Кардиналан број

За другу употребу, погледајте чланак Број (вишезначна одредница).

Алеф нула, најмањи бесконачни кардинал

Кардиналан број коначног скупа је број елемената скупа. У случају бесконачних скупова кардиналан број се може дефинисати као врста бесконачног скупа у који се дати скуп може пресликати са бијекцијом.

Врсте бесконачних скупова су такође познате као степени бесконачности од којих постоје два који су од посебног интереса

• $\aleph _{0}$ (алеф нула) - степен бесконачности скупа природних бројева
• $c\,$ - или континуум, степен бесконачности скупа реалних бројева

Скупови са кардиналним бројем $\aleph _{0}$ се такође зову пребројивим скуповима. Интуитивно, елементи пребројивог скупа $S\,$ се могу поређати помоћу бијекције на скуп природних бројева, тј. $S=\lbrace a_{1},a_{2},a_{3},...\rbrace \,$.

Теорија бројева и концепт бесконачности садрже доста резултата који се противе интуицији и делују изненађујуће за лаике нпр. скуп парних бројева $P\,$ је пребројив тј има „исти“ број елемената као скуп свих природних бројева $N\,$. Овај резултат лаички делује изненађујуће пошто на први поглед изгледа да постоји двоструко више природних бројева него парних, али се може једноставно доказати преко бијекције $f:n\mapsto 2n$ којом се парни бројеви могу поређати у $\lbrace 2,4,6,...\rbrace \,$.

Георг Кантор је формулисао хипотезу континуума која тврди да не постоји кардиналан број између $\aleph _{0}$ и континуума, тј. $\aleph _{1}=c$.

За дати скуп $S\,$ можемо дефинисати кардиналан број скупа свих подскупова $S\,$ као $2^{S}\,$. Кардинални бројеви $\aleph _{0}$ и $\aleph _{1}$ су повезани преко једначине $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$. Генерализована хипотеза континуума тврди $\aleph _{n+1}=2^{\aleph _{n}}$.