Пређи на садржај

Неодређени интеграл

С Википедије, слободне енциклопедије

У математичкој анализи неодређени интеграл неке функције јесте диференцијабилна функција чији је извод једнак оригиналној функцији .[1][2] Процес проналажења решења неогређеног интеграла назива се интеграција, и она је супротна од операције диференцирања, која је процес налажења извода неке функције.

Теоријски увод

[уреди | уреди извор]

Нека је произвољна примитивна функција функције на интервалу , неодређени интеграл дефинише се као:За примитивну функцију 𝐹(𝑥) функције 𝑓(𝑥) на интервалу 𝐼 важи:

Дефиниција

[уреди | уреди извор]

За функцију се каже да је примитивна (првобитна) функција функције дефинисане на истом интервалу, ако важе следећи услови:

  • Функција је непрекидна на интервалу
  • Функција у свакој унутрашњој тачки интервала има извод, и при том је: .

Скуп свих примитивних функција функције на интервалу назива се неодређени интеграл функције на интервалу и обележава са , где је подинтегрална функција, а подинтегрални израз.

Теорема 1

Ако је примитивна функција функције на интервалу , онда је и свака функција

, где је c∈ произвољна константа, примитивна функција за на интервалу .

Доказ.

Ако функција има примитивну функцију на интервалу , онда на том интервалу има бесконачно много примитивних функција. Фамилија функција представља скуп свих примитивних функција за функцију на интервалу , где је једна њена примитивна функција на интервалу .

Теорема 2

Нека су и примитивне функције за на интервалу , онда постоји реална константа с таква да важи , x∈

Доказ. Дефинишимо функцију за x∈ . Функције и су непрекидне на интервалу ⇒ функција је непрекидна (као разлика непрекидних функција)

и

су диференцијабилне у ⇒ функција је диференцијабилна у (као разлика диференцијабилних функција), и при том важи:

.

Како је извод функције једнак 0 у свакој тачки интервала је константна функција на , односно:

,

те је , c∈ , x∈ .

Теорема 3

Нека је функција непрекидна на интервалу и диференцијабилна у . Тада је : c∈ , x∈ .

Доказ.

c∈ , x∈
Теорема 4

Нека функција има примитивну функцију на интервалу . Тада у унутрашњим тачкама интервала важи:.

Доказ.

.
Теорема 5

Нека функције и имају примитивне функције и , редом, на интервалу . Тада функција има примитивну функцију на , и важи:

Доказ

и примитивне функције за и на интервалу и су непрекидне на и диференцијаблине на ⇒ Функција је непрекидна на интервалу и диференцијабилна на . При том, важи:

⇒ функција има примитивну функцију на .

и ,

,. Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:

= ,
а она очигледно важи јер .
Теорема 6

Нека функција има примитивну функцију на интервалу и нека је . Тада функција има примитивну функцију на , и још ако је k≠0, важи: .

Доказ.

је примитивна функција функције на интервалу , што значи да је непрекидна на , диференцијабилна на унутрашњости интервала и важи: . Дакле, следи да је и функција непрекидна и важи: , . ⇒ је примитивна фукнција функције на интервалу .

Нека је k≠0. Тада:
, ,

, .

Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:

=

Заиста,

јер је
јер је , k≠0.

Ако је k=0:

, ,
, .

⇒ нису једнаки за k=0.

Теорема 7.

Нека функција има примитивну фукнцију на интервалу . Тада је функција примитивна функција фукције на , , и важи: , .

Доказ.

је примитивна функција функције на интервалу ,

је примитивна функција функције на посматраном интервалу.

Ово тврђење је корисно, јер олакшава решавање многих интеграла. Примери:

Методи интеграције

[уреди | уреди извор]

Налажење неодређених интеграла елементарних функција је често много теже него налажење извода тих функицја.

Зато постоје многе методе и начини за проналажење интеграла, као што су:

  • Линеарност интеграла
  • Смена променљиве
  • Метод парцијалне интеграције
  • Свођење квадратног тринома на канонски облик
  • Метода неодређених коефицијената
  • Интеграција помоћу рекурентних формула
  • Итеграција рационалних функција
  • Интеграција тригонометријских функција

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ Stewart, James (2008). Calculus: Early TranscendentalsНеопходна слободна регистрација (6th изд.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th изд.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4. 

Литература

[уреди | уреди извор]
  • М. Рашајски, Б. Малешевић, Т. Лутовац, Б. Михаиловић, Н. Цакић: Линеарна алгебра, Универзитет у Београду - Електротехнички факултет и Академска мисао, Београд. ISBN: 978-86-7466-680-7
  • Милан Меркле, Математичка анализа -теорија и хиљаду задатака-за студенте технике, треће измењено и допуњено издање, Академска мисао 2015.
  • Цветковић Д., Лацковић И., Меркле М., Радосављевић З., Симић С., Васић П., Математика 1 – Алгебра, IX издање, Академска мисао, Београд, 2006.
  • Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
  • Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]