Лагранжов полином

Интерполација путем Лагранжових полинома је поступак у коме је за $n+1$ тачака уз помоћ Лангражових полинома потребно да се нађу нове вредности неке непознате функције или функције чије је израчунавање претешко (временски пренапорно или чак немогуће).

Слика приказује четири тачке ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), и (кубни) интерполациони полином L(x), који је збир скалираних базних полинома y₀l_0(x), y₁l₁(x), y₂l₂(x) и y₃l₃(x). Интерполациони полином пролази кроз све четири контролне тачке, и сваки скалирани базни полином пролази кроз своју контролну тачку, и једнак је 0 тамо где x одговара осталим трима контролним тачкама.

Идеја иза поступка је врло слична другим методама (Њутновој методи, на пример): Полазећи од познатих тачака конструише се нова основа неког простора. Онда се дата функција (односно њене познате вредности за дате тачке) трансформише у тај нови простор. Мало неформалније речено, од ње се прави полином, а она служи пре свега као узор. Тиме се добија нова, приближна функција (полином) који може да се израчуна.

Основа за Лангражов полином је:

$l_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$

Приближна функција која апроксимира $f(x)$ је $P(x)$; $x_{i}$ су тачке за које су познате вредности дате функције:

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)$

Гледајући $l_{i}(x)$ за $i\in \{1,2,3,4,5\}$:

$l_{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}$

$l_{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}$

$l_{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1}}\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}$

$l_{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}$

$l_{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}$

постаје јасније зашто су такви полиноми баш изабрани. На свим местима $x_{j\neq i}$ полином има нулто место, а код $x_{i}$ има вредност 1. Тако је осигурано да ће наведени полином да прође тачно кроз дате тачке односно да ће за све $P(x_{i})$ да важи $P(x_{i})=f(x_{i})$.

Пример

Позната је вредност полинома у 3 различите тачке :

X	1	2	3
Y	3	-1	1

Екстраполацијом се добија полином :

$P(x)=3\cdot {x-2 \over 1-2}\cdot {x-3 \over 1-3}+(-1)\cdot {x-1 \over 2-1}\cdot {x-3 \over 2-3}+1\cdot {x-1 \over 3-1}\cdot {x-2 \over 3-2}$