Logička negacija

Logička negacija ili logičko ne je unarna logička operacija čija je vrednost tačno kada njen operand ima vrednost netačno, i obrnuto. Drugim rečima, logička negacija pretvara tačno u netačno, a netačno u tačno. Može se primeniti kao rad na predlozima, istinitnim vrednostima ili semantičkim vrednostima uopšte. U klasičnoj logici, negacija se obično identifikuje sa funkcijom istine koja uzima istinu za obmanu i obrnuto. U intuitivnoj logici, prema BHK-om tumačenju, negacija predloga $p$ je predlog $p$ čiji dokazi su demanti od $p$.

Obeležavanje

U matematičkoj logici, logička negacija se obeležava znakom $\lnot$. Tako, logička negacija iskaza $p$ bi se pisala $\lnot p$ i čitala „ne p“.

Klasična negacija je logička operacija nad jednom logičkom vrednosti, obično vrednost predloga, koji proizvodi vrednost tačno kada je njen operand netačno i netačno kada je njen operand istina. Dakle, ako je izjava A istinita, onda ¬A (izgovara se "ne A") će stoga biti lažna, i obrnuto, ako je ¬A istina, onda bi A bio lažan.

Tablice istinitosti za ¬p:

Tablica istinitosti za ¬p

p	¬p
Tačno	Netačno
Netačno	Tačno

Pored ove notacije, u praksi se koriste još i ${\bar {p}}$ (čita se „p konjugovano“) i $p'\!$ (čita se „p prim“ ili „p komplement“).

Klasična negacija može da se definiše u smislu drugih logičkih operacija. Na primer, ¬p se može definisati kao p → F, gde je "→" je posledica i F ' je apsolutna neistina. Nasuprot tome, može se definisati F kao p & ¬p za bilo koji predlog p, gde je "&" konjunkcija. Ideja je da je svaka protivrečnost lažna. Dok ove ideje rade i u klasičnoj i u intuiticionoj logici, oni ne rade u Brazilskoj logici, gde protivrečnosti nisu nužno lažne. Ali, u klasičnoj logici, mi smo dobili još identiteta:p → q se može definisati kao ¬p ∨ q, gde "∨" je disjunkcija: "ne p ili q".

Algebarski, klasična negacija odgovara komplementarnosti u Bulovoj algebri, a intuiticiono negiranje za pseudo komplementarnost u Heyting algebra. Ove algebre daju semantiku za klasične i intuitivne logike respektivno.

Tabela istinitosti

Negacija p je označena na različite načine u različitim kontekstima rasprave i polja primene. Među ovim varijantama Tablice istinitosti za logičku negaciju glasi:

Obeležavanje	Vokalizacija
¬p	ne p
−p	ne p
~p	ne p
Np	en p
$p'\!$	p prim, p komplement
${\bar {p}}$	p bar, bar p
$!p\!$	bang p ne p

Bez obzira na to kako je zabeleženo ili simbolizovano, negacija ¬p / −p može se čitati kao "to nije slučaj da je p" , "ne to p", ili obično, više jednostavno kao "ne p".

Osobine

Dvostruka negacija

• U okviru sistema klasične logike, dvostruke negacije, odnosno, negacija negiranog iskaza $p$, je logički ekvivalentna početnom iskazu $p$. Simbolički zapisano, $\lnot \lnot p\Leftrightarrow p$ ¹

U intuitivnoj logici, predlog podrazumeva dvostruku negaciju, ali ne i obrnuto. Ovo predstavlja jednu bitnu razliku između klasične i intuicione negacije. Algebarski, klasična negacija se zove zapetljanje od dva perioda.

^{1 U sistemu intuicionističke logike, $\lnot \lnot p$ je iskaz slabiji od $p$. S druge strane, logička ekvivalencija $\lnot \lnot \lnot p\Leftrightarrow \lnot p$ je i dalje tačna.}

Distibutivnost

De Morganovi zakoni pružaju način distribuciju negacije nad disjunkcijom i konjunkcijom:

$\neg (a\vee b)\equiv (\neg a\wedge \neg b)$,  and

$\neg (a\wedge b)\equiv (\neg a\vee \neg b)$.

Linearnost

U Bulovoj algebri, linearna funkcija je:

Ako postoji a₀, a₁, ..., a_n $\in$ {0,1} tako da je f(b₁, ..., b_n) = a₀ ⊕ (a₁ $\land$ b₁) ⊕ ... ⊕ (a_n $\land$ b_n), for all b₁, ..., b_n $\in$ {0,1}. Još jedan način da se izrazi to je da svaka promenljiva uvek pravi razliku u istinitnoj vrednosti za operaciju ili ne pravi razliku. Negacija je linearni logički operator.

Pravila zaključivanja

Postoji više ekvivalentnih načina da se formulišu pravila za negaciju. Jedan uobičajeni način formulisanja klasične negacije u prirodnu dedukciju je da se postave primitivna pravila zaključivanja negiranja uvođenja (od izvođenjap za i q i ¬ q, zaključiti ¬p; ovo pravilo se zove reductio ad absurdum), negacija eliminacije (iz p i ¬p zaključiti q; ovo pravilo se zove ex falso quodlibet), a dvostruka negacija eliminacije (od ¬¬p zaključiti p). Dobijaju se pravila za intuicionu negaciju na isti način, ali isključujući eliminaciju dvostruke negacije.

