Poligonalni broj

U matematici, poligonalni broj je broj predstavljen u obliku tačaka ili kamenčića raspoređenih u obliku pravilnog poligona. Tačke se smatraju alfama (jedinicama). Ovo je jedna vrsta 2-dimenzionalnih figuralnih brojeva.

Definicija i primeri

Broj 10, na primer, može biti predstavljen kao trougao (vidi trougaoni broj):

Ali 10 ne može biti kvadrat. Broj 9, sa druge strane, može (vidi kvadratni broj):

Neki brojevi, kao 36, mogu biti predstavljeni i kao kvadrat i kao trougao (vidi kvadratni trougaoni brojevi):

Po konvenciji, 1 je prvi poligonalni broj za bilo koji broj strana. Pravilo za proširenje poligona na sledeću veličinu je da se produže dve susedne strane u jednom trenutku i da zatim dodajete potrebne dodatne strane između tih tačaka. U narednim dijagramima, svaki dodatni sloj je prikazan kao crveni.

Trougaoni brojevi

Kvadratni brojevi

Poligonalni brojevi sa većim brojem strana, kao što su pentagoni i heksagoni, mogu takođe biti konstruisani prema ovom pravilu, iako tačke neće formirati perfektno pravilnu rešetku kao gore.

Pentagonalni brojevi

Heksagonalni brojevi

Formula

Ako je ѕ broj strana poligona, formula za n^th s-gonalni broj P(s,n) je

P(s,n)={\frac {n^{2}(s-2)-n(s-4)}{2}}

ili

P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n

n^th s-gonalni broj je takođe povezan sa trougaonim brojem T_n na sledeći način:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.

Onda:

P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,,

P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.

Za dati ѕ-gonalni broj P(s,n) = x, možemo naći n pomoću

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+(s-4)^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}.

Svaki heksagonalni broj je i trougaoni broj

Primena gorenavedene formule:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n

za slučaj od 6 strana dobijamo:

P(6,n)=4T_{n-1}+n

ali kako je:

T_{n-1}=n(n-1)/2

sledi da je:

P(6,n)=4n(n-1)/2+n=2n(2n-1)/2=T_{2n-1}

Ovo pokazuje da je $n^{th}$ heksagonalni broj, $P(6,n)$ jednak $(2n-1)^{st}$ trougaonom broju, $T_{2n-1}$ . Možemo naći svaki heksagonalni broj jednostavnim uzimanjem neparnih trougaonih brojeva:

1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

Tabela vrednosti

Prvih 6 vrednosti u koloni Zbir recipročnih vrednosti, za trougaoni do oktagonalnog broja, proizlazi iz objavljenog rešenja za opšti problem, koji takođe daje opštu formulu za bilo koji broj strana, u teminu digama funkcije.^[1]

s	Ime	Formula	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5	n = 6	n = 7	n = 8	n = 9	n = 10	Zbir recipročnih brojeva^[1]^[2]	OEIS broj
3	Trougaoni	½(n²+n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	${2}$ ^[1]	A000217
4	Kvadrat	n² = ½(2n² - 0n)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	${\pi ^{2} \over 6}$ ^[1]	A000290
5	Pentagonalni	½(3n² - n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	${3\ln \left(3\right)}-{\pi {\sqrt {3}} \over 3}$ ^[1]	A000326
6	Heksagonalni	½(4n² - 2n)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	${2\ln \left(2\right)}$ ^[1]	A000384
7	Heptagonalni	½(5n² - 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\ln(5)\\+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\end{matrix}}$ ^[1]	A000566
8	Oktagonalni	½(6n² - 4n)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	${{3\ln \left(3\right) \over 4}+{\pi {\sqrt {3}} \over 12}}$ ^[1]	A000567
9	Nonagonalni (enegonalni)	½(7n² - 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	A001106
10	Dekagonalni	½(8n² - 6n)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	${{\ln \left(2\right)}+{\pi \over 6}}$	A001107
11	Hendekagonalni	½(9n² - 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	A051682
12	Dodekagonalni	½(10n² - 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	A051624
13	Tridekagonalni	½(11n² - 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	A051865
14	Tetradekagonalni	½(12n² - 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	${{2\ln \left(2\right) \over 5}+{3\ln \left(3\right) \over 10}+{\pi {\sqrt {3}} \over 10}}$	A051866
15	Pentadekagonalni	½(13n² - 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	A051867
16	Heksadekagonalni	½(14n² - 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	A051868
17	Heptadekagonalni	½(15n² - 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	A051869
18	Oktadekagonalni	½(16n² - 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	${\begin{matrix}{\frac {4}{7}}\ln {\left(2\right)}\\-{\frac {\sqrt {2}}{14}}\ln \left(3-2{\sqrt {2}}\right)\\+\pi {\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)}{14}}\end{matrix}}$	A051870
19	Enedekagonalni	½(17n² - 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	A051871
20	Ikosagonalni	½(18n² - 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	A051872
21	Ikosigenagonalni	½(19n² - 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	A051873
22	Ikosidigonalni	½(20n² - 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	A051874
23	Ikositrigonalni	½(21n² - 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	A051875
24	Ikositetragonalni	½(22n² - 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	A051876
25	Ikosipentagonalni	½(23n² - 21n)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	A255184
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	Miriagonalni	½(9998n² - 9996n)	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920	A167149

