Ekvivalentna impedansa

Ekvivalentna impedansa je ekvivalentno kolo električne mreže sa elementima impedanse koje predstavljaju istu impedansu između svih parova terminala kao što je u datoj mreži. Ovaj tekst opisuje matematičke transformacije između nekih pasivnih mreža linearne impedanse koja se najčešće pronalazi u električnim kolima.

Postoji nekoliko dobro poznatih i često upotrebljivanjih ekvivalentnih kola u analizi linearnih mreža. Ona uključuju otpornike u nizovima, paralelno postavljene otpornike i proširuju se na redno vezana i paralalelna kola za kondenzatore, provodnike i opštu impedansu. Takođe su dobro poznati Nortonov i Teveninov ekvivalentan generator struje i generator napona kola respektivno kao što je Y-Δ transformacija. O njima dalje neće biti reči i treba konsultovati pojedinačne tekstove o tome.

Nekoliko ekvivalentnih kola u koje se može transformisati linearna mreža je nevezano. Čak i u najtrivijalnijim slučajevima se ovo može pokazati kao istinito, na primer kada se zapitamo koliko različitih kombinacija paralelnih otpornika je ekvivalent datom kombinovanom otporniku. Ovaj tekst nema pretenzija ka opsežnosti ali moguće je obratiti pažnju na nekoliko generalija. Vilhelm Kauer otkrio je transformaciju koja može da dovede do svih mogućih ekvivalenata date racionalne pasivne linearne jednoulazne ili drugim rečima bilo koje date dvopolne impedanse. Transformacije četvoropolnih naročito dvoulaznih mreža se takođe često susreću a moguće su i transformacije još kompleksnijih mreža.

Širok opseg tema o ekvivalentnim kolima je potcenjen u priči Sidnija Darlingtona. Sudeći po Darlingtonu, veliki broj ekvivalentnih kola je otkrio Ronald Foster prateći svoj rad i rad Džordža Kempbela iz 1920. Godine o nedispativosti četvoroulazne mreže. U toku svog rada oni su tražili načine na koje četiri ulaza mogu biti međusobno povezana idelanim transformatorima i uz maksimalni transfer energije. Otkrili su nekoliko kombinacija koje bi mogle imati praktičnu primenu i tražili od AT & T odleljenja za patente da ih patentiraju. Odeljenje za patente im je reklo da nema svrhe patentirati samo nekoliko kola ako bi konkurencija mogla da iskoristi ekvivalentno kolo da zaobiđe njihov patent; treba da patentiraju sve ili da odustanu. Foster je onda izveo proračune za svako od njih. Došao je do ogromne sume od 83, 539 ekvivalenata (577,722 ako se uključe i različiti opseg autputa). Ovo je bilo previše za patentiranje pa je umesto toga informacija puštena u javnost da bi se sprečilo patentiranje svega toga od strane konkurencije AT & T ubuduće.

Dvopolne, dvoelementne vrste mreža

Jedna impedansa ima dva terminala koja povezuje ka spoljnom svetu, prema tome može biti opisana kao dvopolna ili jednoulazna mreža. Uprkos jednostavnom opisu, nema granice broju podmreža pa ni kompleksnost i broj elemenata koje impedansa mreže može imati. Dvoelementne vrste mreža su čest dizajn kola; filteri, na primer su često LC vrste mreže a dizajneri štampanih ploča često favorizuju RC vrstu mreže zato što se kalemi teže proizvode.Transformacije su jednostavnije i lakše se pronalaze nego za troelementne vrste mreža. Jednoelemеntne vrste mreža se mogu smatrati posebnim slučajem dvoelemntnih vrsta mreže. Moguće je upotrebiti transformacije u ovom delu na nekim troelementnim vrstama mreža zamenjivanjem mreže elemenata za element Zn. Međutim, ovo je ograničeno za najviše dve impedanse koje se zamenjuju; ostatak nije stvar slobodnog izbora. Sve transformacione jednačine date u ovom tekstu bazirane su na radu Ota Zobela.

