Јакобијеви полиноми

Јакобијеви полиноми, често звани и хипергеометријски полиноми су класични ортогонални полином представљени формулом:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}~.$

Гегенбауерови полиноми, Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома. Јакобијеве полиноме открио је 1859. немачки математичар Карл Густав Јакоби.

Диференцијална једначина

Јакобијеви полиноми представљају решење линеране хомогене диференцијалне једначине другога реда:

$(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,$

Дефиниција

Јакобијеви полиноми дефинисани су помоћу хипергеометријске функције:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),$

где $(\alpha +1)_{n}$ представља Поххамеров симбол. У том случају развојем се добија:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}~.$

Родригезова формула

Јакобијеви полиноми могу да се дефинишу и помоћу Родригезове формуле:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }(1-z^{2})^{n}\right\}~.$

Генерирајућа функција

Генерирајућа функција Јакобијевих полинома је:

$\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)w^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-w+R)^{-\alpha }(1+w+R)^{-\beta }~,$

где

$R=R(z,w)={\big (}1-2zw+w^{2}{\big )}^{1/2}~,$

Рекурзија

Релације рекурзије за Јакобијеве полиноме су:

${\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad \qquad -2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z)~,\quad n=2,3,\dots \end{aligned}}$

Неколико првих полинома је:

$P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1$

$P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{2}}\left[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)\right]$

$P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{8}}\left[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1)^{2}\right]$

Израз за реални аргумент

За реално x Јакобијеви полиноми могу да се пишу и као:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}$

где су s ≥ 0 и n-s ≥ 0, а за целобројно n

${z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},$

У горњој једначини Γ(z) је гама функција. У специјалном случају, када су n, n+α, n+β, and n+α+β ненегативни цели бројеви Јакобијеви полиноми могу да се напишу као:

${\begin{aligned}&P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\\&\qquad \times \sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.\end{aligned}}$

Ортогоналност

Јакобијеви полиноми за α > -1 и β > -1 задовољавају услов ортогоналности:

${\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx\\&\quad ={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}\end{aligned}}$

Тежинска функција је била:

$(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$.

Они нису ортонормални, а за нормализацију:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.$

Симетрија

Јакобијеви полиноми задовољавају следеће релације симетрије:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);$

па је

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.$

Асимптотски изрази

За x унутар интервала [-1, 1], асимптотска вредност P_n^(α,β) за велики n дан је:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-1/2}\cos(N\theta +\gamma )+O(n^{-3/2})~,$

где

${\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-1/2}\sin ^{-\alpha -1/2}{\frac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -1/2}{\frac {\theta }{2}}~,\\N&=n+{\frac {\alpha +\beta +1}{2}}~,\\\gamma &=-(\alpha +{\frac {1}{2}}){\frac {\pi }{2}}~,\end{aligned}}$

Асимптоте близу ±1 дане су са:

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{\alpha ,\beta }\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)~,\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{\alpha ,\beta }\left(\cos \left[\pi -{\frac {z}{n}}\right]\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)~,\end{aligned}}$

Веза са Вигнеровом d-матрицом

Јакобијеви полиноми повезани су са Вигнеровом D-матрицом:

$d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).$

Литература

• Јакобијеви полиноми
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.