S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Povorka impulsa kao beskonačni red Dirakovih delta funkcija na intervalima od T . U matematici povorka impusla (takođe Dirakov češalj i funkcija odabiranja u elektrotehnici ) je periodična Švarcova raspodela sačinjena od Dirakovih delta funkcija .
Δ
T
(
t
)
=
d
e
f
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
T
)
{\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}
na nekom određenom intervalu vremena T . Neki autori, konkretno Brejsvel kao i neki autori udžbenika za elektrotehniku i teoriju električnih kola, nazivaju ovu funkciju Š funkcijom (moguće zato što grafik podseća na oblik slova Š ). Pošto je ova funkcija periodična, može da se predstavi Furijeovim redom :
Δ
T
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
2
π
n
t
/
T
.
{\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.}
Osobina skaliranja sledi direktno iz osobine Dirakove delta funkcije
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
T
)
=
|
α
|
⋅
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
α
⋅
(
t
−
k
T
)
)
.
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}.}
Jasno je da je ΔT t ) periodično sa periodom T . To jest
Δ
T
(
t
+
T
)
=
Δ
T
(
t
)
∀
t
{\displaystyle \Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)\quad \forall t}
Kompleksni Furijeov red za takvu periodičnu funkciju glasi
Δ
T
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
c
n
e
i
2
π
n
t
/
T
{\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }
gde Furijeovi koeficijenti, cn , iznose,
c
n
{\displaystyle c_{n}\,}
=
1
T
∫
t
0
t
0
+
T
Δ
T
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
(
−
∞
<
t
0
<
+
∞
)
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\ }
=
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
Δ
T
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }
=
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
δ
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }
=
1
T
e
−
i
2
π
n
0
/
T
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\ }
=
1
T
.
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}.\ }
Svi Furijeovi koeficijenti su 1/T , zbog čega je
Δ
T
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
2
π
n
t
/
T
{\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}}
Furijeova transformacija povorke impulsa je takođe povorka impulsa.
Jedinična transformacija u frekvencijski domen (Hz):
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
⟺
F
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
f
−
k
T
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
i
2
π
f
n
T
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}}
Jedinična transformacija u ugaoni frekvencijski domen (rad/s):
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
⟺
F
2
π
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
ω
−
k
2
π
T
)
=
1
2
π
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
i
ω
n
T
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}\,}
Množenje kontinualnog signala povorkom impulsa ponekad se naziva idealni odabirač sa intervalom odabiranja T .
Kada se koristi kao idealni odabirač, može da se upotrebi za razumevanje efekta preklapanja (alijasinga) i kao dokaz za Nikvist-Šenonova teorema odabiranja .
Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986) 
