У математичкој анализи, Лопиталово правило омогућава налажење извесних граничних вредности са „неодређеним облицима“ помоћу извода. Примена (или узастопна примена) Лопиталовог правила може претворити неодређене облике у одређене облике, омогућавајући лако рачунање лимеса. Правило је добило име по 17. вековном француском математичару Гијому де Лопиталу, који је објавио правило у својој књизи Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (дословно: Анализа бесконачно малог како би се разумеле криве, 1696) што је прва књига о диференцијалној анализи.
Верује се да је правило дело Јохана Бернулија, пошто је Лопитал, који је био племић плаћао Бернулију 300 франака годишње, да га обавештава о открићима на пољу анализе, и да му помогне у решавању проблема. Међу овим проблемима је био лимес неодређених облика. Када је Лопитал објавио књигу, дао је заслуге Бернулију, и не желећи да преузме заслуге за било шта у књизи, рад је објавио анонимно. Бернули, који је био врло љубоморан, је тврдио да је он стваралац целокупног дела, и до скора се веровало да је тако. Па ипак, правило је названо по Лопиталу, који никад није ни тврдио да га је измислио.[1]
У простим случајевима, Лопиталово правило гласи да за функције f(x) и g(x), ако
или
, тада:
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f654e25c3bbbbb7825d619fd3526371fe1cb65b2)
где прим (') означава извод.
Међу осталим условима, да би ово правило важило, мора да постоји лимес
. Остали услови су детаљније изложени доле, у формалном исказу.
Лопиталово правило се, у основном облику, односи на граничне вредности разломка
када се и f и g ближе 0, или се и f и g ближе бесконачности. Лопиталово правило тврди да ту граничну вредност можемо наћи рачунајући лимес разломка
, али наравно само ако овај потоњи постоји, и уз услов да је g′ различито од нуле у неком интервалу који садржи тачку која се посматра. Ова диференцијација може поједноставити разломак или га претворити у одређени облик, што олакшава налажење лимеса.
Лопиталово правило.
- Нека је
. Нека је
и нека су f и g две функције диференцијабилне на неком отвореном интервалу (a, b) који садржи c (дакле са
ако
или са
ако
), изузев, могућно, у самој тачки c, и такве да је
или ![{\displaystyle \lim _{x\to c}{|f(x)|}=\lim _{x\to c}{|g(x)|}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9091a01761e03402726a0adfce772fa7aa3bb0)
- и да је
за свако
,
.
- Тада, ако постоји гранична вредност
, ![{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa068c4f1a1c92bcd22e88f42252b8b1ced4d5d)
- онда је и
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d0f5275355948da39d3cffdf8608b57f6ba56a)
Лопиталово правило важи и за једностране лимесе.
Основни неодређени облици на које се Лопиталово правило односи су:
![{\displaystyle {0 \over 0}\qquad {\infty \over \infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba96521810f11dd8ff247362da9ad1303a11de7)
Остали неодређени облици, који се сви могу свести на основне (види примере) су
![{\displaystyle {\infty \qquad 0\cdot \infty \qquad 0^{0}\qquad \infty -\infty \qquad }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62d948252537f9b4b03c1567af25325423f0895)
Важно је имати у виду услов да је неопходно да лимес
постоји. Диференцијација бројиоца и имениоца неодређених облика може ове облике да доведе до лимеса који не постоје. У тим случајевима, Лопиталово правило се не може примењивати и оставља питање постојања и вредности евентуалне граничне вредности потпуно отвореним. На пример, ако
и
, онда
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }(1+\cos(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee0e96dc253b7ad215a70d0aa5fde530ac26e4c)
не постоји, док је
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb9bd7842f604400245e3e1f8ae62d1fbd5ad20)
У пракси се правило често користи, и ако лимес постоји, доноси се закључак да је примена Лопиталовог правила била легитимна.
Такође постоји услов да извод од g не нестане кроз цео интервал који садржи тачку c. Без такве хипотезе, закључак је погрешан. Стога се Лопиталово правило не може користити, рецимо, ни у случајевима где први извод имениоца изразито осцилује (мењајући притом знак) близу тачке где се тражи лимес. На пример ако
и
, тада
|
|
|
|
док
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{e^{\sin(x)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717b70f59513eb8e43442b2719228adbfe8741d9)
не постоји, јер
флуктуира између e−1 и e.
