Realan broj

Za drugu upotrebu, pogledajte članak Broj (višeznačna odrednica).

Simbol skupa realnih brojeva

Realni brojevi su svi racionalni i iracionalni brojevi. Skup realnih brojeva se označava sa R ili sa $\mathbb {R} .$ Skup realnih brojeva je beskonačan i neprebrojiv, a broj elemenata, tzv. kardinalni broj skupa realnih brojeva nazivamo kontinuum. Realni brojevi obrazuju polje. Termin realan stoji nasuprot čistim imaginarnim (kompleksnim imaginarnim) brojevima. Pridev realni u ovom kontekstu uveo je Rene Dekart u 17. veku, koji je pravio razliku između realnih i imaginarnih korena polinoma. Realni brojevi uključuju sve racionalne brojeve, kao što su celi broj -5 i razlomak 4/3, i sve iracionalne brojeve, kao što su √2 (1,41421356 ..., kvadratni koren od 2, iracionalni algebarski broj). U okviru iracionalnih su uključeni transcendentni brojevi, poput π (3,14159265 ...). Pored merenja udaljenosti, realni brojevi se mogu koristiti za merenje količina kao što su vreme, masa, energija, brzina i još mnogo toga.

Realni brojevi se mogu smatrati tačkama na beskonačno dugoj liniji koja se naziva brojevna linija ili realna linija, gde su tačke koje odgovaraju celim brojevima ravnomerno raspoređene. Bilo koji realni broj može se odrediti eventualno beskonačnim decimalnim prikazom, poput 8,632, pri čemu svaka uzastopna cifra izražava jedinice desetine veličine prethodne. Realna linija se može zamisliti kao deo kompleksne ravni, a kompleksni brojevi obuhvataju realne brojeve.

Decimalni brojevi

Decimalni brojevi su nastajali stotinama godina, naporima generacija matematičara, čiji je vrhunac ostvario Stevin u 16. veku, upotrebom decimalnih razlomaka, tj. razlomaka čiji je imenilac stepen broja deset: 1, 10, 100, itd. Deljenjem neke jedinice:

na deset jednakih delova dobijemo deseti deo, tj. ${\frac {1}{10}};$

na sto jednakih delova dobijemo stoti deo, tj. ${\frac {1}{100}};$

na hiljadu jednakih delova dobijamo hiljaditi deo, tj. ${\frac {1}{1000}}.$

Dalje dobijamo desetohiljaditi, stohiljaditi, milioniti, itd. deo. Da bismo sabrali (ili oduzeli) decimalne brojeve potrebno je da ih postavimo tako da se njihove zapete podudare. Počinjemo od najmanjih delova, krajnja desna kolona. Ako je zbir u datoj koloni veći od deset (4+8=12), ostavljamo višak (2), i dodajemo 1 koloni levo.

Sabiranje		Oduzimanje
2,34		2,34
1,28 / +		1,28 / -
3,62		1,06

U slučaju oduzimanja, kada je donji broj (onaj koji oduzimamo) veći od gornjeg u toj koloni, onda pozajmljujemo jedinicu iz prve leve kolone i dodajemo deset broju (gornjem) od kojeg oduzimamo.

Na slici desno, vidimo specijalnu posudu u koju možemo sipati tečnost nesmetano, sve dok nivo tečnosti ne pređe podeljak devet. Nakon toga posuda će se sama isprazniti do nule. Analogno sabiranju decimalnih brojeva potpisanih po kolonama.

Da bismo pomnožili decimalni broj celim brojem jedan za kojim sledi nekoliko nula, treba da pomerimo zapetu udesno za po jedno mesto za svaku nulu. Ako više nema decimalnih mesta, na desnoj strani treba dopisati potreban broj nula. Na primer: 23,45h1000 = 23450.

Kada množimo dva decimalna broja, množimo ih kao da su celi, a zatim u dobijenom rezultatu stavljamo onoliko decimalnih cifara koliko ih imaju oba faktora zajedno. Na primer, množimo 2,3 sa 4,5. Prvo 23h45=1035; zatim, imamo ukupno dva decimalna mesta; rezultat 2,3h4,5 = 10,35.

Da bismo podelili decimalni broj celim brojem jedan za kojim sledi nekoliko nula, treba pomeriti zapetu ulevo, za po jedno mesto za svaku nulu. Ako više nema cifara tog broja, na levoj strani ćemo dopisati preostale nule. Na primer 23,45:1000 = 0,02345.

Aproksimacija realnih brojeva

Za preciznije definisanje aproksimacije realnih brojeva decimalnim brojevima i decimalnog zapisa realnog broja treba nam:

1. Princip najmanjeg celog broja: Svaki skup celih brojeva koji je ograničen odozdo ima najmanji broj;
2. Arhimedova aksioma: Za svaka dva cela broja a, b'' od kojih je prvi pozitivan, postoji prirodan broj n, takav da je $n\cdot a>b.$

Princip najmanjeg celog broja važi i kada donja granica nije ceo broj; ona može biti bilo koji realan broj. Arhimedov princip važi i u slučaju kada su a i b realni brojevi (a>0).

