Normalna raspodela

Gustina verovatnoće normalne raspodele sa različitim parametrima. Zelenom bojom je predstavljena normalna normirana raspodela.

Normalna raspodela ili Gausova raspodela, je važna familija neprekidnih raspodela verovatnoće, sa primenama u mnogim poljima. Članovi familije normalne raspodele su definisani preko dva parametra, matematičko očekivanje, i varijansa (disperzija) σ². Normalna normirana raspodela je normalna raspodela sa očekivanjem jednakim nuli, i varijansom jednakom jedan (zelena kriva na slici desno). Karl Fridrih Gaus se dovodi u vezu sa ovim skupom raspodela, jer je pomoću njih analizirao astronomske podatke, i definisao jednačinu funkcije gustine normalne raspodele.

Važnost normalne raspodele kao modela kvantitativnih fenomena u prirodnim i društvenim naukama je posledica centralne granične teoreme. Mnoga psihološka merenja i fizički fenomeni se mogu dobro aproksimirati normalnom raspodelom. Iako su mehanizmi koji leže u osnovi ovih fenomena često nepoznati, upotreba modela normalne raspodele se teoretski opravdava pretpostavkom da mnogo malih, nezavisnih uticaja aditivno doprinose svakoj opservaciji.

Normalna raspodela se javlja i u mnogim oblastima statistike. Na primer, srednja vrednost uzorka ima približno normalnu raspodelu, čak i ako raspodela verovatnoće populacije iz koje se uzorak uzima nije normalna. Normalna raspodela je najčešće korišćena familija raspodela u statistici, i mnogi statistički testovi su bazirani na pretpostavci normalnosti. U teoriji verovatnoće, normalne raspodele se javljaju kao granične raspodele više neprekidnih i slučajnih familija raspodela.

Definicija

Slučajna promenljiva $X$ sa raspodelom verovatnoće $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{>0},\ x\mapsto f(x)$

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)$

ima normalnu raspodelu sa parametrima $\mu$, $\sigma$, što se piše kao $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ili $(\mu ,\sigma ^{2})$, gde je $\mu$ matematičko očekivanje i $\sigma$ standardna devijacija.

Funkcija raspodele verovatnoće normalne raspodele data je izrazom: $F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\mathrm {d} t.$

Funkcija raspodele verovatnoće standardne normalne raspodele $\varphi _{0;1}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}$

To je gustina verovatnoće za standardnu normalnu raspodelu ($\mu =0,\ \sigma =1$). Intervali na rastojanju 1, 2 i 3 standardne devijacije od matematičkog očekivanja 0 zauzimaju 68%, 95,5% i 99,7% površine ispod zvonaste krive. Isti procenti važe za svaku normalnu raspodelu, bez obzira na matematičko očekivanje i standardnu devijaciju. Treba primetiti da gustina normalne raspodele nikada ne dostiže 0, dakle važi $f(x)>0$ za sve realne vrednosti $x$.

Normalna raspodela je granični slučaj centralne granične teoreme koji nikada nije savršen u praksi. Međutim, konvergencija zbirne vrednosti slučajnih promenljivih raste vrlo brzo sa povećanjem broja promenljivih n. Zbir 30 ili 40 nezavisnih slučajnih promenljivih, koje pripadaju identičnom i proizvoljnom tipu raspodele verovatnoće, već je veoma blizak normalnoj raspodeli.

Osobine

Simetrija

Graf funkcije normalne raspodele $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ je zvonasta Gausova kriva, čija visina i širina zavisi od parametra $\sigma$. Kriva je osno simetrična oko ose $x=\mu$. Njena kumulativna funkcija $F$ ima centralnu simetriju oko tačke $P(\mu |0,5)$.

Maksimum i prevojne tačke funkcije raspodele verovatnoće

Izračunavanjem prvog i drugog izvoda možemo izračunati maksimum i prevojne tačke funkcije normalne raspodele. Prvi izvod funkcije raspodele verovatnoće je

$f'(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).$

Maksimum se nalazi u tački $x_{\mathrm {max} }=\mu$, gde iznosi $f_{\mathrm {max} }={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}.$

Drugi izvod glasi:

$f''(x)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}-1\right)f(x).$

Otuda zaključujemo da se prevojne tačke nalaze na koordinatama $x=\mu \pm \sigma$.