Troelemntne mreže

Jednoelementne mreže su trivijalne a dvoelemntne, dvopolne mreže su ili dva elementa u nizu ili dva elementa paralelno vezana što je takođe trivijalno. Najmanji broj elemenata koji nije trivijalan je tri a postoje dve moguće dvoelementne transformacije koje nisu trivijalne, jedna je i obrnuta transformacija i topološki dual dual, druge.

Opis	Mreža	Prevedena jednačina	Prevedena mreža
Pretvaranje 1.1 Pretvaranje 1.2 je obrnuto od ove transformacije.		$p_{1}=1+m_{1}\ ,$  $p_{2}=m_{1}(1+m_{1})\ ,$  $p_{3}=(1+m_{1})^{2}\ .$
Pretvaranje 1.2 Reverzno pretvaranje, i toplogijski dual, pretvaranja 1.1.		$p_{1}={\frac {{m_{1}}^{2}}{1+m_{1}}}\ ,$  $p_{2}={\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\ ,$  $p_{3}=\left({\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\right)^{2}\ .$
Primer. Primer Pretvranja 1.2. Smanjuje veličinu inudkatora i ima praktične prednosti		$m_{1}=0.5\ ,$  $p_{1}=\textstyle {\frac {1}{6}}\ ,$ $p_{2}=\textstyle {\frac {1}{3}}\ ,$ $p_{3}=\textstyle {\frac {1}{9}}\ .$

Četvoroelementne mreže

Postoje 4 komplikovane četvoroelementne transformacije za dvoelementne vrste mreža. Dve od njih su obrnute transformacije preostale dve, a dve su duali preostale dve. Moguće su dalje transformacije u posebnom slučaju kada je Z₂ Z2 ista vrsta elementa ko i Z₁, tj. kada se mreža svede na jednoelementnu mrežu. Broj mogućih mreža raste kako se broj elemenata povećava. Za sve unesene vrednosti u tabeli ispod važi:

$q_{1}:=1+m_{1}+m_{2}\,\!$ , $q_{2}:={\sqrt {{q_{1}}^{2}-4m_{1}m_{2}}}\,\!$ , $q_{3}:={\frac {(1+m_{1})(1+m_{2})}{(m_{1}-m_{2})^{2}}}$ ,	$q_{4}:={\frac {q_{2}-q_{1}+2m_{2}}{2q_{2}}}$ , $q_{5}:={\frac {q_{2}+q_{1}-2m_{2}}{2q_{2}}}$ .

Opis	Mreža	Prevedena jednačina	Prevedna mreža
Transform 2.1 Pretvaranje 2.2 je obrnuto od ove transformacije. Reverzno pretvaranje, i toplogijski dual, pretvaranja		$p_{1}={\frac {q_{1}+q_{2}}{2q_{5}}}\ ,$ $p_{2}={\frac {q_{1}-q_{2}}{2q_{4}}}\ ,$ $p_{3}={\frac {m_{2}}{q_{5}}}\ ,$ $p_{4}={\frac {m_{2}}{q_{4}}}\ .$
Transform 2.2 Transform 2.1 je obrnuto od ove transformacije.. Pretvaranje2.4 je topologijskil ove transformacije.		$p_{1}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{2})}}\ ,$ $p_{2}={\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\ ,$ $p_{3}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{1})}}\ ,$ $p_{4}={\frac {m_{2}}{1+m_{2}}}\ .$
Transform 2.3 Transform 2.4 obrnuto od ove transformacije. Transform 2.1 je topologijskil ove transformacije.		$p_{1}={\frac {q_{4}(q_{1}+q_{2})}{2m_{2}}}\ ,$ $p_{2}={\frac {q_{5}(q_{1}-q_{2})}{2m_{2}}}\ ,$ $p_{3}=q_{4}\ ,$ $p_{4}=q_{5}\ .$
Transform 2.4 Transform 2.3 is the reverse of this transform. Transform 2.2 is the topological dual of this transform.		$p_{1}=1+m_{1}\ ,$ $p_{2}=m_{1}q_{3}(1+m_{1})\ ,$ $p_{3}=1+m_{2}\ ,$ $p_{4}=m_{1}q_{3}(1+m_{2})\ .$
Example 2. An example of Transform 2.2.		$m_{1}=3\ ,$ $m_{2}=1\ ,$ $q_{3}=2\ ,$ $p_{1}=\textstyle {\frac {1}{4}}\ ,$ $p_{2}=\textstyle {\frac {3}{4}}\ ,$ $p_{3}=\textstyle {\frac {1}{8}}\ ,$ $p_{4}=\textstyle {\frac {1}{2}}\ .$

