Tunel efekat

Refleksija i tunelovanje talasnog paketa elektrona na potencijalnoj barijeri. Deo talasnog paketa prolazi kroz barijeru kroz koju, prema zakonima klasične fizike, to ne bi bilo moguće. (Treba obratiti pažnju na desnu polovinu slike - tunelovani deo paketa vrlo je bled i jedva se vidi.)

Tunel efekat ili tunelovanje je pojava u kojoj atomska čestica može da savlada konačnu potencijalnu barijeru čak i kada je njena energija niža od visine (energije) barijere. Prema klasičnoj fizici, to bi bilo nemoguće, međutim, prema zakonima kvantne mehanike, to je moguće. Na primer, alfa-raspad se objašnjava preko tunel efekta kao prodiranje alfa čestice kroz potencijalnu barijeru nuklearnih sila. Tunel efekat je našao tehničku primenu u skanirajućem tunelskom mikroskopu.

Otkriće

Tunel efekat je prvi eksperimentalno opazio Robert Vilijams Vud 1897. godine posmatrajući kretanje elektrona u emisionom polju ali nije uspeo da ga protumači. Istraživači u oblasti radioktivnog raspada još 1899. godine izražavali su nejasne sumnje o mogućnosti da do raspada dolazi zbog tunel efekta što je teorijski opisao tek Džordž Gamov, 1929. godine, nakon prethodnih otkrića Raderforda i saradnika da je alfa čestica zapravo jezgro helijuma. Mada se otkriće tunel efekta pripisuje Gamovu (koji ga je tako i imenovao) prvi teorijski opis dao je 1926/27 Fridrih Hund za opisivanje izomerije kod molekula.

Pojava i primene

Nuklearna fuzija na suncu

Pritisak i temperatura unutar sunca nisu dovoljni da obezbede da atomska jezgra mogu da savladaju Kulonovu barijeru da bi došlo nuklearne fuzije. Međutim, kvantna mehanika dozvoljava da se kulonova barijera savlada tunel efektom, sa malom, ali konačnom verovatnoćom

Biološka evolucija

Nestabilnost genetskog koda je, između ostalog, uzrokovana konačnom verovatnoćom za tunelovanje protona u DNK. Dakle, tunel efekat je delimično odgovoran za nastanak spontanih mutacija..

Alfa-raspad

Na tunel efektu počiva, između ostalog, spontani radioaktivni alfa-raspad, na primer, jezgra uranijuma. Prema klasičnoj fizici jezgro uranijuma ne bi trebalo da se raspada, jer je energijska barijera jake interakcije previsoka. Međutim, zbog tunel efekta postoji vrlo mala, ali konačna, verovatnoća da se alfa čestica nađe s druge strane barijere, dakle, van domašaja nuklearnih sila. U odsustvu nuklearnih sila, kulonova odbojna sila (pozitivno jezgro odbija pozitivnu alfa česticu) postaje dominantna te alfa čestica ogromnom brzinom napušta okolinu jezgra-roditelja.

Kratak kvantno-mehanički opis

Shematski prikaz tunel efekta. Energija čestice pre i posle tunelovanja ostaje ista, samo je verovatnoća za njeno nalaženje s druge strane barijere znatno niža. Drugim rečima, pri tunelovanju nema razmene energije između čestice i barijere - talasna funkcija čestice pre i nakon prolaska kroz barijeru je ista, opada samo aplituda (verovatnoća) za njeno nalaženje s druge strane barijere.

Prema klasičnoj mehanici, čestica u prostoru može da se nađe samo tamo gde je njena potencijalna energija manja od ukupne. Ovo sledi iz činjenice da kinetička energija čestice $~{E_{\rm {kin}}}={\frac {p^{2}}{2m}}={E}-{U_{\rm {pot}}}$ ne može (po klasičnoj fizici) biti negativna, jer bi tada impuls bio imaginarna veličina.

