Контекст-слободни језик

У формалној теорији језика, контекстно слободни језик је језик који генерише нека контекстно-слободна граматика. Скуп свих контекстно слободних језика је идентичан скупу језика које прихватају потисни аутомати.

Примери

Класичан пример контекстно слободног језика је $L=\{a^{n}b^{n}:n\geq 1\}$, језик свих непразних ниски парне дужине, чије ја прва половина састављена од слова $a$, а друга половина је састављена од слова $b$. $L$ је генерисан граматиком $S\to aSb~|~ab$, а прихвата га потисни аутомат $M=(\{q_{0},q_{1},q_{f}\},\{a,b\},\{a,z\},\delta ,q_{0},\{q_{f}\})$ где је $\delta$ дефинисано на следећи начин:

$\delta (q_{0},a,z)=(q_{0},a)$
$\delta (q_{0},a,a)=(q_{0},a)$
$\delta (q_{0},b,a)=(q_{1},x)$
$\delta (q_{1},b,a)=(q_{1},x)$
$\delta (q_{1},\lambda ,z)=(q_{f},z)$

$\delta (\mathrm {state} _{1},\mathrm {read} ,\mathrm {pop} )=(\mathrm {state} _{2},\mathrm {push} )$
where $z$ је почетни симбол стека а $x$ представља акцију скидања са стека.

Контекстно слободни језици имају многе примене у програмским језицима; на пример, језик свих исправно упарених заграда је генерисан граматиком $S\to SS~|~(S)~|~\lambda$. Такође, већина аритметичких израза су генерисани контекстно слободним граматикама.

Својства затворења

Контекстно слободни језици су затворени у односу на следеће операције. То јест, ако су L и P контекстно слободни језици, а D је регуларан језик, онда су и следећи језици контекстно-слободни:

• Клинијева звезда $L^{*}$ од L
• слика φ(L) од L за хомоморфизам φ
• конкатенација (дописивање) $L\circ P$ језика L и P
• унија $L\cup P$ језика L и P
• пресек (са регуларниим језиком) $L\cap D$ језика L и D

Контекстно слободни језици нису затворени за комплемент, пресек и разлику.

Незатвореност у односу на пресек

Контекстно слободни језици нису затворени за пресек. Ово се може видети ако се узму језици $A=\{a^{m}b^{n}c^{n}\mid m,n\geq 0\}$ и $B=\{a^{n}b^{n}c^{m}\mid m,n\geq 0\}$, који су оба конетксно слободна. Њихов пресек је $A\cap B=\{a^{n}b^{n}c^{n}\mid n\geq 0\}$, за шта се може показати да није контекстно слободан језик пампинг лемом за контекстно слободне језике.

Својства одлучивости

Следећи проблеми су неодлучиви за произвољне контекстно слободне граматике A и B:

• Еквиваленција: да ли је $L(A)=L(B)$?
• да ли је $L(A)\cap L(B)=\emptyset$ ?
• да ли је $L(A)=\Sigma ^{*}$ ?
• да ли је $L(A)\subseteq L(B)$ ?

Следећи проблеми су одлучиви за произвољне контекстно слободне граматике:

• да ли је $L(A)=\emptyset$?
• да ли је $L(A)$ коначан?
• Припадност: за сваку дату реч $w$, да ли је $w\in L(A)$ ? (проблем припадности је чак одлучив у полиномијалном времену - видети алгоритам CYK)

Својства контекст-слободних језика

• Језик обратан контекстно слободном језику је контекстно слободан, али његов комплемент не мора да буде.
• Сваки регуларан језик је контекстно слободан јер може да се опише регуларном граматиком.
• Пресек контекстно слободног језика и регуларног језика је увек контекстно слободан.
• Постоје контекстно сензитивни језици који нису контексткно слободни.
• У доказивању да неки језик није контекстно слободан може да се користи пампинг лема за контекстно слободне језике.

Литература

• Seymour Ginsburg (1966). The Mathematical Theory of Context-Free Languages. New York, NY, USA: McGraw-Hill, Inc. 
• Michael Sipser (1997). „Context-Free Languages”. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. стр. pp—91—122. ISBN 978-0-534-94728-6.