Ермитови полиноми представљају ортогонални низ полинома. Именовани су према Шарлу Ермиту , који их је изучавао 1864 . године. Полиноми су од значаја у теорији вероватноће, комбинаторици и нумеричкој анализи. У физици Ермитови полиноми представљају својствена стања квантнога хармоничкога осцилатора.
Постоје два стандардна начина нормализације Ермитових полинома:
(
1
)
H
e
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
/
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle (1)\ \ {\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}
("пробабилистички' Ермитови полиноми" ), и
(
2
)
H
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
=
e
x
2
/
2
(
x
−
d
d
x
)
n
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle (2)\ \ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=e^{x^{2}/2}{\bigg (}x-{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}e^{-x^{2}/2}\,\!}
("физикални' Ермитови полиноми" ). Те две дефиниције нису потпуно еквивалентне, па постоји трансформација између две дефиниције:
H
n
(
x
)
=
2
n
/
2
H
e
n
(
2
x
)
,
H
e
n
(
x
)
=
2
−
n
2
H
n
(
x
2
)
.
{\displaystyle H_{n}(x)=2^{n/2}{\mathit {He}}_{n}({\sqrt {2}}\,x),\qquad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}
Првих шест пробабилистичких Ермитових полинома He n x ). Првих једанаест полинома је:
H
e
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle {\mathit {He}}_{0}(x)=1\,}
H
e
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle {\mathit {He}}_{1}(x)=x\,}
H
e
2
(
x
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle {\mathit {He}}_{2}(x)=x^{2}-1\,}
H
e
3
(
x
)
=
x
3
−
3
x
{\displaystyle {\mathit {He}}_{3}(x)=x^{3}-3x\,}
H
e
4
(
x
)
=
x
4
−
6
x
2
+
3
{\displaystyle {\mathit {He}}_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,}
H
e
5
(
x
)
=
x
5
−
10
x
3
+
15
x
{\displaystyle {\mathit {He}}_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,}
H
e
6
(
x
)
=
x
6
−
15
x
4
+
45
x
2
−
15
{\displaystyle {\mathit {He}}_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,}
H
e
7
(
x
)
=
x
7
−
21
x
5
+
105
x
3
−
105
x
{\displaystyle {\mathit {He}}_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,}
H
e
8
(
x
)
=
x
8
−
28
x
6
+
210
x
4
−
420
x
2
+
105
{\displaystyle {\mathit {He}}_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,}
H
e
9
(
x
)
=
x
9
−
36
x
7
+
378
x
5
−
1260
x
3
+
945
x
{\displaystyle {\mathit {He}}_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,}
H
e
10
(
x
)
=
x
10
−
45
x
8
+
630
x
6
−
3150
x
4
+
4725
x
2
−
945
{\displaystyle {\mathit {He}}_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,}
Првих шест физикалних Ермитеових полинома H n x ). Првих неколико физикалних Ермитових полинома:
H
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle H_{0}(x)=1\,}
H
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle H_{1}(x)=2x\,}
H
2
(
x
)
=
4
x
2
−
2
{\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\,}
H
3
(
x
)
=
8
x
3
−
12
x
{\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,}
H
4
(
x
)
=
16
x
4
−
48
x
2
+
12
{\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,}
H
5
(
x
)
=
32
x
5
−
160
x
3
+
120
x
{\displaystyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,}
H
6
(
x
)
=
64
x
6
−
480
x
4
+
720
x
2
−
120
{\displaystyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,}
H
7
(
x
)
=
128
x
7
−
1344
x
5
+
3360
x
3
−
1680
x
{\displaystyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,}
H
8
(
x
)
=
256
x
8
−
3584
x
6
+
13440
x
4
−
13440
x
2
+
1680
{\displaystyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,}
H
9
(
x
)
=
512
x
9
−
9216
x
7
+
48384
x
5
−
80640
x
3
+
30240
x
{\displaystyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,}
H
10
(
x
)
=
1024
x
10
−
23040
x
8
+
161280
x
6
−
403200
x
4
+
302400
x
2
−
30240
{\displaystyle H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,}
Ермитов полином може да се представи и матрицом:
H
n
(
x
)
=
|
x
n
−
1
0
0
⋯
0
1
x
n
−
2
0
⋯
0
0
1
x
n
−
3
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
0
0
⋯
x
|
{\displaystyle H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|}
H
n
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(x)}
H
e
n
(
x
)
{\displaystyle He_{n}(x)}
n -тога-степена за n = 0, 1, 2, 3, .... Ти полиноми су ортогонални у односу на тежинску функцију (меру):
w
(
x
)
=
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}
He )или
w
(
x
)
=
e
−
x
2
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}
H )тј. ми имамо:
∫
−
∞
∞
H
m
(
x
)
H
n
(
x
)
w
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}
када је m ≠ n . Даље,
∫
−
∞
∞
H
e
m
(
x
)
H
e
n
(
x
)
e
−
x
2
/
2
d
x
=
2
π
n
!
δ
n
m
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}n!\delta _{nm}}
или
∫
−
∞
∞
H
m
(
x
)
H
n
(
x
)
e
−
x
2
d
x
=
π
2
n
n
!
δ
n
m
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm}}
Пробабилистички полиноми су дакле ортогонални у односу на стандардну нормалну функцију густине вероватноће.
Ермитови полиноми такође задовољавају следеће рекурзије:
H
e
n
+
1
(
x
)
=
x
H
e
n
(
x
)
−
H
e
n
′
(
x
)
.