Dakle, ako se dva regiona prostora razdvoje potencijalnom barijerom, tako da $~{U_{\rm {pot}}}>{E}$, prolaz čestice kroz barijeru u klasičnoj teoriji je nemoguć. Što se zaista eksperimentalno opaža za makroskopska tela - niko nije prošao kroz zatvorena vrata. U kvantnoj mehanici, imaginarna vrednost impulsa označava samo da umesto konstantnog talasa talasna funkcija prelazi u eksponencijalnu, dakle monotonu, zavisnost od koordinata. To je očigledno iz Šredingerove jednačine sa stalnim potencijalom (radi jednostavnosti uzimamo jednodimenzionalni slučaj):

$~{\frac {{{\rm {d}}^{2}}{\psi }}{{{\rm {d}}{x}}^{2}}}+{\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}{\left({E}-{U_{\rm {pot}}}\right)}{\psi }=0$

($~x~-$ koordinata; $~E~-$ ukupna energija , $~U_{\rm {pot}}~-$ potencijalna energija, $~{\hbar ~-}$ redukovana Plankova konstanta, $~m~-$ masa častice), čije rešenje je funkcija

$~{\psi }=A\exp {\left(ix{\frac {\sqrt {2m{\left({E}-{U_{\rm {pot}}}\right)}}}{\hbar }}\right)}+B\exp {\left(-ix{\frac {\sqrt {2m{\left({E}-{U_{\rm {pot}}}\right)}}}{\hbar }}\right)}$

Neka se na putu čestice nađe barijera potencijala (visine) $~U_{0}$, i neka je potencijal čestice pre i posle prolaska kroz barijeru jednak nuli.

Za regione $~I$ (pre prolaza), $~II$ (u prolazu unutar barijere), i $~III$ (nakon prolaska kroz barijeru) (početak barijere poklapa se sa koordinatnim početkom a njena „širina“ je $~a$), dobijamo svojstvenu funkciju

$~{{\psi }_{I}}={A_{1}}\exp {\left(ikx\right)}+{B_{1}}\exp {\left(-ikx\right)}$

$~{{\psi }_{II}}={A_{2}}\exp {\left(-{\chi }x\right)}+{B_{2}}\exp {\left({\chi }x\right)}$

$~{{\psi }_{III}}={A_{3}}\exp {\left(ik(x-a)\right)}+{B_{3}}\exp {\left(-ik(x-a)\right)}$

Pošto član $~{B_{3}}\exp {\left(-ik(x-a)\right)}$ opisuje odbijeni talas koji se kreće iz beskonačnosti, a koji u posmatranom slučaju ne postoji, sledi da je $~{B_{3}}=0$.

Da bi opisali veličinu tunel efekta, uvedimo koeficijent propusnosti barijere jednak modulu odnosa gustine toka čestica koje su prošle kroz barijeru i gustine toka upadnih čestica:

$~D={\frac {{\mathcal {j}}{j_{III}}{\mathcal {j}}}{{\mathcal {j}}{j_{I}}{\mathcal {j}}}}$

Za karakterizaciju gustine toka čestica koristimo formulu

$~{j}={\frac {i{\hbar }e}{2m}}{\left({\frac {{\partial }{{\psi }^{*}}}{{\partial }x}}{\psi }-{\frac {{\partial }{\psi }}{{\partial }x}}{{\psi }^{*}}\right)}$

gde zvezdica označava kompleksnu konjugaciju.

Zamenom u gore opisanoj talasnoj jednačini funkcije dobijamo

$~{D}={\frac {{{\mathcal {j}}{A_{3}}{\mathcal {j}}}^{2}}{{{\mathcal {j}}{A_{1}}{\mathcal {j}}}^{2}}}$

Kristeći granične uslove prvo izrazimo $~A_{2}$ i $~B_{2}$ preko $~A_{3}$ (s tim što je $~{\chi }a~{\gg }~1$):

$~{A_{2}}={\frac {1-in}{2}}{A_{3}}{\exp {\left({\chi }a\right)}}~,~~~~~~{B_{2}}={\frac {1+in}{2}}{A_{3}}{\exp {\left(-{\chi }a\right)}}~{\approx }~0$

$~n={\frac {k}{\chi }}={\sqrt {\frac {E}{{U_{0}}-E}}}$

a zatim $~A_{1}$ preko $~A_{3}$:

$~{A_{1}}={\frac {{\left(1-in\right)}{\left(1+{\frac {i}{n}}\right)}}{4}}{\exp {\left({\chi }a\right)}}{A_{3}}$

Uvedimo veličinu

$~{D_{0}}={\frac {16{n^{2}}}{{\left(1+{n^{2}}\right)}^{2}}}$

Koja je reda jedinice. Tada:

$~D~{\cong }~{D_{0}}{\exp {\left(-{\frac {2a{\sqrt {2m{\left({U_{0}}-E\right)}}}}{\hbar }}\right)}}$

Za potencijalnu barijeru proizvoljnog oblika vršimo zamenu

$~{\frac {2a{\sqrt {2m{\left({U_{0}}-E\right)}}}}{\hbar }}~{\Rrightarrow }~{\frac {2}{\hbar }}{\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m{\left({U(x)}-E\right)}}}\,{\rm {d}}x}$

gde $~x_{1}$ i $~x_{2}$ slede iz uslova

$~{U(x_{1})}={U(x_{2})}=E$

Tada za koeficijent propusnosti barijere dobijamo

$~D~{\cong }~{D_{0}}{\exp {\left(-{\frac {2}{\hbar }}{\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m{\left({U(x)}-E\right)}}}\,{\rm {d}}x}\right)}}$

Dakle, i kada je potencijalna energija barijere veća od ukupne energije čestice verovatnoća za prolazak čestice kroz barijeru je konačna (mada najčešće samo malko veća od nule). Veličina verovatnoće (izražena preko koeficijenta propusnosti) zavisi od mase čestice, debljine brijere i relativnog odnosa energija barijere i čestice. Pošto se masa čestice kod koeficijenta propusnosti javlja u eksponentu, verovatnoća za tunel efekat kod masivnih čestica opada ogromnom brzinom te se efekat praktično javlja samo kod mikroskopskih objekata.

Talas materije u potencijalu, lom i refleksija

Talasi materije se uglavnom razmatraju izvan delovanja spoljnih sila. Katodne zraci nose električni naboj i, prema tome, izvrgnuti su delovanju električnih sila. Imajući u vidu analogiju talasa i čestice, može se generalno zaključiti kako će se menjati talasna dužina valova materije u spoljnom električnom potencijalu.

Delovanje električne sile opisuje se u talasnoj teoriji električnim potencijalom V. Potencijal, pomožen električnim nabojem čestice e∙V, daje potencijalnu energiju U.

Kad se katodni zraci kreću u spoljašnjem potencijalu, menja se njihova brzina. Promena brzine mora prema de Brojevom odnosu biti povezana s promenom talasne dužine. Za česticu je zbir kinetičke i potencijalne energije konstanta:

${\frac {m\cdot v^{2}}{2}}+U=E$

Odatle izlazi kako se impuls čestice menja pod delovanjem:

$m\cdot v={\sqrt {2\cdot m\cdot (E-U)}}$

Prema de Brojevom odnosu talasna dužina talasa materije određena je impulsom:

$\lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\cdot m\cdot (E-U)}}}$

Iz ove jednačine proizlazi kako se menja talasna dužina talasa materije na različitim mestima u prostoru. Ako se katodni zraci kreću nasuprot delovanju električne sile, tada se talasna dužina povećava. Kad se, naprotiv, katodni zraci kreću u smeru električne sile, tada se talasna dužina umanjuje.

