Određeni integral

Određeni (ili Rimanov) integral je proistekao iz problema površine koji datira još iz antičke Grčke. Problem kvadrature parabole je postavio Arhimed, i to rešenje se smatra jednim od prvih značajnih rezultata matematičke analize. Uvođenje određenog i neodređenog integrala u matematiku nije bilo vezano jedno za drugo, te se i njihovo definisanje razlikuje. Određeni integral se definiše kao površina između funkcije i apscise, a neodređeni integral kao obrnuti problem nalaženja izvoda. Tek se kasnije ispostavilo, postavljanjem Njutn-Lajbnicove formule, da između određenog i neodređenog integrala postoji velika relacija.

Definicija

Funkcija $f$ je definisana na odsečku $\left[a,b\right]$. Definišimo podelu $\Pi$ kao uređenu $\left(n+1\right)$ -torku brojeva $\left(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\right)$ takvu da je $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}=b$, i u okviru nje izberimo brojeve $\xi =\left(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}\right)$, tako da važi $\xi _{i}\in \left[x_{i-1},x_{i}\right]$. Označimo sa $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ razliku između 2 člana podele. Tada je skup $\left\{\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}\right\rbrace$ konačan skup realnih brojeva, pa on ima svoj najveći element. Označimo taj element sa $\delta$.

Realnim brojem $I$ nazivamo određeni integral funkcije $f$ na intervalu $\left[a,b\right]$, ako za svako $\epsilon$ postoji $\delta$, takvo da je za svaku podelu $\Pi$ za koju važi da je njen parameter manji od $\delta$, tj. $d\left(\Pi \right)<\delta$, ispunjeno:

$\left|\sum _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\Delta x_{i}-I\right\vert <\epsilon$

To se drugačije može zapisati kao:

$I=\lim _{d\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\Delta x_{i}'=\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx,$

gde je $\int _{a}^{b}$ zapis za sumu od $a$ do $b$ kada $\delta$ teži nuli (time i $n$ teži beskonačnosti), a $\Delta x_{i}$ je zamenjeno diferencijalom, pošto je diferencijal u nekoj tački zapravo priraštaj po $x$-osi u toj tački, što je i smisao $\Delta x_{i}$ kada $\delta$ teži nuli.

Ako postoji određeni integral funkcije $f$ na intervalu $\left[a,b\right]$, kažemo da je funkcija $f$ integrabilna na $\left[a,b\right]$.

Vidi još

• Neodređeni integral
• Darbuove sume

Literatura

• Zoran Kadelburg, Vladimir Mićić, Srđan Ognjanović: “Analiza sa Algebrom, udžbenik za 4. razred Matematičke gimnazije”
• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: "Matematička analiza 1", Studentski trg, Beograd, 1995.
• Apostol Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1. 
• Nicolas, Bourbaki (2004). Integration I. Springer Verlag. ISBN 978-3-540-41129-1. . In particular chapters III and IV.
• Burton David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6th izd.). McGraw-Hill. str. 359. ISBN 978-0-07-305189-5. 
• Florian, Cajori (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing Company. str. 247—252. ISBN 978-0-486-67766-8. 
• Germund, Dahlquist; Åke, Björck (2008). „Chapter 5: Numerical Integration”. Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. Arhivirano iz originala 15. 06. 2007. g. Pristupljeno 14. 02. 2012. 
• Folland Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-80958-6. 
• Fourier Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur. Chez Firmin Didot, père et fils. str. §231. 
  Available in translation as Joseph, Fourier (1878). The analytical theory of heat. Freeman, Alexander (trans.). Cambridge University Press. str. 200—201. 
• Heath T. L., ur. (2002). The Works of Archimedes. Dover Publications. ISBN 978-0-486-42084-4. 
  (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
• Hildebrandt T. H. (1953). Integration in abstract spaces. Bulletin of the American Mathematical Society. 59. str. 111—139. ISSN 0273-0979. 
• David, Kahaner; Cleve, Moler; Stephen, Nash (1989). „Chapter 5: Numerical Quadrature”. Numerical Methods and Software. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-627258-8. 
• Wilhelm, Leibniz Gottfried (1899). Immanuel, Karl, ur. Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Berlin: Mayer & Müller. 
• Jeff, Miller. Earliest Uses of Symbols of Calculus. Pristupljeno 22. 11. 2009. 
• O’Connor J. J., Robertson E. F. (1996). A history of the calculus. Pristupljeno 9. 7. 2007. 
• Walter, Rudin (1987). „Chapter 1: Abstract Integration”. Real and Complex Analysis (International izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-9. 
• Stanisław, Saks (1964). Theory of the integral (English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised izd.). New York: Dover. 
• Josef, Stoer; Roland, Bulirsch (2002). „Chapter 3: Topics in Integration”. Introduction to Numerical Analysis (3rd izd.). Springer Science Business Media. ISBN 978-0-387-95452-3. .
• W3C (2006). Arabic mathematical notation. 
• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques

Spoljašnje veze

• Rimanova suma
• Uvod u određene integrale