С Википедије, слободне енциклопедије
Д'Аламберов оператор је диференцијални оператор другог реда. Д'Аламберов оператор је у ствари Лапласов оператор у простору Минковског - (t, x, y, z). Назван је по француском математичару Жан ле Рон д'Аламберу.
Оператор се често користи у физици електромагнетског поља - таласна једначина светла. Ознака за д'Аламберов оператор је квадрат :
.
Оператор сачињава Лапласов оператор (
) и двоструки извод по времену :
![{\displaystyle \Box =\Delta -{\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853b0c13a6686c6213b8156b40c998bc0b2d8468)
У теорији релативности, користи се запис са Ајнштајновим индексима.
.
где је коваријантни запис,
![{\displaystyle \partial ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }=\left(\partial _{ct},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3393eb716f500303970f8a375e017251c8f89b06)
Производ је дефинисан као д'Аламберов оператор.
![{\displaystyle \Box :=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dd4b7c5a1f6d60c52f02f489a0663ca28b6f54)
У различитим координатним системима[уреди | уреди извор]
Д'Аламберов оператор у сферним координатама:
![{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u}{\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c855dcb932a37e5add941f6093d171cd69eebaef)
Д'Аламберов оператор у цилиндричним координатама:
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho ^{2}{\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca016f461861f380a1bc05163f04cb1d42f6d9b)
У општим криволинијским координатама:
![{\displaystyle \square u\equiv {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\sqrt {-g}}\,g^{\mu \nu }{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b5335ec22f4fc0d5417ae225a14e91ed3d3107)
где је
метрички тензор, а g је детерминанта тога тензора.