Јасно, Лопиталово правило се не може примењивати за налажење неодређених граничних вредности код којих нису и бројилац и именилац диференцијабилне функције.
- Следи пример који се тиче sinc функције, која има облик 0/0 :
|
|
|
|
|
|
- Овај лимес се заправо може видети као дефиниција извода од sin(x) у x = 0. Заправо, он је неопходан у најчешћем доказу да је извод од sin(x) једнак cos(x), али се у том доказу не може користити Лопиталово правило, јер би тако дошло до кружног аргумента. Види #Логичка циркуларност доле.
- Следи детаљнији пример који укључује неодређени облик 0/0. Једнократна примена правила за резултат опет има неодређени облик. У овом случају, лимес се може добити троструком применом Лопиталовог правила:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Следи још један случај са 0/0:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{e^{x}-1-x \over x^{2}}=\lim _{x\to 0}{e^{x}-1 \over 2x}=\lim _{x\to 0}{e^{x} \over 2}={1 \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ce458b1ceb62a743891c71572947324390523c)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ 1/(2{\sqrt {x}}\,)\ }{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6a1b95a7f5a379e1f471f008aba2ee9eeaffec)
- Овај се тиче ∞/∞. Нека је n природан број.
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{x^{n} \over e^{x}}=\lim _{x\to \infty }{nx^{n-1} \over e^{x}}=n\lim _{x\to \infty }{x^{n-1} \over e^{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97ebfd9c74ed7d60b6fc9aeded53148178af0a6)
- Понављати горње све док експонент не постане 0. Тада се добије да је лимес 0. Ова гранична вредност нам говори да све степене функције расту (дивергирају бесконачности) спорије од експоненцијалне.
- Овај пример се такође тиче ∞/∞:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0+}x\ln x=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}=\lim _{x\to 0+}{1/x \over -1/x^{2}}=\lim _{x\to 0+}-x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1f609baf6a0c7a4be0bce1cbac0d74e0c2c415)
- Претходни резултат се може користити код неодређеног облика
: Како би израчунали
, записујемо
као
и добијамо
![{\displaystyle \lim _{x\to 0+}x^{x}=e^{\lim _{x\to 0+}(x\ln x)}=e^{0}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fafadd249dc8acb23b9b953b5777752df3f2fa)
- Ово је импулсни одговор издигнуто-косинусног филтера у електроници:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Најчешћи доказ Лопиталовог правила користи Кошијеву теорему о средњој вредности. Потребно је засебно размотрити четири случаја, већ према томе да ли је
или
те да ли је
или
. Ова разматрања се разликују у детаљима али прате сличне основне идеје; овде су обрађени случајеви када је c коначно.
Код неодређеног облика 0 са 0[уреди | уреди извор]
Нека
. Ако предефинишемо функције f и g у тачки c тако да је
, оне ће бити непрекидне на затвореном интервалу [c, b] и диференцијабилне на (c, b). Ово не мења лимес, јер лимес (по дефиницији) не зависи од вредности у датој тачки.
Овако предефинисане функције f и g задовољавају услове Кошијеве теореме о средњој вредности, према којој постоји тачка
у
таква да:
![{\displaystyle {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f0e5151c7b465717566268072d250bab7c88aa)
Како
,
![{\displaystyle {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb389523ff8e547127a74ae2d3ada89856f058d)
Када
, имамо
и стога
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{\xi \to c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d63e32fbd10e78ad94c0b6e961e4f6e76ee1bbe)
Код неодређеног облика бесконачно са бесконачно[уреди | уреди извор]
Случај када је
се разматра слично. Нека је
. Тада, према Кошијевој теореми о средњој вредности, постоји
такво да је
![{\displaystyle {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c315444d82464f934cf27acc15d3ed8c52f2e8)
Записујемо ово у облику
![{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(y)}{g(x)}}+\left[1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right]{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c76d535f1f84cdea17bb2e8115a89e11284dddf)
а затим показујемо да вредности f(x)/g(x) теже ка A пуштајући лимес када
и
. Наиме, ако је h > 0 фиксирано али притом подесно мало, када
биће
и
, као и
и стога
по жељи блиско A. Пуштајући потом лимес када
следи
. Ово резоновање се најлакше може формализовати коришћењем горњег и доњег лимеса.
