Tetivni četvorougao

Tetivni četvorougao je svaki četvorougao za koga važi da se oko njega može opisati kružnica. Drugim rečima, četvorougao je tetivni ako su mu sva temena tačke nekog kruga^[1]. Naziv tetivan potiče od osobine da svaka stranica takvog četvorougla jeste tetiva u tom krugu.

Četvorouglovi koji su tetivni su: kvadrat, pravougaonik i jednakokraki trapez. Deltoid je tetivni ako ima dva prava ugla.

Četvorouglovi za koje sigurno znamo da se oko njih ne mogu opisati krugovi (nisu tetivni) su paralelogram i romb.

Osnovna osobina tetivnog četvorougla:

Četvorougao je tetivan ako i samo ako se simetrale njegovih stranica seku u jednoj tački.^[2]

Takođe značajna osobina:

Četvorougao je tetivan ako i samo ako je zbir svaka dva naspramna ugla jednak 180° (naspramni uglovi su suplementni).

Sl. 2 Odnosi među uglovima u tetivnom četvorouglu

\,\alpha +\gamma =180^{\circ }

\,\beta +\delta =180^{\circ }

što se vidi sa slike na kojoj je prikazan centralni i periferni ugao nad dijagonalama. (Sl. 2) Iz ovoga sledi da je svaki četvorougao koji ima dva naspramna prava ugla tetivan.

Četvorougao u koji se istovremeno može upisati i opisati krug se zove tetivno-tangentni četvorougao ili bicentrični četvorougao.

Neke osobine tetivnog četvorougla

Površina tetivnog četvorougla sa stranicama $a,\,b,\,c,\,d$ se može izraziti pomoću poluobima $s\,$ , gde je

s={\frac {a+b+c+d}{2}}

formulom koja se zove Bramaguptina formula:

P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

ili formulom u kojoj se pojavljuju stranice četvorougla i poluprečnik opisanog kruga $R\,$

P={\frac {1}{4R}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}

.

Ukoliko su dijagonale ovog četvorougla $e\,$ i $\,f$ (Sl. 1), tada se površina može izraziti formulama

P={\frac {e\cdot (ab+cd)}{4R}}={\frac {f\cdot (ad+bc)}{4R}}

,

gde se dijagonale računaju pomoću formula

e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}

i

f={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}

.

Dijagonale tetivnog četvorougla se seku u tački $P\,$ (Sl. 1), a odnos između delova dijagonale se izražava formulom ${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$ .

Ptolemejeva teorema: Ako su $a,\,b,\,c,\,d$ stranice, a $e\,$ i $\,f$ dijagonale tetivnog četvorougla, tada je

ef=ac+bd\,

.

Vidi još

Reference

^ Vladimir Stojanović, Tetive i tangente, Matematiskop. . Београд. 2004. ISBN 978-86-7076-023-3.
^ Vojislav Petrović, Tetivni i tangentni četvorouglovi, Društvo matematičara Srbije. . Београд. 2005. ISBN 978-86-81453-54-4.

Spoljašnje veze

[1] Vladimir Stojanović, Tetive i tangente, Matematiskop. . Београд. 2004. ISBN 978-86-7076-023-3.

[2] Vojislav Petrović, Tetivni i tangentni četvorouglovi, Društvo matematičara Srbije. . Београд. 2005. ISBN 978-86-81453-54-4.

[1]

[2]