sa kvadrantima različizim od nule

frac {s_1} {K_1} = frac {s_2} {K_2} = frac {s_3} {K_3}. </math>

Ovo je sinusni zakon, samo kvadriran.

Zakon ukrštanja

Za bilo koji triugao 'A' ' ₁ ' 'A' ' ₂ ' 'A' ' ₃

(K_1 + K_2 - K_3) ^ 2 = 4K_1 K_2 (1-s_3).

Ovo je analogno naspram zakona kosinusa. Da se ​​naziva 'pravo pravo' zato što (1 - s ₃ ), kvadrat kosinusa kuta se naziva 'krst'.

Formula trostrukog proširenja

Za bilo koji 'A' ' ₁ ' 'A' ' ₂ ' 'A' ' ₃

(s_1 + s_2 + s_3) ^ 2 = 2 levo (s_1 ^ 2 + s_2 ^ 2 + s_3 ^ 2) + 4s_1 s_ 2 s_ 3.

Ovaj odnos se može izvesti iz formule za Trigonometrijski identitet # Kutni i različiti identiteti sinusa složenog ugla: u trouglu (čija tri ugla sumiraju do 180 °) imamo,

gde (a) = s (b + c) = sin (b) cos (c) + sin (c) cos (b) </math>.

Ekvivalentno, na opisu odnos između širih tr istovremene linije, širenju (kao i ugao) nije pod uticajem kada se strane trougla pomeraju paralelno sa sobom kako bi se sastale u zajedničkoj tački.

Poznavanje dva raspona omogućava da se treća izračuna rešavanjem pridružene kvadratne formule. Pošto se dobijaju dva rešenja, za izbor odgovarajućeg moraju se koristiti i dalje pravila širenja trougla . Iako je ovo čini kompleksnijim od dobijanja dodatnog ugla direktno oduzimanjem, izbegava se iracionalna vrednost 'π' (implicitno prisutna u sumu kuta trougla).

Primer: (proverite zakon o širenju F ₁₃))

Slika (desno) pokazuje trougao tri takve linije u konačnom podešavanju polja F ₁₃ × f ₁₃  :

Svaka linija ima svoj simbol, preseci liniju ( vertices ) koji su označeni sa dva simbola prisutna u tačkama: od konačno polje - ravnina F ₁₃ × f ₁₃ .]]

(2, 8), (9, 9) i (10, 0).

Koristeći Pitagorinu teoremu sa aritmetikom modulo 13, nalazimo da ove strane imaju kvadrante:

(9 - 2) ² + (9 - 8) ² = 50 mod 11 mod 13

(9 - 10) ² + (9 - 0) ² = 82 mod 4 mod 13

(10 - 2) ² + (0 - 8) ² = 128 mod 11 mod 13

Preuređivanje zakona kao

s_3 = 1 - frac {(K_1 + K_2 - K_3) ^ 2} {4K_1 K_2}

daje odvojene izraze za svako širenje, u smislu tri kvadranta:

1 - ( '4 + 11 - 11' ) <sfrac> 2 / 4 '4' × '11' = 1 - 3/ 7 ≡ 8 mod 13

1 - ( '11 + 11 - 4 ') ² / 4' 11 '×' 11 ' = 1 - 12/ 3 13 10 mod 13

1 - ( '4 + 11 - 11' ) ² / 4 '4' × '11' = 1 - 3/ 7 ≡ 8 mod 13

Zauzvrat ćemo primetiti da su svi ovi odnosi jednaki - po zakonu o rasprostranjenju:

8/ 11: 10/ 4: 8/ 11

Pošto se prvi i poslednji odnos poklapaju (čine jednakokraki trougao), samo preliminarno mnoštvo i uzimamo razlike, da bismo pokazali jednakost sa srednjim odnosima:

Inače, standardna euklidska ravnina se sastoji od samo racionalnih tačaka, ℚ × ℚ, izostavljajući bilo koje ne-algebarske brojeve kao rešenja. Svojstva kao što su pojavljivanje objekata, koji predstavljaju rješenje ili 'sadržaj' geometrijskih teorema, stoga slijede teoretski pristup broju koji se išću i koji je restriktivniji od onog koji dopušta realne brojeve. Na primer, nisu sve linije koje prolaze kroz centar kruga se smatraju da odgovaraju krugu na njegovom obimu. Da bi se pojavio incident, takve linije moraju biti u obliku

i nužno ispuniti krug u racionalnoj tački.