Normiranje

Ukupna površina ispod Gausove zvonaste krive je tačno 1, što je odraz činjenice da je verovatnoća sigurnog događaja 1. Odatle sledi da od dve Gausove krive koje imaju isto $\mu$, ali različitu vrednost $\sigma$, ona sa većim $\sigma$ je šira i niža nego ona druga. Dve Gausove krive sa sa jednakim $\sigma$ i različitim $\mu$ imaju grafike koji izgledaju istovetno, osim što su pomereni po $x$-osi za iznos razlike dve vrednosti $\mu$.

Normiranje Gausove krive se izvodi na sledeći način.

Definišimo

$A:=\lim _{x\to \infty }F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\mathrm {d} t.$

Da bi raspodela $F$ bila normirana, mora važiti $A=1$.

Integral ćemo uprostiti korišćenjem linearne supstitucije $\tau ={\frac {t-\mu }{\sigma }}$, a onda važi $\tau '(t)={\frac {1}{\sigma }}$

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau (t)^{2}\right)\tau '(t)\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau ^{2}\right)\mathrm {d} \tau .\end{aligned}}$

Kao što smo i očekivali, vrednost $A$ je nezavisna od parametara $\sigma$ i $\mu$.

• Vidi još: integral funkcije greške.

Izračunavanje

Direktna primena integrala za izračunavanje površine ispod Gausove krive nije moguća, jer se ona ne može svesti na elementarne funkcije poznatih integrala. Ranije su se za njeno izračunavanje koristile tabele. Danas je funkcija za izračunavanje ovog integrala dostupna na kalkulatorima i računarima. Tabele ovog integrala se ne daju za odabrane vrednost $\mu$- i $\sigma$, već samo za standardnu normalnu raspodelu sa parametrima $\mu =0$ i $\sigma =1$ (normirana normalna raspodela). Za ostale vrednosti ovih parametara potrebno je preračunavanje.

Tabele takođe daju vrednosti kumulativne funkcije verovatnoće $\Phi$, poznate i kao Gausov integral greške:

$\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{z}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t$

Po analogiji, odgovarajuća normirana funkcija gustine verovatnoće $f$ označava se sa $\phi$.

Matematičko očekivanje

Normalna raspodela ima sledeće matematičko očekivanje

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\operatorname {d} x=\mu$.

Varijansa i standardna devijacija

Vrednost varijanse normalne raspodele je

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{2}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\operatorname {d} x=\sigma ^{2}$.

Za vrednost standardne devijacije dobijamo

${\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}=\sigma$.