Literatura

• Robert Williams Wood: A new form of Cathode Discharge and the Production of X-Rays, together with some Notes on Diffraction, Phys. Rev. 5, 1 (1897)
• George Gamow: Zur Quantentheorie des Atomkernes, Z. Phys. 51, 204 (1928)
• Ronald W. Gurney und Edward U. Condon: Wave Mechanics and Radioactive Disintegration, Nature 122, 439 (1928)
• R. Holm: The Electric Tunnel Effect across Thin Insulator Films in Contact, J. Appl. Phys. 22, 569 (1951)
• J. C. Fisher und Ivar Giaever: Tunneling Through Thin Insulating Layers, J. Appl. Phys. 32, 172 (1961)
• Brian D. Josephson: Possible New Effects in Superconducting Tunneling, Phys. Lett. 1, 251 (1962)
• Philip W. Anderson, J. M. Rowell und D. E. Thomas: Image of the Phonon Spectroscopy in the Tunneling Characteristic between Superconductors, Phys. Rev. Lett. 10, 334 (1963)
• Sidney Shapiro (1963). „Josephson Current in Superconducting Tunneling: The Effect of Microwaves and other Observations”. Phys. Rev. Lett. 11 (80). 
• Gerd Binnig, Heinrich Rohrer, C. Gerber und E. Weibel: Tunneling through a Controllable Vacuum Gap, Appl. Phys. Lett. 40, 178 (1982)
• Dilip K.Roy (1986). Quantum mechanical tunnelling and its applications. ISBN 978-9971-5-0024-5. . World Scientific, Singapore.
• Shin Takagi (2002). Macroscopic quantum tunneling. Cambridge. ISBN 978-0-521-80002-0. 
• Joachim Ankerhold (2007). Quantum tunneling in complex systems - the semiclassical approach. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-68074-1. 
• Macura, Slobodan; Radić-Perić, Jelena (2004). Atomistika. Beograd: Fakultet za fizičku hemiju Univerziteta u Beogradu/Službeni list. .. str. 516.
• W. Zhu, ur. (2001). Vacuum Microelectronics. Wiley, New York. 
• G.N. Fursey (2005). Field Emission in Vacuum Microelectronics. Kluwer Academic, New York. ISBN 0-306-47450-6. 
• Seiwatz, Ruth; Green, Mino (1958). „Space Charge Calculations for Semiconductors”. Journal of Applied Physics. 29 (7): 1034. Bibcode:1958JAP....29.1034S. doi:10.1063/1.1723358. 
• A. Many, Y. Goldstein, and N.B. Grover, Semiconductor Surfaces (North Holland, Amsterdam, 1965).
• W. Mönsch, Semiconductor Surfaces and Interfaces (Springer, Berlin, 1995).
• Peng, Jie; Li, Zhibing; He, Chunshan; Chen, Guihua; Wang, Weiliang; Deng, Shaozhi; Xu, Ningsheng; Zheng, Xiao; Chen, GuanHua; Edgcombe, Chris J.; Forbes, Richard G. (2008). „The roles of apex dipoles and field penetration in the physics of charged, field emitting, single-walled carbon nanotubes”. Journal of Applied Physics. AIP Publishing. 104 (1): 014310. ISSN 0021-8979. arXiv:cond-mat/0612600 . doi:10.1063/1.2946449. 
• Barbour, J. P.; Dolan, W. W.; Trolan, J. K.; Martin, E. E.; Dyke, W. P. (1953). „Space-Charge Effects in Field Emission”. Physical Review. 92 (1): 45—51. Bibcode:1953PhRv...92...45B. doi:10.1103/PhysRev.92.45. 
• Jensen, Kevin (2007). Electron emission physics. Advances in Imaging and Electron Physics. 149. San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-374207-0. OCLC 647688316. 
• G.A. Mesyats, Explosive Electron Emission (URO Press, Ekaterinburg, 1998)
• Holstein, T. (1952). „Mobilities of positive ions in their parent gases”. J. Phys. Chem. 56 (7): 832—836. doi:10.1021/j150499a004. 
• Herring, C. (1962). „Critique of the Heitler-London Method of Calculating Spin Couplings at Large Distances”. Rev. Mod. Phys. 34 (4): 631—645. Bibcode:1962RvMP...34..631H. doi:10.1103/RevModPhys.34.631. 
• Bardsley, J. N.; Holstein, T.; Junker, B. R.; Sinha, S. (1975). „Calculations of ion-atom interactions relating to resonant charge-transfer collisions”. Phys. Rev. A. 11 (6): 1911—1920. Bibcode:1975PhRvA..11.1911B. doi:10.1103/PhysRevA.11.1911. 
• Scott, T. C.; Aubert-Frécon, M.; Andrae, D. (2002). „Asymptotics of Quantum Mechanical Atom-Ion Systems”. AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing). 13 (3): 233—255. doi:10.1007/s002000200100. 
• Aubert-Frécon, M.; Scott, T. C.; Hadinger, G.; Andrae, D.; Grotendorst, J.; Morgan III, J. D. (2004). „Asymptotically Exact Calculation of the Exchange Energies of One-Active-Electron Diatomic Ions with the Surface Integral Method”. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 37 (22): 4451—4469. Bibcode:2004JPhB...37.4451S. doi:10.1088/0953-4075/37/22/005. 
• Smirnov, B. M.; Chibisov, M. I. (1965). „Electron exchange and changes in the hyperfine state of colliding alkaline metal atoms”. Sov. Phys. JETP. 21: 624—628. Bibcode:1965JETP...21..624S. 

Spoljašnje veze

• Animated illustration of tunnelling