Dvopolne, n-elementne, troelementne vrste mreža

Fig. 1.

Jednostavne mreže sa samo nekoliko elemenata mogu se izraziti formulisanjem mrežnih jednačina „rukom“ uz primenu jednostavnih teorema za mreže kao što je Kirhofov zakon. Jednakost se dokazuje između dve mreže direktno poredeći dva seta jednačina i izjednačavanjem koeficijenata. Za veće mreže potrebnije su jače tehnike. Uobičajen pristup je početi izražavanjem mreže impedansi u obliku matrice. Ovaj pristup je dobar samo za racionalne mreže. Bilo koja mreža koja uključuje neuređene elemente kao što je transmisiona linija ne može biti predstavljena konačnom matricom. Uopšteno govoreći, n-podmreža zahteva n x n matricu da je iskaže. Na primer, matrica za tropodmrežnu mrežu može izgledati ovako:

$\mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}$

Unos vrednosti u matricu je odabran da bi matrica formirala sistem linearnih jednačina podmrežnih napona i struja (kako je objašnjeno u analizi podmreža)

$\mathbf {[V]} =\mathbf {[Z][I]}$

Primer dijagrama na Slici 1, na primer, može se iskazati kao matrica impedanse:

$\mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}$

a povezan sistem linearnih jednačina je,

${\begin{bmatrix}V_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

U većini opštih slučajeva svaka grana, Z_p, mreže može se sastojati od 3 elemnta tako da,

$Z_{\mathrm {p} }=sL_{\mathrm {p} }+R_{\mathrm {p} }+{1 \over sC_{\mathrm {p} }}$

gde L, R and C predstavljaju konduktansu, rezistansu i kapacitet respektivno i s je operator kompleksne frekvencije $\scriptstyle s=\sigma +i\omega$.

Ovo je uobičajen način za predstavljanje opšte impedanse ali za ovaj tekst pogodnije je matematički izraziti elastancu D što je suprotno od kapaciteta C. Na taj način opšta impedansa grane može biti iskazana,

$sZ_{\mathrm {p} }=s^{2}L_{\mathrm {p} }+sR_{\mathrm {p} }+D_{\mathrm {p} }\,\!$

Identično, svaki unos matrice impedanse može da se sastoji od zbira tri elemnta. Zbog toga matrica se može razložiti na trinxn matrice, po jedna za svaki od tri vrste elementa;

$s\mathbf {[Z]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]}$

Poželjno je da matrica [Z] iskazuje impedansu , Z(s). U tu svrhu petlja jedne od podmreža je presečena i Z(s) je impedansa izmerena između isečenih krajeva. Uobičajeno je pretpostaviti da je ulaz za spoljnu konekciju u podmreži 1, pa je prema tome povezana preko ulaza matrice Z₁₁, mada bi bilo savršeno moguće formulisati ovo sa vezama bilo kog odabranog čvora u daljem tekstu Z(s) uzeta preko Z₁₁ se smatra zadatom Z(s) može biti izračunat preko [Z] putem;

$Z(s)={\frac {|\mathbf {Z} |}{z_{11}}}$

gde z₁₁ je komplement komplement a Z₁₁ and |Z| je determinanta [Z].