{\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).\,\!}
H
n
+
1
(
x
)
=
2
x
H
n
(
x
)
−
H
n
′
(
x
)
.
{\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).\,\!}
Ермитови полиноми представљају Апелов низ , тј. они задовољавају следеће једначине
H
e
n
′
(
x
)
=
n
H
e
n
−
1
(
x
)
,
{\displaystyle {\mathit {He}}_{n}'(x)=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\,\!}
H
n
′
(
x
)
=
2
n
H
n
−
1
(
x
)
,
{\displaystyle H_{n}'(x)=2nH_{n-1}(x),\,\!}
H
e
n
(
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
H
e
k
(
y
)
{\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)}
H
n
(
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
H
k
(
x
)
(
2
y
)
(
n
−
k
)
=
2
−
n
2
⋅
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
H
n
−
k
(
x
2
)
H
k
(
y
2
)
.
{\displaystyle H_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).}
Ермитови полиноми задовољавају такође следеће рекурентне релације:
H
e
n
+
1
(
x
)
=
x
H
e
n
(
x
)
−
n
H
e
n
−
1
(
x
)
,
{\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\,\!}
H
n
+
1
(
x
)
=
2
x
H
n
(
x
)
−
2
n
H
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\,\!}
Те последње релације често се користе да би се помоћу почетних полинома израчунали остали.
Ермитови полиноми могу да се представе и експоненцијалном генерирајућом функцијом:
exp
(
x
t
−
t
2
/
2
)
=
∑
n
=
0
∞
H
e
n
(
x
)
t
n
n
!
{\displaystyle \exp(xt-t^{2}/2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}
exp
(
2
x
t
−
t
2
)
=
∑
n
=
0
∞
H
n
(
x
)
t
n
n
!
{\displaystyle \exp(2xt-t^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}
Физикални Ермитови полиноми могу да се напишу експлицитно као:
H
n
(
x
)
=
n
!
∑
ℓ
=
0
n
/
2
(
−
1
)
n
/
2
−
ℓ
(
2
ℓ
)
!
(
n
/
2
−
ℓ
)
!
(
2
x
)
2
ℓ
{\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{\ell =0}^{n/2}{\frac {(-1)^{n/2-\ell }}{(2\ell )!(n/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell }}
за парне n и
H
n
(
x
)
=
n
!
∑
ℓ
=
0
(
n
−
1
)
/
2
(
−
1
)
(
n
−
1
)
/
2
−
ℓ
(
2
ℓ
+
1
)
!
(
(
n
−
1
)
/
2
−
ℓ
)
!
(
2
x
)
2
ℓ
+
1
{\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{\ell =0}^{(n-1)/2}{\frac {(-1)^{(n-1)/2-\ell }}{(2\ell +1)!((n-1)/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell +1}}
за непарне n. Те две једначине могу да се комбинују у једну:
H
n
(
x
)
=
n
!
∑
m
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
m
m
!
(
n
−
2
m
)
!
(
2
x
)
n
−
2
m
.
{\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}
Пробабилистички Ермитови полиноми представљају решење диференцијалне једначине :
(
e
−
x
2
/
2
u
′
)
′
+
λ
e
−
x
2
/
2
u
=
0
{\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}
где је λ константа, са граничним условом да u треба да буде полином ограничен у бесконачности. Решење једначине са граничним условом је
u (x ) = H λ (x ). Диференцијална једначина може и да се напише у облику:
L
[
u
]
=
u
″
−
x
u
′
=
−
λ
u
{\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u}
Таква једначина назива се Ермитова једначина, иако се тај назив користи и за блиско повезану једначину:
u
″
−
2
x
u
′
=
−
2
λ
u
{\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u}
чија решења су физиклани Ермитови полиноми.
Ермитове функције могу да се дефинишу помоћу физикалних полинома::
ψ
n
(
x
)
=
(
2
n
n
!
π
)
−
1
/
2
e
−
x
2
/
2
H
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
(
2
n
n
!
π
)
−
1
/
2
e
x
2
/
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
{\displaystyle \psi _{n}(x)=(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=(-1)^{n}(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}}
Пошто те функције садрже квадратни корен функције тежине оне су ортонормалне:
∫
−
∞
∞
ψ
n
(
x
)
ψ
m
(
x
)
d
x
=
δ
n
m
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{n\,m}\,}
Ермитове функције задовољавају диференцијалну једначину:
ψ
n
″
(
x
)
+
(
2
n
+
1
−
x
2
)
ψ
n
(
x
)
=
0
.
{\displaystyle \psi _{n}''(x)+(2n+1-x^{2})\psi _{n}(x)=0\,.}
Та једначина еквивалентна је Шредингеровој једначини за хармонијски осцилатор у квантној механици , тако да су те функције својствене функције.
Ермитеове функције 0 (црна), 1 (црвена), 2 (плава), 3 (жута), 4 (зелена), and 5 (љубичаста). Ермитове функције задовољавају следеће рекурзионе релације:
ψ
n
′
(
x
)
=
n
2
ψ
n
−
1
(
x
)
−
n
+
1
2
ψ
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}
као и
x
ψ
n
(
x
)
=
n
2
ψ
n
−
1
(
x
)
+
n
+
1
2
ψ
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle x\;\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
![{\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1af1dbe9a17a96e69d0d602eca405acefc07f98)
