Homomorfizam grupa

U matematici, ako su date dve grupe (G, *) i (H, ·), homomorfizam grupa iz (G, *) u (H, ·) je preslikavanje h : G → H takvo da za svako u i v iz G važi da

h(u * v) = h(u) · h(v)

gde je operacija grupe sa leve strane jednačine operacija iz G, a sa desne strane je operacija iz H.

Iz ovog svojstva može se dedukovati da h preslikava neutral e_G grupe G u neutral e_H grupe H, i takođe preslikava inverze u inverze u smislu da h(u^-1) = h(u)^-1. Stoga se može reći da je h u skladu sa strukturom grupe.

U oblastima matematike gde se razmatraju grupe sa dodatnim strukturama, homomorfizam ponekad znači da preslikavanje poštuje ne samo strukturu grupe (kao gore), već i ovu dodatnu strukturu. Na primer, homomorfizam topoloških grupa često mora da bude neprekidan.

Slika i jezgro

Definišemo jezgro h (kernel) kao

ker(h) = { u iz G : h(u) = e_H }

a sliku h kao

im(h) = { h(u) : u iz G }.

Jezgro je normalna podgrupa od G (u stvari, h(g^-1 u g) = h(g)^-1 h(u) h(g) = h(g)^-1 e_H h(g) = h(g)^-1 h(g) = e_H) a slika je podgrupa od H. Homomorfizam h je injektivan (i naziva se monomorfizam grupe) ako i samo ako ker(h) = {e_G}.

Primeri

• Posmatrajmo cikličnu grupu Z'/3Z = {0, 1, 2} i grupu celih brojeva Z sa sabiranjem. Preslikavanje h : Z → Z/3Z' sa h(u) = u mod 3 je homomorfizam grupa. Ovo preslikavanje je surjekcija i njegovo jezgro se sastoji od svih celih brojeva deljivih sa 3.

• eksponencijalno preslikavanje daje homomorfizam grupa iz grupe realnih brojeva R sa sabiranjem u grupu realnih brojeva različitih od nule, R^* sa množenjem. Jezgro je {0} a slika se sastoji od pozitivnih realnih brojeva.

• Eksponencijalno preslikavanje takođe daje homomorfizam grupa iz grupe kompleksnih brojeva C sa sabiranjem u grupu kompleksnih brojeva različitih od nule, C^* sa množenjem. Ovo preslikavanje je surjektivno, i ima jezgro { 2πki : k u Z }, što se može videti iz Ojlerove formule.

• Ako su date dve grupe G i -{H]-, i preslikavanje h : G → H koje slika svaki element iz G u neutral H, h je homomorfizam; njegovo jezgro je celo G.

• Ako je data bilo koja grupa G, identiteta id : G → G definisana kao id(u) = u za svako u iz G je homomorfizam grupa.

Kategorija grupa

Ako su h : G → H i k : H → K homomorfizmi grupa, tada je i k o h : G → K homomorfizam grupa. Ovo pokazuje da klasa svih grupa, zajedno sa homomorfizmima grupa kao morfizmima, gradi kategoriju.

Vrste homomorfnih preslikavanja

Ako je homomorfizam h bijekcija, tada se može pokazati da je njegov inverz takođe homomorfizam grupa, i h se naziva izomorfizmom grupa; u ovom slučaju, grupe G i H su izomorfne: razlikuju se samo u notaciji svojih elemenata a identične su u svakom praktičnom smislu.

Ako je h: G → G homomorfizam grupa, onda ga nazivamo endomorfizmom od G. Ako je ujedno i bijektivan (i stoga izomorfizam), onda je to automorfizam. Skup svih automorfizama grupe G, sa kompozicijom funkcija kao operacijom, gradi novu grupu, grupu automorfizama od G. Ona se označava sa Aut(G). Na primer, automorfizam grupe (Z, +) se sastoji samo od dva elementa, neutrala, i množenja sa -1; izomorfan je sa Z/2Z.

Epimorfizam je surjektivni homomorfizam, to jest, homomorfizam koji je na preslikavanje. Monomorfizam je injektivni homomorfizam.

Homomorfizmi Abelovih grupa

Ako su G i H Abelove (to jest komutativne) grupe, tada je skup Hom(G, H) svih homomorfizama grupa iz G u H i sam Abelova grupa: zbir dva izomorfizma h + k se definiše kao

(h + k)(u) = h(u) + k(u)    za svako u iz G.

Komutativnost H je neophodna da bi se dokazalo da je i h + k homomorfizam grupa. Sabiranje homomorfizama je kompatibilno sa kompozicijom homomorfizama u sledećem smislu: ako je f unutar Hom(K, G), h, k su elementi Hom(G, H), i g je u Hom(H, L), onda

(h + k) o f = (h o f) + (k o f)   i    g o (h + k) = (g o h) + (g o k).

Ovo pokazuje da skup End(G) svih endomorfizama Abelove grupe gradi prsten, endomorfizam prstena od G.