Na primeru mreže gore date;

$|\mathbf {Z} |=(R_{1}+R_{2})(R_{2}+R_{3})-{R_{2}}^{2}=R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}\ ,$

$z_{11}=Z_{22}=R_{2}+R_{3}\ ,$ and,

$Z(s)=R_{1}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}\ .$

Tačnost ovog rezultata se može lako proveriti direktnom metodom redno povezanih otpornika i paralelno povezanih otpornika. Međutim, takvi metodi brzo postaju zamorni i glomazni kako rastu veličina i složenost mreže koja se analizira.

Unesene vrednosti [R], [L] i [D] ne mogu se proizvoljno postaviti. Za [Z] da bi dovelo do impedanse Z(s) je [R],[L] i [D] moraju svi biti pozitivno definisane matrice. Čak i tada realizacija Z(s) će sadržati idealne transformatore u okviru mreže. Pronalaženje samo onih transformacija koje ne traže međusobnu indukciju ili idealne transformatore je teži zadatak. Slično tome, ako se krene sa drugog kraja i specifikuje se izraz Z(s), ) ni to ne može da se uradi proizvoljno. Da bi bilo izvodljivo kao racionalna impedansa, Z(s) mora da bude pozitivno-realno. Pozitivno-realni uslov (PR) je i neophodan i dovoljan ali može biti praktičnih razloga za odbacivanje nekih topologija. topologies.

Transformacije generalne impedanse radi pronalaženja ekvivalentne, racionalne, jednoulazne iz datog primera [Z] potiče od Vilhelma Kauera. Grupa realnih afino transformacija.

$\mathbf {[Z']} =\mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[Z]} \mathbf {[T]}$

gde,

$\mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}$

je nepromenjivo za Z(s). ). To znači da su sve transformisane mreže ekvivalenti po definiciji ovde datoj. Ako je Z(s)za početu datu matricu izvodljivo tj ispunjava PR uslove onda će sve transformisane mreže napravljene ovom transformacijom takođe ispunjavati PR uslove.

Tropolne i četvoropolne mreže

Fig. 2.Kada je reč o četvoropolnim mrežama, analiza često sledi za dvoulazne mreže što često pokriva obiman niz praktično korisnih kola. Dvoulaznost se u osnovi odnosi na način na koji je mreža povezana sa spoljnim svetom, tj terminali se povezuju u parove za izvor ili ulaz. Moguće je uzeti istu mrežu i povezati je za spoljna kola, na takav način da se ona više ne ponaša kao dvoulazna. Ova ideja je prikazana na slici 2.

Ekvivalent nebalansiranih i balansiranih mreža. The impedance of the series elements in the balanced version is half the corresponding impedance of the unbalanced version.

Fig. 3. Da bi bile izbalansirane, mreže moraju da imaju impedansu isto ,odgovarajuća neurovnatežene verzije.

Tropolna mreža može takođe da se koristi kao dvoulazna da bi se ovo postiglo jedan od terminala se povezuje najčešće za jedan terminal sa oba ulaza. Drugim rečima, jedan terminal se deli na dva terminala i mreža se uspešno pretvara u četvoropolnu mrežu. Ova topologija je poznata kao nebalansirana topologija i suprotna je od balansirane topologije. Balansirana topologija zahteva, kako prikazuje slika 3, da impedansa izmerena između terminala 1 i 3 bude jednaka impedansi izmerenoj između terminala 2 i 4. Ovde parovi terminala ne formiraju ulaze: slučaj kada parovi terminala formiraju ulaze ima istu impedansu i naziva se simetričnim. Strogo govoreći, bilo koja mreža koja ne ispuni uslov balansiranosti je nebalansirana, ali se termin najčešće odnosi na tropolnu topologiju opisanu iznad i na slici 3. Transformisanje nebalansirane dvoulazne mreže u balansiranu mrežu je najčešće jednostavno: svi redno povezani elementi se dele na pola, a jedna polovina se prenosi na zajedničku granu. Transformisanje iz balansirane u nebalansiranu topologiju je često moguće uz obrnutu transformaciju, ali ima slučajeva gde određene topologije ne mogu biti transformisane na ovaj način. Na primer, pogledati tekst o transformaciji rešetke dalje.

