Cikloida

Obična trohoida koja nastaje kotrljanjem jednog kruga i kod koga se tačka, koja ocrtava liniju, nalazi na samom krugu, koji se kotrlja.

Cikloida (od grč. κυκλοειδής-okrugli ) je kriva, koju iscrtava tačka na obodu kruga, koji se kotrlja po pravoj bez klizanja.

Istorija

Apolonije Pergejski, astronom Hiparh i kasnije Klaudije Ptolemej su, proučavajući kretanje planeta, došli do krivih koje se dobijaju kada svemirsko telo učestvuje istovremeno u dve rotacije: krećući se po krugu $\kappa$ čiji se centar kreće po drugom krugu $\kappa$'. Te krive se mogu opisati kao fiksirane tačke kruga $\kappa$ koji se bez klizanja kotrlja po nepokretnom krugu $\kappa$'.

U zavisnosti od odnosa radijusa $r$ i $r$' krugova $\kappa$ i $\kappa$', kao i od toga da li krug $\kappa$ rotira izvan ili unutar kruga $\kappa$' postoje različite krive.

Ako krug $\kappa$ rotira spolja po krugu $\kappa$', odgovarajuće krive se nazivaju epicikloide.

Ukoliko je $r$ < $r$' i $\kappa$ rotira iznutra po $\kappa$', to su hipocikloide.

Ako je ipak $r$ > $r$' i $\kappa$ rotira spolja po $\kappa$' koji se nalazi unutar $\kappa$, to su pericikloide.

Ukoliko $\kappa$' nije krug, nego prava, krug $\kappa$ se bez trenja kotrlja po pravoj, dobija se cikloida.

Najzad, ako $\kappa$ nije krug, nego prava koja se bez klizanja kreće spolja po fiksiranom krugu $\kappa$', kriva se naziva involuta kruga.

Galileo je bio prvi koji se ozbiljno bavio proučavanjem cikloida 1599. godine, pokušajem pravljenja kvadrata površine iste kao one ispod cikloide.

Taj problem je oko 1628. godine razumeo Žil Person de Riberva od Marina Mersena i primenio 1634. godine koristeći Kavalierijevu teoremu. Njegov rad nije bio izdat sve do 1693. godine.

Konstrukcija tangente cikloide varira još od avgusta 1638. godine kada je Mersen naučio posebne metode od Riberva, Pjera Ferma i Rene Dekarta. Mersen je ova saznanja prosledio Galileju, a on zatim svojim studentima Toričeliju i Vivijanu, koji su uspeli da proizvedu kvadrituru cikloide.

Godine 1658. Blez Paskal je odustao od matematike zbog teologije, ali je zbog svoje zubobolje počeo da razmišlja o pojedinim problemima cikloide. Osam dana nakon prestanka zubobolje, shvativši da je to znak da treba da nastavi sa istraživanjem, rad je završen.

Petnaest godina kasnije, Kristijan Hajgens je napravio cikloidni pendulum radi poboljšanja hronometra i tako otkrio da je čestica pravila putanju u obliku inverznog cikloidnog luka, nezavisno od njene početne tačke.

Godine 1686., Gotfrid Vilhelm Lajbnic je iskoristio analitičku geometriju kako bi opisao krivu sa jednom jednačinom.

Cikloida se pojavljjuje kao rešenje najstarijeg problema danas veoma važne grane matematike – varijacionog raučuna. To je problem brahistohrone, koji je postavio Johan Bernuli 1696. godine, a rešavali ga Njutn, Lajbnic, Jakob Bernuli i Lopital.

Primena

Cikloidni luk na Kimbelovom muzeju umetnosti

Čelični zupčanici u zahvatu

Cikloidni dizajn je našao primenu u arhitekturi Kimbel muzeja umetnosti u Teksasu, koji je dizajnirao Luis Kan.

Pored arhitekture, cikloidni dizajn se još koristi u izgradnji pojedinih muzičkih instrumenata, kao i u mašinstvu.

Jednačina

Cikloida, koja nastaje kotrljanjem kruga poluprečnika r = 2

Jednačina cikloide, koja prolazi kroz koordinatni početak, a nastaje kotrljanjem kruga poluprečnika $r$:

$x=r(t-\sin t)\,$

$y=r(1-\cos t)\,$

U toj jednačini $t$ je parametar koji odgovara uglu rotacije kruga.

Rešavajući jednačinu po promenljivoj t, dobijamo jednačinu cikloide u Dekartovim koordinatama:

$x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}$

Prvi luk cikloide čine tačke za koje važi:

$0\leq t\leq 2\pi .\,$

Cikloida predstavlja rešenje diferencijalne jednačine:

$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}.$

Problem brahistohrone

Johan Bernuli je 1696. postavio problem brahistrohrone. Za proizvoljne zadane tačke A i B u vertikalnoj ravni potrebno je odrediti jednačinu krive po kojoj bi se kretala materijalna tačka pod dejstvom gravitacione sile, tako da to rastojanje pređe za najkraće moguće vreme.

Ta kriva je upravo cikloida, a problem je predstavljao začetak varijacionog računa.

Problem su rešavali Isak Njutn, Jakob Bernuli, Gijom de Lopital i Gotfrid Vilhelm Lajbnic.

Površina

Luk cikloide je zadan sa:

$x=r(t-\sin t),\,$

$y=r(1-\cos t),\,$ i sa uslovom:

$0\leq t\leq 2\pi .\,$

Pošto je

${\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t),$

onda je površina ispod jednoga luka:

${\begin{aligned}A&=\int _{t=0}^{t=2\pi }y\,dx=\int _{t=0}^{t=2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}\,dt\\&=\left.r^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\sin t+{\frac {1}{2}}\cos t\sin t\right)\right|_{t=0}^{t=2\pi }\\&=3\pi r^{2}.\end{aligned}}$

Produžena cikloida

Skraćena cikloida

Dužina luka cikloide

Dužina jednoga luka cikloide je:

${\begin{aligned}S&=\int _{t=0}^{t=2\pi }\left(\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right)^{1/2}\,dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }r{\sqrt {2-2\cos(t)}}\,dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }2r\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\,dt\\&=8r.\end{aligned}}$

Dužinu luka cikloide prvi je izračunao Kristofer Ren 1658.

Krive iz familije cikloida

Sa cikloidama su blisko povezane:

• Skraćena cikloida, koja predstavlja krivu, koju iscrtava tačka na proizvoljnoj udaljenosti $a$ od centra kruga radijusa $r$, ali tako da je $r>a$. Parametarska jednačina skraćene cikloide je:

$x=rt-a\sin t\,$

$y=r-a\cos t\,$

• Produžena cikloida, koja predstavlja krivu, koju iscrtava tačka na proizvoljnoj udaljenosti $a$ od centra kruga radijusa $r$, ali tako da je $r<a$. Parametarska jednačina produžene cikloide je:

$x=rt-a\sin t\,$

$y=r-a\cos t\,$

• trohoida - skraćena i produžena cikloida pripadaju grupi trahoida
• epicikloida, koja predstavlja krivu, koju iscrtava tačka na kružnici, koja se kotrlja po spoljnjem opsegu druge nepomične kružnice
• hipocikloida, koja predstavlja krivu, koju iscrtava tačka na kružnici, koja se kotrlja po unutrašnjem opsegu druge nepomične kružnice

Vidi još

• epicikloida
• hipocikloida
• trohoida
• epitrohoida
• hipotrohoida

Literatura

• Cikloida
• Skraćena cikloida
• Produžena cikloida