Onlajn Enciklopedija Celobrojnih Redova izbegava termine koristeći se grčkim prefiksima (npr. „oktagonalni) umesto termina koristeći brojeve (npr. „8-gonalni).

Svojstvo ove tabele se može izraziti narednim identitetom (vidi A086270):

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),

sa

k=0,1,2,3,...,s-3.

Kombinacije

Neki brojevi, kao što je 36 koji su i kvadratni i trougaoni, spadaju u dva poligonalna seta. Problem utvrđivanja, s obzirom na dva takva seta, svi brojevi koji pripadaju i kvadratnim i trougaonim mogu se rešiti smanjenjem problema Pelovom jednačinom. Najjednostavniji primer ovoga je red kvadratnih trougaonih brojeva.

Sledeća tabela sumira set s-gonalnih t-gonalnih brojeva za male vrednosti s i t.

s	t	Red	OEIS broj
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ...	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, …	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	A036353
6	3	Svi heksagonalni brojevi su i trougaoni.	A000384
6	4	Neparni trougaoni kvadratni brojevi.	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, …	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, 729252434211108535809, 53306479301521270428241, 20744638830126197732344369, 1516379800105728357531817761, 110843467413344235941816109721, 43135613687078894324987720634481, 3153102533906718276539864534846601, …	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …	A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, 4835857349623374369, 571178264921393749929, 4342594514813297471521, 512917445842648529510881, 3899645038444991506051689, 460599295188433458107021409, 3501876901929087559136945401, 413617654161767402731575714601, …	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	A048924
10	3	1, 10, 1540, 1777555, 13773376, 2051297326, 15894464365, 2367195337045, 18342198104230, ...
10	4	1 i nijedan drugi.
11	4	1, 196, 29241, 1755625, 261468900, 38941102225, 2337990844401, 348201795147556, 51858411008887561, 3113535139359330841, ...
12	4	1, 64, 3025, 142129, 6677056, 313679521, 14736260449, 692290561600, 32522920134769, 1527884955772561, 71778070001175616, 3372041405099481409, 158414167969674450625, 7442093853169599697984, 349619996931001511354641, 16424697761903901433970161, 771611174812552365885242944, 36249300518428057295172448225, 1702945513191306140507219823649, 80002189819472960546544159263296, 3758399976002037839547068265551281, 176564796682276305498165664321646929, 8294787044090984320574239154851854400, 389678426275593986761491074613715509889, 18306591247908826393469506267689777110401, 860020110225439246506305303506805808678976, 40402638589347735759402879758552183230801489, 1898063993589118141445429043348445806038991025, 89168605060099204912175762157618400700601776704, ...
13	4	1, 36, 35721, 34999056, 896703025, 34291262041, 878568782400, 860801272542225, ...
14	4	1, 441, 14161, 4239481, 135978921, 40707501121, 1305669590281, 390873421529361, 12537039269904241, 3753166552817428201, ...
15	4	1, 3025, 5997601, 165148201, ...
16	4	1, 16, 400, 4225, 101761, ...
18	4	1, 100, 1936, 116281, 2235025, 134189056, 2579217796, 154854055225, 2976415102441, 178701445541476, 3434780449000000, ...
22	4	1, 729, 284089, 3900625, 15175959521, 590725976569, 8110813506601, 3156387347610225, 1228333148092290241, 16865317394711073289, 6563271907899976822281, 2554149271482890096235025, 35069100108493095964960369, ...
28	4	1, 81, 3136, 30625, ...
30	4	1, 203401, 1819801, 164024190001, 1467492382801, 132269434866199801, 1183388792474889001, 106662336814809228952801, 954287089027867949018401, 86012721732003522411131649001, 769539017165067381031862931001, 69360830830024442142566574789968401, 620557802518990379109828463337266801, 55932712702907357470917967521368968071001, 500419053066149340677758825111066761145801, ...
32	4	1, 1089, 9025, 4190209, 34680321, 16098788161, 133241790529, 61851539930625, 511914924538369, 237633600314679361, 1966777006834629441, 912988230557458180609, 7556356748343721780225, 3507700544168154015226689, 29031520660359572245001281, 13476584577705817169042764801, 111539094820744728221573147649, 51777034439845205395308287145025, 428533173269780585467711788272449, 198927352841300701422957270168427521, 1646424340163402188622220468969607681, 764278837839242855021796436678811396929, 6325561886374617938905985574069444444225, 2936359096051018207693040486762723218579969, ...
40	4	1, 576, 123201, ...
44	4	1, 256, 1521, 136161, 802816, 71757841, 423083761, 37816247296, 222964340481, ...
50	4	1, 5776, 30276, 55487601, 290736601, 532791965476, 2791652838976, 5115868397039401, 26805450269137401, 49122567815580389376, 257385930692604511876, 471674891049334501775401, 2471419679704938253922401, 4529022254733142070467037476, 23730571507140886421558408976, 43487671218272739111289992095601, 227860945140147111714865589091601, ...
64	4	1, 64, 625, 48400, 450241, ...
66	4	1, 1223236, 5107600, 1629005505625, 6801867425521, 2169369437921667136, 9058142076710164516, 2888979651650786027844601, ...
68	4	1, 400, 41616, 4289041, 17514225, ...
96	4	1, 14400, 46656, 132733441, 429940225, ...
128	4	1, 148225, 408321, 9563079681, 26342913025, 616952522883841, 1699486690978561, 39802075051765530625, 109640684355448463361, 2567791069272648920349441, 7073359108807915474785025, 165658473003253597395658798081, 456330689435993174584833131521, 10687290724764111513110882779540225, 29439718091200304556358009172652801, 689479873651773417153581894243599769601, 1899273972479365758712887429179690164225, ...
132	4	1, 784, 262144, 10597261249, 28731945025, ...
140	4	1, 1002001, 2637376, 1023640086001, ...
156	4	1, 18496, 288456256, ...