Primer transformacije tropolne mreže nije ograničen na dvoulaznu već je Y-Δ transform. transformacija. Ovo je naročito važna transformacija za pronalaženje ekvivalentnih impedansi. Važnost proizilazi iz činjenice da ukupna impedansa između dva terminala ne može biti određena samo računanjem kombinacija redne i paralelne veze osim u određenim ograničenim vrstama mreža. Uopšteno su potrebne dodatne transformacije. Y-Δ transformacija je inverzna od Δ-Y transformacije, i n-polarna analogna u odnosu na ove dve transformacije (zvezda-poligon transformacija) i predstavlja minimum dodatnih transformacija potrebnih da se reši opšti slučaj. Redni i paralelni elementi su u stvari dvopolne verzije zvezde i poligonske topologije. Uobičajena, jednostavna topologija koja ne može biti rešena rednim i paralelnim kombinacijama je input impedanse do mreže most (osim u posebnom slučaju kada je most u ravnoteži) ostatak transformacija u ovom delu teksta su sve ograničene na upotrebu samo dva ulaza.

Transformacija rešetke

Simetrične dvoulazne mreže mogu biti transforimsane u mreže u obliku rešetki koristeći Bartletovu teoremu rasecanja. Metoda se ograničava na simetrične mreže ali uključuje mnoge topologije koje se često pronalaze u filterima, regulatorima pojačanja i ekvilizeri. Topologija rešetke je unutrašnje balansirana, nema nebalansiranih duplikata rešetke i najčešće joj je potrebno više komponenti od transformisane mreže.

Some common networks transformed to lattices (X-networks)
Opis	Mreža	Prevedena jednaćina	Prevedena mreža
Transform 3.1 Transform of T network to lattice network.		$Z_{\mathrm {A} }=Z_{1}\ ,\!$ $Z_{\mathrm {B} }=Z_{1}+2Z_{2}\ .\!$
Transform 3.2 Transform of Π network to lattice network.		$Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+2Z_{2}}}\ ,\!$ $Z_{\mathrm {B} }=Z_{2}\ .$
Transform 3.3 Transform of Bridged-T network to lattice network.		$Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{0}}{Z_{1}+2Z_{0}}}\ ,\!$ $Z_{\mathrm {B} }=Z_{0}+2Z_{2}\ .\!$

Obrnute transformacije iz rešetke u nebalansiranu topologiju nisu uvek moguće što se tiče pasivnih kompnenti. Na primer ova transformacija,

Opis	Mreža	Prevedena mreža
Transform 3.4 Transform of a lattice phase equaliser to a T network.

se ne može realizovati sa pasivnim komponentama zbog negativnih vrednosti koje proističu iz transformisanog kola. To se, međutim, može realizovati ako su dozvoljeni međusobna indukcija i idealni transformatori, na primer u ovom kolu. Još jedna mogućnost je da se dozvoli upotreba aktivnih komponenti koje bi omogućile da se negativne impedanse direktno realizuju kao komponente kola.

Ponekad može biti korisno napraviti ovakvu transformaciju ne za svrhu stvarnog pravljenja transformisanog kola već pre za svrhu pomaganja pri shvatanju kako originalno kolo radi. Sledeće kolo u T topologiji mosta je modifikacija srednje vrednosti povezanom m – izvedenog filtera T- odeljka. Kolo je rezultat rada Hendrika Bodea koji je tvrdio da dodavanje otpornika mosta odgovarajuće vrednosti može da poništi parazitski otpor paralelnog kalema. Rad ovog kola je jasan ako se transformiše u T topologiju – u ovom obliku postoji negativan otpor u paralelnoj grani koji se može dovesti do toga da bude tačno jednak pozitivnom parazitskom otporu kalema. .