Literatura

• Aldrich, John; Miller, Jeff. „Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics”. 
• Aldrich, John; Miller, Jeff. „Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics”.  In particular, the entries for "bell-shaped and bell curve", "normal (distribution)", "Gaussian", and "Error, law of error, theory of errors, etc.".
• Amari, Shun-ichi; Nagaoka, Hiroshi (2000). Methods of Information Geometry. Oxford University Press. ISBN 978-0-8218-0531-2. 
• Bernardo, José M.; Smith, Adrian F. M. (2000). Bayesian Theory. Wiley. ISBN 978-0-471-49464-5. 
• Bryc, Wlodzimierz (1995). The Normal Distribution: Characterizations with Applications. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97990-8. 
• Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Statistical Inference (2nd izd.). Duxbury. ISBN 978-0-534-24312-8. 
• Cody, William J. (1969). „Rational Chebyshev Approximations for the Error Function”. Mathematics of Computation. 23 (107): 631—638. doi:10.1090/S0025-5718-1969-0247736-4 . 
• Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2006). Elements of Information Theory. John Wiley and Sons. 
• de Moivre, Abraham (1738). The Doctrine of Chances. ISBN 978-0-8218-2103-9. 
• Fan, Jianqing (1991). „On the optimal rates of convergence for nonparametric deconvolution problems”. The Annals of Statistics. 19 (3): 1257—1272. JSTOR 2241949. doi:10.1214/aos/1176348248 . 
• Galton, Francis (1889). Natural Inheritance (PDF). London, UK: Richard Clay and Sons. 
• Galambos, Janos; Simonelli, Italo (2004). Products of Random Variables: Applications to Problems of Physics and to Arithmetical Functions. Marcel Dekker, Inc. ISBN 978-0-8247-5402-0. 
• Gauss, Carolo Friderico (1809). Theoria motvs corporvm coelestivm in sectionibvs conicis Solem ambientivm [Theory of the Motion of the Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections] (na jeziku: latinski). English translation. 
• Gould, Stephen Jay (1981). The Mismeasure of Man (first izd.). W. W. Norton. ISBN 978-0-393-01489-1. 
• Halperin, Max; Hartley, Herman O.; Hoel, Paul G. (1965). „Recommended Standards for Statistical Symbols and Notation. COPSS Committee on Symbols and Notation”. The American Statistician. 19 (3): 12—14. JSTOR 2681417. doi:10.2307/2681417. 
• Hart, John F.; et al. (1968). Computer Approximations. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-88275-642-4. 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Normal Distribution”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Herrnstein, Richard J.; Murray, Charles (1994). The Bell Curve: Intelligence and Class Structure in American Life. Free Press. ISBN 978-0-02-914673-6. 
• Huxley, Julian S. (1932). Problems of Relative Growth. London. ISBN 978-0-486-61114-3. OCLC 476909537. 
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. Wiley. ISBN 978-0-471-58495-7. 
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2. Wiley. ISBN 978-0-471-58494-0. 
• Karney, C. F. F. (2016). „Sampling exactly from the normal distribution”. ACM Transactions on Mathematical Software. 42 (1): 3:1—14. S2CID 14252035. arXiv:1303.6257 . doi:10.1145/2710016. 
• Kinderman, Albert J.; Monahan, John F. (1977). „Computer Generation of Random Variables Using the Ratio of Uniform Deviates”. ACM Transactions on Mathematical Software. 3 (3): 257—260. S2CID 12884505. doi:10.1145/355744.355750. 
• Krishnamoorthy, Kalimuthu (2006). Handbook of Statistical Distributions with Applications. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-635-8. 
• Kruskal, William H.; Stigler, Stephen M. (1997). Spencer, Bruce D., ur. Normative Terminology: 'Normal' in Statistics and Elsewhere. Statistics and Public Policy. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852341-3. 
• Laplace, Pierre Simon (1986). „Memoir on the Probability of the Causes of Events”. Statistical Science. 1 (3): 364—378. ISSN 0883-4237. JSTOR 2245476. Pristupljeno 2. 1. 2024. 
• Laplace, Pierre-Simon (1812). Théorie analytique des probabilités [Analytical theory of probabilities]. 
• Le Cam, Lucien; Lo Yang, Grace (2000). Asymptotics in Statistics: Some Basic Concepts (second izd.). Springer. ISBN 978-0-387-95036-5. 
• Leva, Joseph L. (1992). „A fast normal random number generator” (PDF). ACM Transactions on Mathematical Software. 18 (4): 449—453. CiteSeerX 10.1.1.544.5806 . S2CID 15802663. doi:10.1145/138351.138364. Arhivirano iz originala (PDF) 16. 7. 2010. g. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Lexis, Wilhelm (1878). „Sur la durée normale de la vie humaine et sur la théorie de la stabilité des rapports statistiques”. Annales de Démographie Internationale. Paris. II: 447—462. 