U nekim slučajevima, kao kada je s=10 i t=4, ne postoje drugi brojevi u oba seta osim 1.

Problem nalaženja brojeva koji pripadaju trima poligonalnim setovima je teži. Kompjutersko pretraživanje za pentagonalne kvadratne trougaone brojeve je izbacilo samo trivijalnu vrednost 1, putem dokaza da ne postoje drugi brojevi koji su se pojavili u rezultatima pretraživanja.^[3]

Broj 1225 je hekatonikositetragonalan (s=124), heksakotagonalan (s=60), ikosienegonalan (s=29), heksagonalan, kvadratni i trougaoni.

Vidi još

Reference

^ ^a ^b ^v ^g ^d ^đ ^e ^ž „Arhivirana kopija” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 15. 06. 2011. g. Pristupljeno 15. 01. 2016.
^ „Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 29. 05. 2013. g. Pristupljeno 15. 01. 2016.
^ Weisstein, Eric W. „Pentagonal Square Triangular Number”. MathWorld.

Literatura

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [[[Međunarodni standardni broj knjige|ISBN]] 978-0-14-026149-3.].
Polygonal numbers at PlanetMath Arhivirano na sajtu Wayback Machine (20. februar 2016)
F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. str. 88–89. ISBN 978-0-19-914567-6.
Weisstein, Eric W. „Polygonal Numbers”. MathWorld.

Spoljašnje veze

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Polygonal number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337 Arhivirano na sajtu Wayback Machine (29. april 2012)
Polygonal Numbers on the Ulam Spiral grid na sajtu YouTube
Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853

[siam_07-003s-1] v ^g ^d ^đ ^e ^ž „Arhivirana kopija” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 15. 06. 2011. g. Pristupljeno 15. 01. 2016.

[2] „Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 29. 05. 2013. g. Pristupljeno 15. 01. 2016.

[3] Weisstein, Eric W. „Pentagonal Square Triangular Number”. MathWorld.

[1]

[2]

[3]

Normativna kontrola
Državne	Izrael Sjedinjene Države
Ostale	Enciklopedija Britanika