Opis	Mreža	Prevedena mreža
Transform 3.5 Transform of a bridged-T low-pass filter section to a T-section.

Bilo koja simetrična mreža se može transformisati u bilo koju drugu simetričnu mrežu istim metodom tj prvo se transformiše u formu srednje rešetke (koja nije predstavljena u gornjem primeru transformacije da bi se izbegla zabuna) i iz oblika rešetke se prelazi u ciljni oblik. Kao u primeru , ovo će dovesti do negativnih elemenata osim u posebnim slučajevima.

Eliminisanje otpornika

Sidni Darlingtonova teorema kaže da bilo koja PR funkcija Z(s) može biti realizovana dvoulazna sa pozitivnim otpornikmom R bez gubitka. To znači da bez obzira na to koliko otpornika prikazuje u matrici [Z] predstavljajući impedansu mreže, transformacija može da se pronađe koja će da realizuje mrežu u potpunosti kao LC vrstu mreže sa samo jednim otpornikom preko autput izlaza (što bi inače predstavljalo unos). Ni jedan otpornik u okviru mreže nije neophodan da bi se realizovao određeni odgovor. Prema tome uvek je moguće smanjiti troelementne, dvoulazne mreže u dvoelemntne (LC) dvoulazne mreže pod uslovom da autput izlaz je eliminisan otporom odgovarajuće vrednosti.

Eliminisanje idealnih transformatora

Osnovna transformacija se može obaviti sa idealnim transformatorima i drugim elementima impedanse pomeranjem impedanse na drugu stranu transformera. U svim sledećim transformacijama r je obrtni odnos transformatora.

Opis	Mreža	Prevedena mreža
Transform 4.1 Series impedance through a step-down transformer.
Transform 4.2 Shunt impedance through a step-down transformer.
Transform 4.3 Shunt and series impedance network through a step-up transformer.

Ove transformacije se ne primenjuju samo na pojedinačne elemente; cele mreže mogu da prođu kroz transformer. Na ovaj način, transformer se može kretati kroz mrežu na odgovarajuću lokaciju. Darlington daje ekvivalentnu transformaciju koja može i da potpuno eliminiše idealni transformator. Ova tehnika zahteva da je transformator blizu (ili da može da bude pomeren do) “L“ mreže iste vrste impedanse. Transformacija u svim varijantama dovodi do “L“ mreže koja se okreće na suprotnu stranu tj topološki gledano kao odraz u ogledalu. .

Opis	Mreža	Prevedena mreža
Transform 5.1 Elimination of a step-down transformer.
Transform 5.2 Elimination of a step-up transformer.
Example 3. Example of transform 5.1.

Primer 3 pokazuje da je rezultat Π - mreža a ne L mreža. Razlog tome je što paralelni element ima veći električni kapacitet nego što je potrebno za transformaciju pa nešto preostaje posle primene transformacije. Ako je višak umesto toga u elementu najbližem transformatoru, ovo bi se moglo rešiti premeštanjem viška na drugu stranu transformatora pre vršenja transformacije..

Literatura

• Albert Charles Bartlett, "An extension of a property of artificial lines", Phil. Mag., vol 4, p.902, November 1927.
• Vitold Belevitch, "Summary of the history of circuit theory", Proceedings of the IRE, vol 50, Iss 5, pp.848-855, May 1962.
• E. Cauer, W. Mathis, and R. Pauli, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900 – 1945)", Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems, Perpignan, June, 2000.
• Foster, Ronald M.; George Ashley Campbell, "Maximum output networks for telephone substation and repeater circuits", Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol.39, iss.1, pp.230-290, January 1920.
• Sidney Darlington, "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", IEEE Trans. Circuits and Systems, vol 31, pp.3-13, 1984.
• Farago, P. S., An Introduction to Linear Network Analysis, The English Universities Press Ltd, 1961.
• Otto Julius Zobel, Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters, Bell Systems Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp.1-46.