Poslednja Fermaova teorema

Fermaova poslednja teorema (poznata i kao Fermaova velika teorema) je jedna od najpoznatijih teorema u istoriji matematike. Ona tvrdi da:

Ne postoje pozitivni celi brojevi a, b, i c takvi da $a^{n}+b^{n}=c^{n}\;$ gde je n prirodan broj veći od 2.

Pjer de Ferma

Diofantova Aritmetika, prevod sa grčkog na latinski iz 1621. godine. Na desnoj strani se vidi margina na kojoj Ferma „nije stigao da zapiše svoj predivni dokaz“

Matematičar iz 17. veka Pjer de Ferma je pisao o ovoj teoremi 1637. godine u svojoj kopiji Klod-Gaspar Bašetovog prevoda poznate Diofantove Aritmetike: „Otkrio sam zaista neverovatan dokaz ove teoreme koji ne može da stane na marginu ove strane“. (Original latinski: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.") Bez obzira na to, nijedan korektan dokaz nije pronađen sledećih 357 godina.

Ova tvrdnja je značajna jer su sve druge Fermaove teoreme bile utemeljene, bilo pomoću dokaza koje je on dao, ili pomoću dokaza koji su pronađeni kasnije. Teorema nije poslednja koju je Ferma dao, nego poslednja koja treba biti dokazana. Teorema se uopšteno smatra matematičkom postavkom koja je isprovocirala najveći broj netačnih matematičkih dokaza.

Matematički kontekst

Poslednja Fermaova teorema je uopštenje Diofantove jednačine a² + b² = c², koja je povezana sa Pitagorinom teoremom. Stari Grci i Vavilonci su znali da ova jednačina ima rešenja, kao što su (3,4,5) (3² + 4² = 5²) ili (5,12,13). Ova rešenja su poznata kao Pitagorejske trojke.

Dok teorema sama po sebi nema direktnu upotrebu (ne koristi se kao dokaz ni u jednoj drugoj teoremi), pokazano je da je povezana sa drugim matematičkim temama.

Rana istorija

Teoremu treba dokazati za n=4 i za slučaj kada je n prost broj. Dokazano je još davno da teorema važi za neke specijalne slučajeve n, ali opšti slučaj je ostao nedokučiv.

Sam Ferma je dokazao slučaj n=4, dok je Ojler dokazao teoremu za n=3. Slučaj n=5 su dokazali Dirihle i Ležandr 1825. godine, a slučaj n=7 Gabrijel Lame 1839. godine.

Gerd Faltings je 1983. godine dokazao Mordelovu pretpostavku da za svako n > 2 postoji konačno mnogo uzajamno prostih brojeva a, b i c takvih da važi aⁿ + bⁿ = cⁿ.

Dokaz

Koristeći sofisticirane alate algebarske geometrije (posebno eliptične krive i modularne forme), teoriju Galoa i Heke algebre, engleski matematičar Endru Vajls (Andrew Wiles), sa Univerziteta Prinston, uz pomoć svog bivšeg studenta Ričarda Tejlora, je izveo dokaz Fermaove poslednje teoreme i objavio je 1995. godine u časopisu Annals of Mathematics

Ken Ribet je 1986. godine dokazao Gerhard Frejevu epsilon pretpostavku da svaki kontraprimer aⁿ + bⁿ = cⁿ poslednjoj Fermaovoj teoremi vodi ka eliptičnoj krivoj definisanoj sa:

$y^{2}=x\cdot (x-a^{n})\cdot (x+b^{n}),$

što daje kontraprimer pretpostavci Tanijama-Šimura.

Poslednja pretpostavka nudi duboku vezu između eliptičnih krivih i modularnih formi.

Vajls i Tejlor su uspeli da dokažu jedan poseban slučaj Tanijama-Šimura pretpostavke dovoljan da isključi takve kontraprimere koji nastaju iz Fermaove poslednje teoreme.

Priča o dokazu je zanimljiva koliko i misterija koja prati samu teoremu. Vajls je proveo sedam godina razrađujući sve detalje samostalno u apsolutnoj tajnosti (sem završne faze pregleda za šta je zamolio pomoć Nika Kaca, kolege sa Prinstona). Kada je objavio dokaz na tri predavanja održanim na Kembridžu 21-23. juna 1993. godine, zapanjio je slušaoce brojem ideja i konstrukcija u svom dokazu. Nažalost, detaljnijom proverom je pronađena ozbiljna greška koja je oborila prvobitan dokaz. Vajls i Tejlor su potom proveli godinu dana u traženju novog puta ka dokazu. Septembra 1994. je dokaz ponovo objavljen sa donekle izmenjenim tehnikama u odnosu na one koje je Vajls koristio u prvom pokušaju.