Negacija u uvodu stoji da ako se apsurd može izvući kao zaključak iz p onda p ne mora da bude slučaj (tj. p' je netačno (klasično) ili opovrgljiva ili sl). Negacija eliminacija navodi da bilo šta sledi iz apsurda. Ponekad negacija eliminacija je formulisana pomoću primitivnog apsurdnog znaka ⊥. U ovom slučaju pravilo kaže da je od p i ¬p sledi apsurd. Zajedno sa dvostrukom negacijom eliminacije može se zaključiti naše prvobitno formulisano pravilo, a to je da bilo šta sledi iz apsurda.

Tipična intuiciona negacija ¬p od p se definiše kao p→⊥. Onda negacija uvoda i eliminacija su samo posebni slučajevi implicitnog uvođenja (conditional proof) i eliminacije (modus ponens). U tom slučaju mora se takođe dodati kao primitivno pravilo ex falso quodlibet.

Računarstvo

Programiranje

Logička negacija se u računarstvu koristi analogno svom značenju u logici i matematici, dakle u gradnji logičkih iskaza. U zavisnosti od programskog jezika zapisuje se na različite načine. Na primer, u programskom jeziku C se obeležava znakom !, u Paskalu engleskom rečju NOT itd. Sledi primer programskog koda zapisanog na programskom jeziku C koji koristi logičku negaciju:

if (!(r == t)) /* ако није тачно да је r једнако t... */
{
    /* ... изврши ове инструкције */
}

Neki programski jezici podržavaju i izvršavanje logičke negacije nad pojedinačnim bitovima neke memorijske lokacije. Tada se svi bitovi koji imaju vrednost 1 posmatraju kao „tačno“ (T) a svi bitovi vrednosti 0 kao „netačno“ (⊥). Operacija te bitovske logičke negacije kao rezultat ima vrednost čiji su svi bitovi suprotni odgovarajućim bitovima početne vrednosti. Na primer:

${\begin{alignedat}{2}\\45=&00101101\\\lnot 45=&11010010=210\end{alignedat}}$

"!" označava logično NE u programskim jezicima B, C i jezicima sa C-nadahnutom sintaksiom kao što su C++, Java, Javaskript, Perl, i PHP. "NOT" je operator koji se koristi u ALGOL 60, Bejsik, i jezicima sa ALGOL- ili BASIC- inspirisanom sintaksom, kao što su Paskal, Ada, Eiffel i Seed7. Neki jezici (C++, Perl...) daju više od jednog operatera za negaciju. Nekoliko jezika kao što su PL/I iRatfor koriste ¬ za negaciju. Neki moderni računari i operativni sistemi će se prikazati ¬ kao ! na fajlove snimljene u ASCII. Većina modernih jezika dozvoljavaju izjavu da se skrati od if (!(r == t)) uif (r != t), što omogućava ponekad , kada prevodilac/tumač nije u stanju da ga optimizuje, brže programe.

U računarstvu postoji negacija nad bitovima. Ovo uzima vrednost datu i prebacuje sve binarne 1s u 0s i 0s u 1s. Pogledajte operacije nad bitovima. Ovo se često koristi za kreiranje ili "~" u C ili C++ i (samo pojednostavljena"-" ili negativan znak, jer to je ekvivalentno uzimanje aritmetičke negativne vrednosti broja), jer u osnovi stvara suprotno (negativna vrednost) ili matematički komplement (gde su obe vrednosti sabiraju i tako stvaraju celinu).

Da biste dobili apsolutnu (pozitivan ekvivalent) vrednost datog celog broja sledeći će raditi kao"-" menjamenjajući ga od negativnog ka pozitivnom (to je negativano, jer "x < 0" prinosi tačno)

    unsigned int abs(int x)
    {
        if (x < 0)
            return -x;
        else
            return x;
    }

Demonstriranje logičke negacije:

    unsigned int abs(int x)
    {
        if (!(x < 0))
            return x;
        else
            return -x;
    }

Invertujući uslov i obrnuti rezultat daje kod koji je logički ekvivalentan na originalni kod, odnosno imatće iste rezultate za bilo koji ulaz (imajte na umu da u zavisnosti od kompajlera koji se koristi, aktuelne instrukcije koje obavlja računar mogu se razlikovati).

U vezi sa računarima sleng za ne. Fraza !гласање, na primer, znači "ne glasaju“.!

Vidi još

• Logičke operacije

Literatura

• Gabbay, Dov, and Wansing, Heinrich, eds., 1999. What is Negation?, Kluwer.
• Horn, L., 2001. A Natural History of Negation, University of Chicago Press.
• G. H. von Wright, 1953–59, "On the Logic of Negation", Commentationes Physico-Mathematicae 22.
• Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
• Tettamanti, Marco; Manenti, Rosa; Della Rosa, Pasquale A.; Falini, Andrea; Perani, Daniela; Cappa, Stefano F.; Moro, Andrea (2008). „Negation in the brain: Modulating action representation”. NeuroImage. 43 (2): 358—367. doi:10.1016/j.neuroimage.2008.08.004. 

Spoljašnje veze

• Alt-Usage-English.org, Postfiksno „ne“ (jezik: engleski)
• MathWorld.Wolfram.com, Logičko „ne“ (jezik: engleski)