Teorema 1

Ako je a pozitivan realan broj, tada postoji jedinstven broj $n_{0}\in \{0,1,2,...\},$ takav da je $n_{0}\leq x<n_{0}+1.$

Dokaz

Prema Arhimedovoj aksiomi, za b=x i a=1, postoji prirodan broj n takav da je x<n·1=n. Među svim takvim brojevima n, prema aksiomi 2, postoji najmanji. Označimo ga sa n'. Dakle važi 0<x<n' (*). Zbog toga je n'-1≤x<n'. Naime, ako bi bilo n'-1>x, onda n' ne bi bio najmanji broj koji ispunjava prethodni uslov (*). Označimo li n'-1=n₀, dobijamo tvrđenje teorema.

Decimalni zapis realnog broja

Definicija 1

Broj koji se može zapisati u obliku

$n_{0}+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {d_{n}}{10^{n}}}\quad (n_{0}\in \{0,1,...,9\},n\in \mathbb {N} ,$

ili njemu suprotan broj (negativan), zove se decimalni broj.

Definicija 2

Beskonačan niz celih brojeva $n_{0},d_{1},d_{2},...$ koji određuje broj $x$ zapisuje se u obliku $x=n_{0},d_{1}d_{2}...,$ i zove se decimalni zapis broja $x.$

Bio je to postupak kojim se svaki periodični decimalni broj može prevesti u razlomak sa celobrojnim brojnikom i nazivnikom. Međutim, znamo da je skup svih razlomaka beskonačan, prebrojiv, alef nula. Znamo da je skup realnih brojeva beskonačan, neprebrojiv, kontinuum. Prema tome je skup svih neperiodičnih decimalnih brojeva kontinuum.

Merenje duži, brojevna prava

Definicija 3

Neka je svakoj duži AB pridružen pozitivan realan broj d(A,B), pri čemu su ispunjeni sledeći uslovi:

• Za neku duž OE važi d(O,E)=1.
• Ako je AB=CD, tada je d(A,B)=d(C,D).
• Ako je tačka C između tačaka A i B, onda je d(A,B)=d(A,C)+d(C,B).

Tada se broj d(A,B) zove dužina duži AB.

Ako se u definiciji doda uslov da je d(A,A)=0, za svaku tačku А, onda se broj d(A,B) zove rastojanje između tačaka A i B.

Uređeno polje realnih brojeva

Definicija 4

Za skup $S\subset \mathbb {R} ,$ kažemo da je ograničen odozgo ako postoji bar jedan realan broj $M,$ takav da je, za svaki $x\in S,\;x\leq M.$ Broj M se u tom slučaju zove majoranta skupa S, ili gornja međa skupa S.

Na primer skup $S=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},...,{\frac {n}{n+1}},...\right\}$ ima majorantu broj 1, ali je i svaki drugi realan broj koji je veći od 1 takođe majoranta ovog skupa. Skup $S=\{2,4,6,...,2n,...\}$ nema majorantu, jer prema Arhimedovoj aksiomi za bilo koji $r\in \mathbb {R}$ postoji prirodan broj n takav da je $2\cdot n>r.$. Skup nepozitivnih realnih brojeva ima najmanju majorantu nulu.

Definicija 5

Ako postoji realan broj s, takav da je on najmanja majoranta skupa S, tj. ako iz $r\in \mathbb {R} ,\;r<s,$ sledi da postoji bar jedan elemenat $x\in S$ takav da je $r<x$, onda se s naziva supremumom skupa S, ili tačnom donjom međom skupa S. Supremum skupa S označavamo sup S.

Jedan skup ne može imati dva supremuma, npr. $s_{1},s_{2},$ jer bi tada po definiciji (5) bilo $s_{1}\leq s_{2}\wedge s_{2}\leq s_{1},$ što zbog antisimetričnosti relacije manje-jednako povlači $s_{1}=s_{2}.$

Definicija 6

Neka su u skupu $\mathbb {R} =\{x,y,z,...\}$ definisani sabiranje + i množenje ·, binarna relacija ≤ i neka za sve x,y,z,... iz R važe uslovi:

(R1) $(x+y)+z=z+(y+z),\,$

(R2) $(\exists 0\in \mathbb {R} )(\forall x\in \mathbb {R} )\,x+0=x,$

(R3) $(\forall x\in \mathbb {R} )(\exists (-x)\in \mathbb {R} )\,x+(-x)=0,$

(R4) $x+y=y+x,\,$

(R5) $x(yz)=(xy)z,\,$

(R6) $x(y+z)=xy+xz,\,$

(R7) $(\exists 1\in \mathbb {R} \setminus \{0\})(\forall x\in \mathbb {R} )\;x\cdot 1=x,$