Da li je Ferma zaista imao dokaz?

Citat na latinskom:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos quadratoquadratos,
et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum patestatem in duos euisdem
nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
Hanc marginis exigitas non caperet.

(Nemoguće je razdvojiti kub na dva kuba, ili
četvrti stepen na dva četvrta stepena, ili uopšteno,
bilo koji stepen veći od dva na ista takva dva.
Otkrih uistinu predivan dokaz ovoga,
no ne nađoh na margini mesta, te ga ne napisah ovde.)

Postoje značajne sumnje u Fermaovu izjavu „Otkrih uistinu predivan dokaz“. Vajlsov dokaz je dugačak 200 strana i njegovo razumevanje zahteva znanja van domašaja mnogih matematičara danas. Moguće je da postoji dokaz koji je značajno kraći i koristi elementarnije metode. Obično prvi dokazi nisu ni najkraći ni najdirektniji.

Metode koje je Vajls koristio su bile nepoznate u Fermaovo vreme, i mnogi veruju da je malo verovatno da je Ferma uspeo da izvede sve neophodne preduslove za izvođenje dotičnog dokaza. Prema rečima Endrua Vajlsa: „To je nemoguće, ovo je dokaz 20. veka“. Alternativa je da postoji jednostavniji dokaz koji su svi matematičari do sada prevideli ili je Ferma pogrešio.

Pretpostavlja se da je Ferma izveo pogrešan, ali naizgled prihvatljiv, dokaz. Izveden je iz pogrešne pretpostavke da postoji jedinstvena faktorizacija u svim prstenovima sa prirodnim brojevima u poljima algebarskih brojeva. Ovo je prihvatljivo objašnjenje za mnoge stručnjake u teoriji brojeva, na temelju toga što su i mnogi izuzetni matematičari iz ove oblasti sledili sličan put.

Činjenica da Ferma nikad nije objavio ovaj dokaz, niti javno objavio da ga ima, navodi da je kasnije razmislio i jednostavno zanemario ličnu belešku na marginama knjige. Kasnije, tokom života, Ferma je objavio dokaz za slučaj

$a^{4}+b^{4}=c^{4}$.

Da je stvarno došao do dokaza za opštu teoremu, malo je verovatno da bi objavljivao dokaz samo za poseban slučaj. Mada, akademske konvencije njegovog doba nisu iste kao i one posle polovine 18. veka. Stoga se ovaj argument ne može uzeti kao konačan.

Fermaova poslednja teorema u fikciji

U epizodi "The Royale", serijala Zvezdane staze: Sledeća generacija, kapetan Pikard navodi da teorema nije rešena 800 godina. Vajls je objavio dokaz pet godina po emitovanju ove epizode. Potom je u drugom serijalu Zvezdane staze: Duboki svemir Devet u epizodi Facets iz juna 1995. godine lik Džadzia Daks komentariše da je nešto najoriginalniji pristup dokazivanju još od Vajlsa, pre 300 godina. To fanovi shvataju kao tananu ispravku prethodnoj omaški. Pojavljuje se u jednoj epizodi britanske serije Doktor Hu.

Beleške

• Postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva a, b, i c takvih da je $a^{n}+b^{n}=c^{n+1}\;$ gde je n prirodan broj.
• Ako n nije prost broj ni 4, on ima bar jedan delilac koji je manji od n a veći od 2. Neka je p takav delilac, i neka je m jednako n/p. Sada možemo jednačinu napisati kao $(a^{m})^{p}+(b^{m})^{p}=(c^{m})^{p}$. Ako možemo dokazati slučaj za stepen p, stepen n je jednostavno podskup prethodnog slučaja.

Vidi još

• Ojlerova pretpostavka
• Mala Fermaova teorema
• Sofi Žermen prosti brojevi
• Vol-Sun-Sun prosti brojevi

