Nejednakosti između brojevnih sredina su neophodan matematički instrument za dokazivanje mnogih drugih nejednakosti.
Poznato je da je harmonijska sredina manja ili jednaka geometrijskoj, geometrijska manja ili jednaka aritmetičkoj, aritmetička manja ili jednaka kvadratnoj, kvadratna manja ili jednaka kubnoj i td...
Ako je:
H - harmonijska sredina
G - geometrijska sredina
A - aritmetička sredina
K - kvadratna sredina
- minimalni član
- maksimalni član
tada važi:
![{\displaystyle min(x_{1},...,x_{n})\leq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot ...\cdot x_{n}}}\leq {x_{1}+...+x_{n} \over n}\leq {\sqrt[{}]{\frac {{x_{1}}^{2}+...+{x_{n}}^{2}}{n}}}\leq max(x_{1},...,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3a95dc7bee4216536117c1b41f90926fe13c55)
Nejednakost aritmetičke i geometrijske sredine. Dokaz indukcijom[uredi | uredi izvor]
Najpre dokazujemo da za realne brojeve x1 < 1 and x2 > 1 sledi
Zaista, množenje obe strane nejednakosti x2 > 1 sa 1 – x1, daje
odakle neposredno sledi tražena nejednakost.
Sada ćemo dokazati da za pozitivne realne brojeve x1, . . . , xn, koji zadovoljavaju
jednakost x1 . . . xn = 1, važi
Znak jednakost stoji samo ako je x1 = ... = xn = 1.
Indukcijska provera: Za n = 2 tvrđenje je tačno na osnovu gornje nejednakosti.
Indukcijska pretpostavka: Pretpostavimo da je tvrđenje tačne za prvih n – 1 prirodnih brojeva.
Indukcijski korak: Razmotrimo slučaj kada za n pozitivnih realnih brojeva x1, . . . , xn, važi x1 . . . xn = 1. Kako postoji bar jedan broj xk < 1, postoji bar jedan xj > 1. Neće se izgubiti na opštosti, ako dopustimo da je k =n – 1 and j = n.
Dalje, jednakost x1 . . . xn = 1 napišimo u obliku (x1 . . . xn–2) (xn–1 xn) = 1. Tada, iz indukcijske pretpostavke, sledi
Međutim, uzimajući u obzir indukcijsku proveru, imamo
čime je dokazano tvrđenje.
Sada, za pozitivne realne brojeve a1, . . . , an, označimo
![{\displaystyle x_{1}={\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}},...,x_{n}={\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417da2ea0d3d6e2e39973e3f00e9f5ff2847bf72)
Kako brojevi x1, . . . , xn zadovoljavaju uslov
x1 . . . xn = 1, imamo
![{\displaystyle {\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}\geq n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec3d5278825ef9a40b8eff6acea290170e34892)
čime se dobija nejednakost aritmetičke i geometrijske sredine
![{\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f0231cd0d3f2cac2cf48e696e6beb4e883dd82)
pri čemu jednakost važi samo za a1 = ... = an = 1.
Ukoliko za pozitivne realne brojeve a1, . . . , an, stavimo
![{\displaystyle x_{1}={\frac {\frac {1}{a_{1}}}{\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a_{1}}}\cdots {\frac {1}{a_{n}}}}}},...,x_{n}={\frac {\frac {1}{a_{n}}}{\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a_{1}}}\cdots {\frac {1}{a_{n}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1ccb82b1b19a1fff138773ad723ea792342663)
uočavamo da je x1 . . . xn = 1, pa je
![{\displaystyle {\frac {\frac {1}{a_{1}}}{\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a_{1}}}\cdots {\frac {1}{a_{n}}}}}}+\cdots +{\frac {\frac {1}{a_{n}}}{\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a_{1}}}\cdots {\frac {1}{a_{n}}}}}}\geq n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d4fedb4e04f86e6df57d9bc434e9c8f25b74f1)
odakle se dobija nejednakost geometrijske i harmonijske sredine
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\cdots {\frac {1}{a_{n}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75280d2211e64d8e0259cc007c0a492bc425622)