• Lukacs, Eugene; King, Edgar P. (1954). „A Property of Normal Distribution”. The Annals of Mathematical Statistics. 25 (2): 389—394. JSTOR 2236741. doi:10.1214/aoms/1177728796 . 
• McPherson, Glen (1990). Statistics in Scientific Investigation: Its Basis, Application and Interpretation. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97137-7. 
• Marsaglia, George; Tsang, Wai Wan (2000). „The Ziggurat Method for Generating Random Variables”. Journal of Statistical Software. 5 (8). doi:10.18637/jss.v005.i08 . 
• Marsaglia, George (2004). „Evaluating the Normal Distribution”. Journal of Statistical Software. 11 (4). doi:10.18637/jss.v011.i04 . 
• Maxwell, James Clerk (1860). „V. Illustrations of the dynamical theory of gases. — Part I: On the motions and collisions of perfectly elastic spheres”. Philosophical Magazine. Series 4. 19 (124): 19—32. doi:10.1080/14786446008642818. 
• Monahan, J. F. (1985). „Accuracy in random number generation”. Mathematics of Computation. 45 (172): 559—568. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0804945-X . 
• Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. (1996). Handbook of the Normal Distribution (2nd izd.). CRC Press. ISBN 978-0-8247-9342-5. 
• Pearson, Karl (1901). „On Lines and Planes of Closest Fit to Systems of Points in Space” (PDF). Philosophical Magazine. 6. 2 (11): 559—572. doi:10.1080/14786440109462720. Arhivirano iz originala (PDF) 22. 06. 2018. g. Pristupljeno 08. 11. 2021. 
• Pearson, Karl (1905). „'Das Fehlergesetz und seine Verallgemeinerungen durch Fechner und Pearson'. A rejoinder”. Biometrika. 4 (1): 169—212. JSTOR 2331536. doi:10.2307/2331536. 
• Pearson, Karl (1920). „Notes on the History of Correlation”. Biometrika. 13 (1): 25—45. JSTOR 2331722. doi:10.1093/biomet/13.1.25. 
• Rohrbasser, Jean-Marc; Véron, Jacques (2003). „Wilhelm Lexis: The Normal Length of Life as an Expression of the "Nature of Things"”. Population. 58 (3): 303—322. doi:10.3917/pope.303.0303. 
• Shore, H (1982). „Simple Approximations for the Inverse Cumulative Function, the Density Function and the Loss Integral of the Normal Distribution”. Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics). 31 (2): 108—114. JSTOR 2347972. doi:10.2307/2347972. 
• Shore, H (2005). „Accurate RMM-Based Approximations for the CDF of the Normal Distribution”. Communications in Statistics – Theory and Methods. 34 (3): 507—513. S2CID 122148043. doi:10.1081/sta-200052102. 
• Shore, H (2011). „Response Modeling Methodology”. WIREs Comput Stat. 3 (4): 357—372. doi:10.1002/wics.151. 
• Shore, H (2012). „Estimating Response Modeling Methodology Models”. WIREs Comput Stat. 4 (3): 323—333. doi:10.1002/wics.1199. 
• Stigler, Stephen M. (1978). „Mathematical Statistics in the Early States”. The Annals of Statistics. 6 (2): 239—265. JSTOR 2958876. doi:10.1214/aos/1176344123 . 
• Stigler, Stephen M. (1982). „A Modest Proposal: A New Standard for the Normal”. The American Statistician. 36 (2): 137—138. JSTOR 2684031. doi:10.2307/2684031. 
• Stigler, Stephen M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-40340-6. 
• Stigler, Stephen M. (1999). Statistics on the Table. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-83601-3. 
• Walker, Helen M. (1985). „De Moivre on the Law of Normal Probability” (PDF). Ur.: Smith, David Eugene. A Source Book in Mathematics. Dover. ISBN 978-0-486-64690-9. 
• Wallace, C. S. (1996). „Fast pseudo-random generators for normal and exponential variates”. ACM Transactions on Mathematical Software. 22 (1): 119—127. S2CID 18514848. doi:10.1145/225545.225554. 
• Weisstein, Eric W. „Normal Distribution”. MathWorld. 
• West, Graeme (2009). „Better Approximations to Cumulative Normal Functions” (PDF). Wilmott Magazine: 70—76. Arhivirano iz originala (PDF) 24. 08. 2009. g. Pristupljeno 08. 11. 2021. 
• Zelen, Marvin; Severo, Norman C. (1964). Probability Functions (chapter 26). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, by Abramowitz, M.; and Stegun, I. A.: National Bureau of Standards. New York, NY: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Normal distribution”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Normal distribution calculator, More powerful calculator Arhivirano na sajtu Wayback Machine (15. mart 2022)