Literatura

• Aczel, Amir (30. 9. 1996). Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem. Four Walls Eight Windows. ISBN 978-1-56858-077-7. 
• Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Volume II. Diophantine Analysis. New York: Chelsea Publishing. str. 545—550, 615—621, 688—691, 731—776. 
• Edwards, HM (1997). Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 50. New York: Springer-Verlag. 
• Friberg, Joran (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-270-452-8. 
• Kleiner, I. (2000). „From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem” (PDF). Elemente der Mathematik. 55: 19—37. doi:10.1007/PL00000079. Arhivirano iz originala (PDF) 13. 7. 2010. g. 
• Mordell, L. J. (1921). Three Lectures on Fermat's Last Theorem. Cambridge: Cambridge University Press. 
• Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Introduction to Modern Number Theory (Encyclopedia of Mathematical Sciences. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3. 
• Ribenboim, P. (2000). Fermat's Last Theorem for Amateurs. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98508-4. 
• Singh, S. (oktobar 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. 
• Stark, H. (1978). An Introduction to Number Theory. MIT Press. ISBN 0-262-69060-8. 
• Bell, Eric T. (6. 8. 1998) [1961]. The Last Problem. New York: The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-451-8. 
• Benson, Donald C. (5. 4. 2001). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8. 
• Brudner, Harvey J. (1994). Fermat and the Missing Numbers. WLC, Inc. ISBN 978-0-9644785-0-3. 
• Edwards, H. M. (mart 1996) [1977]. Fermat's Last Theorem. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90230-2. 
• Faltings, G. (jul 1995). „The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles” (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 42 (7): 743—746. ISSN 0002-9920. 
• Mozzochi, Charles (7. 12. 2000). The Fermat Diary. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2670-6. 
• Ribenboim, P. (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-90432-0. 
• van der Poorten, Alf (6. 3. 1996). Notes on Fermat's Last Theorem. WileyBlackwell. ISBN 978-0-471-06261-5. 
• Saikia, Manjil P (jul 2011). „A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes” (PDF). IISER Mohali (India) Summer Project Report. Bibcode:2013arXiv1307.3459S. arXiv:1307.3459 . Arhivirano iz originala (PDF) 22. 9. 2015. g. Pristupljeno 9. 3. 2014. 
• Stevens, Glenn (1997). „An Overview of the Proof of Fermat's Last Theorem”. Modular Forms and Fermat's Last Theorem. New York: Springer. str. 1—16. ISBN 0-387-94609-8. 

Spoljašnje veze

• Wiles, Andrew (1995). Modularne eliptične krive i Fermaova poslednja teorema Arhivirano na sajtu Wayback Machine (10. maj 2011), Annals of Mathematics (141) (3), 443-551.
• Taylor, Richard & Wiles, Andrew (1995). Teoretske osobine prstena izvesnih Hikovih algebri, Annals of Mathematics (141) (3), 553-572.
• Faltings, Gerd (1995). Dokaz Fermaove poslednje teoreme R. Tejlor i A. Vils, Notices of the AMS (42) (7), 743-746.
• Daney, Charles (2003). Matematika Fermaove poslednje teoreme. Pronađeno 5, Avg. 2004.
• O'Connor, J. J. & and Robertson, E. F. (1996). Fermaova poslednja teorema. Istorija problema. Pronađeno 5, Avg. 2004.
• Shay, David (2003). Fermaova poslednja teorema. Priča, istorija i misterija Arhivirano na sajtu Wayback Machine (2. februar 2007). Pronađeno 5, Avg. 2004.
• The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, by Donald C. Benson; Oxford University Press. 1999. ISBN 978-0-19-513919-8.. (meke korice)
• Jay Dillon, "Fermat's Last Theorem: Proof Based on Generalized Pythagorean Diagram," WSEAS Transactions on Mathematics, issue 3, volume 3 (July 2004). Ovo je novi dokaz, koristi ugnežđene Pitagorine konstrukcije i izvođenje sistema jednačina/krivih.
• Fermat's last theorem na sajtu Enciklopedija Britanika
• Daney, Charles (2003). „The Mathematics of Fermat's Last Theorem”. Arhivirano iz originala 3. 8. 2004. g. Pristupljeno 5. 8. 2004. 
• Elkies, Noam D. „Tables of Fermat "near-misses" – approximate solutions of xⁿ + yⁿ = zⁿ”. 
• Freeman, Larry (2005). „Fermat's Last Theorem Blog”.  Blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Fermat to Wiles.
• Hazewinkel, Michiel, ur. (2001) [1994], „Fermat's last theorem”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Ribet, Ken (1995). „Galois representations and modular forms”. arXiv:math/9503219 .  Discusses various material that is related to the proof of Fermat's Last Theorem: elliptic curves, modular forms, Galois representations and their deformations, Frey's construction, and the conjectures of Serre and of Taniyama–Shimura.
• Shay, David (2003). „Fermat's Last Theorem”. Pristupljeno 14. 1. 2017.  The story, the history and the mystery.
• Weisstein, Eric W. „Fermat's Last Theorem”. MathWorld. 
• O'Connor JJ, Robertson EF (1996). „Fermat's last theorem”. Arhivirano iz originala 4. 8. 2004. g. Pristupljeno 5. 8. 2004. 
• „The Proof”.  The title of one edition of the PBS television series NOVA, discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem.
• „Documentary Movie on Fermat's Last Theorem (1996)”.  Simon Singh and John Lynch's film tells the story of Andrew Wiles.