(R8) $(\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\})(\exists x^{-1}\in \mathbb {R} )\;x\cdot x^{-1}=1,$

(R9) $xy=yx,\,$

(R10) $(x\leq y)\vee (y\leq x),\,$

(R11) $(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y,$

(R12) $(x\leq y\wedge y\leq z)\Rightarrow (x\leq z),$

(R13) $(x\leq y)\Rightarrow (x+z\leq y+z),$

(R14) $(x\leq y\wedge z>0)\Rightarrow (xz\leq yz),$

i najzad, najvažnije

(CR) svaki odozgo ograničen neprazan skup u $\mathbb {R}$ ima supremum u $\mathbb {R} .$

CR zapravo stvara realne brojeve, jer svi ostali aksiomi mogli bi se uzeti i za opis racionalnih brojeva, dok onaj zadnji ne bi.

Tada uređenu četvorku (R, +, ·, ≤) zovemo uređeno kompletno polje ili polje realnih brojeva. Često ga označavamo samo sa R. Uslovi (R1)-(R15) zovu se aksiomi realnih brojeva. Iz teorije grupa i iz prethodne definicije, vidi se da u polju R postoje jedinstvena nula (R2) i jedinstvena jedinica (R7), da svaki elemenat h skupa R, osim nule, ima (R3) jedinstven suprotni elemenat -h, i da svaki ima (R8) jedinstven inverzni elemenat $x^{-1}\equiv {\frac {1}{x}}.$

Operacije sabiranja i množenja indukuju algebarsku strukturu u skupu R realnih brojeva, a relacija uređenja indukuje u R strukturu talnog uređenja.

Aksiome 1-9 odnose se na algebarsku strukturu skupa realnih brojeva, a aksiome 10-12 na njegovu strukturu poretka. Aksiome 13-14 povezuju te dve strukture na skupu realnih brojeva, tj. pokazuju da je relacija poretka "≤ " u saglasnosti sa sabiranjem i množenjem u R. Zovu se redom monotonija sabiranja i množenja.

Aksioma R15 izražava važnu osobinu skupa realnih brojeva koju zovemo kompletnost skupa R. Postoji više ekvivalentnih oblika tog aksioma.

Podskupovi

Nekoliko važnih podskupova realnih brojeva imaju svoja posebna imena, to su:

• Racionalni brojevi (u koje spadaju prirodni i celi brojevi)
• Iracionalan broj

Vidi još

• Apsolutna vrednost
• Približna vrednost broja
• Zaokrugljivanje decimalnih brojeva
• Operacije sa približnim brojevima

Literatura

• Dr Pavle Miličić, Mr Vladimir Stojanović, Dr Zoran Kadelburg, Dr Branislav Boričić: MATEMATIKA, Za I razred srednje škole, Programi sa četiri časa nastave matematike nedeljno, Drugo izdanje, Zavod za izdavanje udžbenika, Novi Sad, 1992.
• Cantor, Georg (1874). "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, volume 77, pp. 258–62.
• Feferman, Solomon (1989). The Number Systems: Foundations of Algebra and Analysis, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-2915-7.
• Katz, Robert (1964). Axiomatic Analysis, D.C. Heath and Company.
• Landau, Edmund (2001). Foundations of Analysis. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2693-X.
• Howie, John M. Real Analysis. Springer, (2005) ISBN 1-85233-314-6.
• Schumacher, Carol (1996), ChapterZero / Fundamental Notions of Abstract Mathematics BV, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1 
• Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ur. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 
• Matvievskaya, Galina (1987), „The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics”, Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x 
• Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 
• Beckmann, Petr (1993), A History of Pi, Dorset Classic Reprints, Barnes & Noble Publishing, str. 170, ISBN 978-0-88029-418-8, Arhivirano iz originala 2016-05-04. g., Pristupljeno 2015-11-15 .
• Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, str. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, Arhivirano iz originala 2016-05-21. g., Pristupljeno 2015-11-15 
• Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, str. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, Arhivirano iz originala 2015-05-14. g., Pristupljeno 2015-02-17, „Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work” 
• Hurwitz, Adolf (1893). „Beweis der Transendenz der Zahl e”. Mathematische Annalen (43): 134—35. 
• Gordan, Paul (1893). „Transcendenz von e und π”. Mathematische Annalen. 43 (2–3): 222—24. doi:10.1007/bf01443647. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel, Michiel, ur. (2001) [1994], „Real number”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• The real numbers: Pythagoras to Stevin Arhivirano na sajtu Wayback Machine (12. februar 2007)
• The real numbers: Stevin to Hilbert Arhivirano na sajtu Wayback Machine (22. mart 2007)
• The real numbers: Attempts to understand Arhivirano na sajtu Wayback Machine (12. februar 2007)
• What are the "real numbers," really?