Многи други неодређени облици, попут
,
, и
могу бити израчунати помоћу Лопиталовог правила.
На пример, у случају
, разлика две функције се претвара у разломак:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2414ef77455a6f67039232bd4f237f10b8e9b41b)
![{\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b1a492add394acb69aa19f2792a3e5f2681dfa)
![{\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b42b9f0299c619e3fd083c6a31422f5f0f598a)
![{\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0f85ea9783b4736544bd9329c21b9504960c85)
![{\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {x+x-1}{2{\sqrt {x(x-1)}}}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16b8dafc9ca30ba9c7dea4859ade61dff1da8a9)
![{\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {\sqrt {x}}{2{\sqrt {x-1}}}}+{\frac {\sqrt {x-1}}{2{\sqrt {x}}}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec6b41a3117d7b851f38e6c857c97605a1248a2)
![{\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}{2{\frac {1}{2{\sqrt {x-1}}}}}}+{\frac {\sqrt {x-1}}{2{\sqrt {x}}}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24999e541e5acdf2ae474e6b0b3b519f55bff95)
![{\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {\sqrt {x-1}}{\sqrt {x}}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bd92edd1cf57832c01b9ebac69f48ef43cdf30)
![{\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\sqrt {1-{\frac {1}{x}}}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6cba6be638eb64fc524e8b701ae45e324184b8)
![{\displaystyle ={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa109927526054602dfa3b08d86a3a01ebecd4b8)
Правило се може коритити и на неодређеним облицима који укључују експоненте, коришћењем логаритама да се „спусти експонент“.
Друге методе рачунања лимеса[уреди | уреди извор]
Мада је Лопиталово правило моћно оруђе за рачунање иначе тешко израчунљивих лимеса, оно није увек најлакши начин. Неке лимесе је лакше рачунати коришћењем развоја у Тејлорове редове.
На пример,
![{\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }x\sin {1 \over x}=\lim _{|x|\to \infty }x\left({1 \over x}-{1 \over x^{3}\cdot 3!}+{1 \over x^{5}\cdot 5!}-\cdots \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00885747396d894dd3d81101d91d3efcc2e94444)
![{\displaystyle =\lim _{|x|\to \infty }1-{1 \over x^{2}\cdot 3!}+{1 \over x^{4}\cdot 5!}-\cdots \;=\;1\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0632fc844a9042dc34e94098eefc1a0037bae6ed)
Да употребимо Лопиталово правило, граничну вредност овог разломка можемо записати као:
,
те применом Лопиталовог правила, добијамо:
![{\displaystyle =\lim _{|x|\to \infty }{\cos {1 \over x}}\cdot {-1 \over x^{2}}\cdot {x^{2} \over -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1098d844af7f8725ea00bdbe9e0561cf840be1)
![{\displaystyle =\cos {1 \over \infty }=\cos {\ 0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815dd78b9cd69d726f0334e6fd2ad93b1ebe804b)
У неким случајевима, коришћење Лопиталовог правила може да доведе до кружног закључивања, при рачунању лимеса као што су
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{(x+h)^{n}-x^{n} \over h}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f30e3a187b01b4b24c81f941365227f74e10ac)
Ако се израчуната вредност горњег лимеса користи у сврху доказивања да
,
а Лопиталово правило и чињеница да
![{\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e6cde3b4871e41e098663bf409a945b223ba1c)
у израчунавању лимеса, аргумент користи очекивани резултат да докаже самог себе, и стога је погрешан (чак иако се испостави да је закључак доказа ипак тачан).
- ^ Finney, Ross L. and George B. Thomas, Jr. Calculus. 2nd Edition. P. 390. Addison Wesley, 1994.