Дефиниције непрекидности

Кошијева дефиниција

Дефиницију на $\varepsilon -\delta$ језику је дао Коши и та дефиниција је везана је за функције реалних бројева.

Посматрајмо функцију $f:X\rightarrow \mathbb {R} ,X\subseteq \mathbb {R}$ . Нека је $x_{0}\in X$ тачка нагомилавања скупа $X$ .

Функција $f$ је непрекидна у тачки $x_{0}$ , ако је:

(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon )

Ова дефиниција је еквивалентна са:

Функција $f$ је непрекидна у тачки $x_{0}$ , ако је:

\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})

Хајнеова дефиниција

Овом дефиницијом непрекидну функцију je Хајне дао преко граничне вредности низа.

Реална функција $f$ је непрекидна ако за сваки низ $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , такав да

\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=L

,

важи

\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(L)

Овде смо наравно претпоставили да сваки члан низа припада домену функције.

Тополошка дефиниција

Функција $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ је непрекидна у тачки $x_{0}\in X$ ако:

(\forall V\in {\mathcal {V}}(f(x_{0})))(\exists U\in {\mathcal {V}}(x_{0}))(f(U\cap X)\subseteq V)

За функцију између два тополошка простора се каже да је непрекидна ако она сваки отворени инверзни скуп пресликава у отворени скуп.

Дефиниција непрекидности са стране

Посматрајмо функцију $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ ,

функција је непрекидна са леве стране у тачки

x_{0}

ако

\lim _{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})

функција је непрекидна са десне стране у тачки

x_{0}

ако

\lim _{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})

Теорема: Функција $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ је непрекидна у тачки $x_{0}\in X$ ако и само ако је непрекидна у тој тачки и са леве и са десне стране.

Види још

Литература

Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.